一、 集合的相關概念
1. 滿足共同屬性的物件的全體叫做集合，集合的研究物件叫元素.
例：軍訓前學校通知:8月15日8點,高一年級學生到操場集合進行軍訓.試問這個通知的物件是全體的高一學生還是個別學生？每個學生與全體高一學生之間的關係？
問題：世界上最高的山能不能構成乙個集合？
世界上的高山能不能構成乙個集合？
我們把研究的物件統稱為「元素」,那麼把一些元素組成的總體叫「集合」.
2. 元素與集合的關係有兩種：屬於，不屬於
元素的特性（判斷是否為集合的依據）：
（1）確定性：給定的集合,它的元素必須是明確的,即任何乙個元素要麼在這個集合中,要麼不在這個集合中,這就是集合的確定性.
（2）無序性：即集合中的元素是沒有順序的.
（3）互異性：乙個給定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重複出現的,這就是集合的互異性.
結論：1、一般地，指定的某些物件的全體稱為集合，標記：a，b，c，d，…
集合中的每個物件叫做這個集合的元素，標記：a，b，c，d，…
2、元素與集合的關係
a是集合a的元素，就說a屬於集合a ，記作 a∈a ，
a不是集合a的元素，就說a不屬於集合a，記作 aa
3、集合的中元素的三個特性：
（1）元素的確定性：對於乙個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何乙個物件或者是或者不是這個給定的集合的元素。
（2）元素的互異性：任何乙個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的物件，相同的物件歸入乙個集合時，僅算乙個元素。比如：book中的字母構成的集合
（3）元素的無序性：集合中的元素是平等的，沒有先後順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。
3.有限集、無限集、空集、單元素集
4.常用數集及其記法:自然數集記作,正整數集記作或，整數集記作,有理數集記作,實數集記作r.
注意：（1）都是單元素集
（2）的區別
（3）具有全體之意
例1 判斷以下元素的全體是否組成集合：
（1）大於3小於11的偶數2）我國的小河流； ( )
（3）非負奇數4）本校2009級新生；（ ）
（5）血壓很高的人6）著名的數學家； （ ）
例題2 下列各組物件不能組成集合的是( )
a.大於6的所有整數b.高中數學的所有難題
c.被3除餘2的所有整數d.函式y=圖象上所有的點
練習1.下列條件能形成集合的是( d )
a.充分小的負數全體b.愛好足球的人
c.中國的富翁d.某公司的全體員工
2．下列結論中，不正確的是( )
a.若a∈n，則-anb.若a∈z，則a2∈z
c.若a∈q，則｜a｜∈q d.若a∈r，則
3、你能否確定，你所在班級中，高個子同學構成的集合？並說明理由。
你能否確定，你所在班級中，最高的3位同學構成的集合？
4、 （1） -3 n； （2）3.14 q； （3） q； （4）0 φ；
（5） q； （6） r； （7）1 n+； （8） r。
5、下列物件能否組成集合:
(1)陣列1、3、5、7;
(2)到兩定點距離的和等於兩定點間距離的點;
(3)滿足3x-2>x+3的全體實數;
(4)所有直角三角形;
(5)美國nba的著名籃球明星;
(6)所有絕對值等於6的數;
(7)所有絕對值小於3的整數;
(8)中國男子足球隊中技術很差的隊員;
(9)參加2023年奧運會的中國代表團成員.
6、說出下面集合中的元素:
(1);
(2);
(3).
7、用符號∈或填空:
(1)1______n,0______n,-3______n,0.5______n,______n;
(2)1______z,0______z,-3______z,0.5______z,______z;
(3)1______q,0______q,-3______q,0.5______q,______q;
(4)1______r,0______r,-3______r,0.5______r,______r.
8、判斷正誤:
(1)所有屬於n的元素都屬於n
(2)所有屬於n的元素都屬於z
(3)所有不屬於n*的數都不屬於z
(4)所有不屬於q的實數都屬於r
(5)不屬於n的數不能使方程4x=8成立
二、集合的表示方法
1.列舉法：即把集合的元素一一枚舉出來，並用花括號「」括起來，基本形式為，適用於有限集或元素間存在規律的無限集.
如「中國的直轄市」構成的集合，寫成
由「maths中的字母」 構成的集合，寫成
由「book中的字母」 構成的集合，寫成
注：（1） 有些集合亦可如下表示：從51到100的所有整數組成的集合：
所有正奇數組成的集合：
（2） a與不同：a表示乙個元素，表示乙個集合，該集合只有乙個元素.
（3） 集合中的元素具有無序性，所以用列舉法表示集合時不必考慮元素的順序.
2.描述法：用集合所含元素的共同特徵來表示，即用確定的條件表示某些物件是否屬於這個集合，並把這個條件寫在大括號內表示集合的方法，如
「中國的直轄市」構成的集合，寫成；
「方程x2+5x-6=0的實數解」 =
3.圖示法（venn圖或數軸）
4.區間法：設,且，規定
表示例1.用列舉法表示下列集合:
(1)小於5的正奇數組成的集合;
(2)能被3整除且大於4小於15的自然數組成的集合;
(3)方程x2-9=0的解組成的集合;
(4);
(5).
例2 已知,,且,求實數的值.
例3 下列關係錯誤的是（ ）
a. b. c. d.
練習1．下列說法正確的是（ ）
（a）所有著名的作家可以形成乙個集合
（b）0與的意義相同
（c）集合是有限集
（d）方程的解集只有乙個元素
2．下列四個集合中，是空集的是
ab．cd．3．方程組的解構成的集合是
abc． d．.
4．已知，，則b
5．若，，用列舉法表示b
6. 用列舉法表示下列集合:
(1)x2-4的一次因式組成的集合;
(2);
(3)方程x2+6x+9=0的解集;
(4);
(5);
(6);
(7);
(8);
(9).
7. 用列舉法表示下列集合
①是的約數_______;
④數字和為的兩位數
三、集合間的基本關係
問題：觀察下面幾個例子，你能發現兩個集合間有什麼關係了嗎？
（1）；
(2)設a為某中學高一(3)班男生的全體組成的集合，b為這個班學生的全體組成的集合；
(3)設
(4).
1. 對於兩個集合a、b，如果集合a中的任意乙個元素都是集合b中的元素，則兩個集合有包含關係，稱集合a是集合b的子集，記作（或），讀作「a含於b」（或「b包含a」）.
若，則集合a是集合b的子集
注意：空集是任何集合的子集，即
2. 真子集：且即集合a是集合b的真子集
3. 集相等：且
顯然, a的子集除a外都是它的真子集. 由個元素組成的集合,其子集個數為個, 真子集的個數為個.
例1 用適當的符號（）填空：
①411
例2 寫出集合的所有子集.
例3，列舉法寫出b，並說明此時a、b的關係.
例4 設，集合，則（ ）
a. 1 b. -1 c. 2 d. -2
練習：1. 設集合，，則與的關係是
2. 用列舉法
3. 用列舉法表示集合
4. 用描述法表示絕對值小於4的所有整數組成的集合
5. 集合，則用列舉法表示為
6. 寫出小於10的正偶數集合的所有真子集
7. 已知集合，，則與的關係是_______.
8. 已知集合，，若，則的取值範圍是________.
9、討論下列集合的包含關係
①a=，b=；
②a=，b=。
（2）寫出集合a=的所有非空真子集和非空子集
10、用連線下列集合對：
①a=，b=；
②a=n，b=r；
③a=，b=；
④a=，b=；
⑤a=，b=
11、若a=,則有幾個子集，幾個真子集？寫出a所有的子集.
12、設a=,b=,則a、b之間是什麼關係？
集合知識點總結
經典例題 例一 判斷下列集合是否為同乙個集合 不是，乙個是點集，乙個是數集 不是，元素範圍不同 不是，乙個是點集，乙個是數集 是，元素相同，均是實數，與代表元素無關 例二 用適當的符號填空 例三 若集合，且，則 或 解 依題，則，或，解出 由於元素具有互異性，故捨去1。例四 已知集合，若，則實數的取...
集合知識點總結
一 知識歸納 1 集合的有關概念。1 集合 集 某些指定的物件集在一起就成為乙個集合 集 其中每乙個物件叫元素 注意 集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。集合中的元素具有確定性 互異性 和無序性。集合具有兩方面的意義，即 凡是符合條件的物件...
集合知識點
專題一集合命題 規則一考查新定義集合 規則二考查集合之間的包含與相等關係 規則三考查集合的子集 規則四考查兩個集合的並集 規則五考查兩個集合的交集 規則六考查全集與補集 規則七考查用韋恩圖表示集合的關係及運算 一.新定義集合 新定義集合問題在近幾年的高考中時有出現，一般以選擇題或填空題的形式出現。這...