全等三角形(一)
一、知識要點
1．全等三角形及其相關概念
能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形；兩個全等三角形中，互相重合的頂點叫做對應頂點；互相重合的角叫做對應角；互相重合的邊叫做對應邊．
2．全等三角形的數學語言
如圖1所示，三角形abc與三角形a′b′c′全等，記作△abc≌△a′b′c′，讀作「三角形abc全等於三角形a′b′c′」．
3．全等三角形的性質
（1）全等三角形的對應邊相等，對應角相等；（2）全等三角形的面積相等，周長相等；（3）全等三角形的對應線段（高線、中線、角平分線）相等．
4．全等三角形的判定方法
①「邊、角、邊」（或sas）定理；②「角、邊、角」（或asa）定理；③「角、角、邊」（或aas）定理；④「邊、邊、邊」（或sss）定理；⑤ 「斜邊、直角邊」（或hl）定理．
5．說明全等三角形的思路
6．應注意的問題
（1）要正確區分「對應邊」與「對邊」、「對應角」與「對角」的不同含義；
（2）符號「≌」表示的雙重含義：①「∽」表示形狀相同；②「=」表示大小相等；
（3）表示兩個三角形全等時，表示對應的頂點的字母要寫在相對應的位置上；
（4）要正確區分判定三角形全等的結論的不同含義；
（5）要記住「有三個角對應相等」或「有兩邊及其中一邊的對角對應相等」的兩個三角形不一定全等．
二. 全等三角形的基本圖形全等三角形的基本圖形大致有如下幾種：
1.平移型下圖的圖形屬於平移型圖形
它們可看成是由對應相等的邊在同一直線上移動所構成的，故該對應邊的相等關係一般可由同一直線上的線段和或差而證得。
2．對稱型下面的圖形屬於對稱型圖形
它們的特徵是可沿某一直線對折，且這直線兩旁的部分能完全重合，重合的頂點就是全等三角形的對應頂點。
3．旋轉型下面的圖形屬於旋轉型圖形
它們可看成是以三角形的某一頂點為中心旋轉所構成的，故一般有一對相等的角隱含在平行線、對頂角、某些角的和或差中。
熟悉上述圖形對解決有關問題是大有益處的。具體解（證）題時，要善於抓住基本圖形，這樣就較易找到解決問題的途徑和方法。
三．全等三角形證題的基本思路
全等三角形具有對應邊相等和對應角相等的重要性質，因此利用全等三角形可證明某些線段或角相等，一般地，有如下兩種情況。
（1）條件充足時直接應用
在證明與線段或角相等的有關問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等，而從近年的中考題來看，這類試題難度不大，證明兩個三角形的條件比較充分．只要同學們認真觀察圖形，結合已知條件分析尋找兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等．
（2）條件不足，會增加條件用判別方法
此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補充使三角形全等的條件．解這類問題的基本思路是：執果索因，逆向思維，逐步分析，探索結論成立的條件，從而得出答案．
（3）條件比較隱蔽時，可通過新增輔助線用判別方法
在證明兩個三角形全等時，當邊或角的關係不明顯時，可通過新增輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關係，使條件由隱變顯，從而順利運用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等．
（4）條件中沒有現成的全等三角形時，會通過構造全等三角形用判別方法
有些幾何問題中，往往不能直接證明一對三角形全等，一般需要作輔助線來構造全等三角形．
（5）會在實際問題中用全等三角形的判別方法
新課標強調了數學的應用價值，注意培養同學們應用數學的意識，形成解決簡單實際問題的能力﹒在近年中考出現的與全等三角形有關的實際問題，體現了這一數學理念，應當引起同學們的重視．
四．典型例題
（一）全等三角形有關的概念
例1．如圖1，在中，，點，，在邊上，且，，則圖中全等三角形共有（ ）
a．2對 b．3對 c．4對 d．5對
例2．如圖2，是不等邊三角形，，以，為兩個頂點作位置不同的三角形，使所作三角形與全等，這樣的三角形最多可以畫出（ ）
a．2個 b．4個 c．6個 d．8個
（二）三角形全等的條件
1、三邊對應相等的兩個三角形全等（sss）．
2、兩邊和他們的夾角對應相等的兩個三角形全等（sas）．
3、兩角和他們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（asa）．
4、兩個角和其中乙個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（aas）．
對於兩個直角三角形，除了上述4條還有：
5、斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（hl）．
例3．（1）如圖6，已知ab＝ad，∠1＝∠2，要使△abc≌△ade，還需新增的條件是（只需填乙個
（2）已知：如圖7，點c、d**段ab上，pc=pd．請你新增乙個條件是圖中存在全等三角形，並給予證明．
所添條件為 ，你得到的一對全等三角形為
（三）全等三角形的應用
1．利用全等證線段或角相等
例4. 已知：如圖1所示，中，。
例5. 如圖2-6所示．∠a=90°，ab=ac，m是ac邊的中點，ad⊥bm交bc於d，交bm於e．求證：∠amb=∠dmc．
例6. 已知：如圖2所示，ab＝cd，ad＝bc，ae＝cf。
求證：∠e＝∠f
實戰演練：
1．如圖△abc≌△aef，ab=ae，∠b=∠e，則在下列結論中不一定成立的是（ ）
a、ac=af b、∠fab=∠eab c、ef=bc d、∠eab=∠fac
2. 如圖，∠e=∠f=90°，∠b=∠c，ac＝af，給出下列結論：①∠1=∠2；②be=cf；③△acn≌△abm；④cd=dn，其中正確的結論是 (把你認為所有正確結論的序號填上)．
3. 如圖，ae∥cd，ac∥db，ad與bc交於o，ae⊥bc於e，df⊥bc於f，那麼圖中全等的三角形有( )對
a．5 b．6 c． 7 d．8
4. 已知，如圖△abc中，ab=5，ac=3，則中線ad的取值範圍是
5. 如圖2，已知點d是△abc的邊ab上一點，ab∥fc，df交ac於點e，de=ef. 試說明ae=cf.
6. 如圖2，在與中，， 相交於點，過點作交的延長線於點，過點作交的延長線於點相交於點．圖中有若干對三角形是全等的，請你任選一對說明全等的理由（不新增任何輔助線）．
7. 如圖，已知ad=ae,ab=ac.求證：bf=fc
8. 如圖，已知△ abc為等邊三角形，延長bc到d，延長ba到e，並且使ae=bd，連線ce、de.求證：ec=ed
分析：把已知條件標註在圖上，需構造和△aec全等的三角形，因此過d點作df∥ac交be於f點，證明△aec≌△fed即可。
9. 如圖，在等腰rt△abc中，∠c＝90°，d是斜邊上ab上任一點，ae⊥cd於e，bf⊥cd交cd的延長線於f，ch⊥ab於h點，交ae於g．
求證：bd＝cg．
10. 已知如圖4，△abc是邊長為1的等邊三角形，△bdc是頂角（∠bdc）為120°的等腰三角形，以d為頂點作乙個60°的角，它的兩邊分別交ab於m，交ac於n，鏈結mn。求證：
的周長等於2。
11.在⊿中，分別延長中線至 ，使，，連線。求證：.
12.如圖，bd、ce分別是△abc的邊ac和ab上的高，點p在bd的延長線上，bp＝ac，點q在ce上，cq=ab
求證：(1)ap=aq；(2)ap⊥aq．(第16屆江蘇省競賽題)
13.如圖，已知在△abc中，∠b=60°，△abc的角平分線ad,ce相交於點o，求證：oe=od
14.如圖，△abc中，ad平分∠bac，dg⊥bc且平分bc，de⊥ab於e，df⊥ac於f.
（1）說明be=cf的理由；（2）如果ab=，ac=，求ae、be的長.
15.如圖所示．△abc是等腰三角形，d，e分別是腰ab及ac延長線上的一點，且bd=ce，連線de交底bc於g．求證：gd=ge．
16. 已知如圖（18），b是ce的中點，ad=bc，ab=dc．de交ab於f點
求證：（1）ad∥bc （2）af=bf．
17. 已知：如圖13所示，過的頂點a，在∠a內任引一射線，過b、c作此射線的垂線bp和cq。設m為bc的中點。
求證：mp＝mq
18.如圖，已知ac⊥bc，ce⊥ab於d，ce=ab，ef⊥cf，求證：bc=ef。
19．如圖，在△abc中，∠acb=900，ca=cb，d是cb上一點，cm平分∠acb，cf⊥ad於o，求證：∠amc=∠cfb。
20. 在直角梯形中，，為邊上一點，，且．連線交對角線於，連線．
(1)求證:； (2)為等邊三角形；
21. 如圖9，若△abc和△ade為等邊三角形，m，n分別eb，cd的中點，易證：cd=be，△amn是等邊三角形．
（1）當把△ade繞a點旋轉到圖10的位置時，cd=be是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；（4分）
（2）當△ade繞a點旋轉到圖11的位置時，△amn是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，並求出當ab=2ad時，△ade與△abc及△amn的面積之比；若不是，請說明理由．（6分）
22. 等邊三角形abc和等邊三角形def，d在ac邊上。延長bd交ce延長線於n，延長ae交bc延長線於m。
求證：cm=cn
23. 在中，，是角平分線，和高相交於，作交於，求證：．
24. 如圖2-7-2，在正方形abcd中，m是ab的中點，mn⊥md，bn平分∠cbe。
求證：md=mn。
25.(2011內江)如圖，在rt△abc中，∠bac=90°，ac=2ab，點d是ac的中點，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點分別與a、d重合，鏈結be、ec．
試猜想線段be和ec的數量及位置關係，並證明你的猜想．
證明三角形全等 二
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初二數學全等三角形習題學生版
1 如圖，在平行四邊形abcd中，分別以為邊向外作和，使 延長交邊於點，點在兩點之間，鏈結。1 求證 2 已知 點b e c f在同一直線上，ab de，a d，ac df 求證 abc def 3 已知 如圖，點c是線段ab的中點，ce cd，acd bce,求證 ae bd 4 如圖，abc中，...
如何構造全等三角形解題 學生版
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