第二章分解因式
【知識要點】
1．分解因式
（1）概念：把乙個________化成幾個的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式。
（2）注意：①分解因式的實質是一種恒等變形，但並非所有的整式都能因式分解。
②分解因式的結果中，每個因式必須是整式。
③分解因式要分解到不能再分解為止。
2．分解因式與整式乘法的關係
整式乘法是
分解因式是
所以，分解因式和整式乘法為_______關係。
3．提公因式法分解因式
（1）公因式：幾個多項式的因式。
（2）步驟：①先確定後
（3）注意：①當多項式的某項和公因式相同時，提公因式後該項變為1。
當多項式的第一項的係數是負數時，通常先提出「」號。
4．運用公式法分解因式
（1）平方差公式
（2）完全平方公式
注：分解因式還有諸如十字相乘法、分組分解法等基本方法，做為補充講解內容。
【考點分析】
考點一：利用提公因式法分解因式及其應用
【例1】分解因式：
（12）
（34）
解析：（1）題先提乙個「」號，再提公因式；（2）題的公因式為；
（3）題的公因式為； （4）題的公因式為。
答案：（1）； （2）；
（34）。
【例2】（1）已知，，求的值。
（2）已知，，求的值。
解析：（1）題：，所以考慮整體代入求該代數式的值；
（2）題：，整體代入求值時注意符號。
答案：（12）
【隨堂練習】
1．分解因式：
（12）
（3） （4）
2．不解方程組，求的值
注：（1）公因式應按「係數大（最大公約數），字母同，指數低」的原則來選取。
（2）當多項式的某項和公因式相同時，提公因式後該項變為1，而不是沒有。
（3）當多項式的第一項的係數是負數時，通常先提出「」號。
（4）利用分解因式整體代入往往應用於代數式的求值問題。
考點二：利用平方差公式分解因式及其應用
【例3】分解因式：
（12）
解析：（1）題：原式從整體看符合平方差公式，所以整體套用平方差公式；
（2）題：，所以符合平方差公式，此題注意分解完全。
答案：（1）； （2）。
【例4】計算：（1）；
2）.解析：（1）題：原式中每乙個因式符合平方差公式，可以借助分解因式簡化計算。
（2）題：先化簡，再使用平方差公式。
答案：（1）； （2）。
【例5】利用因式分解說明：能被整除。
解析：對於符號相反的二項式，我們考慮使用平方差公式。此種題型應先將兩項化為底數相同的情況，再利用提取公因式法和平方差公式進行因式分解，最後湊出除數。
所以能被140整除。
【隨堂練習】
1．分解因式：
（12）
2. 利用分解因式說明：能被60整除.
注：（1）平方差公式的結構特徵是：二項式，兩項都是平方項，且兩項符號相反；
（2）公式中的可以是具體數，也可以是代數式；
（3）在運用平方差公式的過程中，有時需要變形。
考點三：利用完全平方公式分解因式及其應用
【例6】（1）分解因式：
（2）已知是完全平方式，求的值。
（3）計算：.
解析：（1）題：原式要先提取公因式，再利用完全平方差公式進行分解。
（2）題：此種題型考察完全平方公式的特徵，中間項是首尾兩項底數積的2倍（或其相反數）。
（3）題：。
答案：（1）； （2）； （3）
【例7】（四川·成都）已知，那麼的值是________。
解析：原式的前三項可以進行因式分解，分解為，再將變形為，整體代入求值。
答案：1．
【隨堂練習】
1．（1）分解因式
（2）若多項式能運用完全平方差公式進行因式分解，求的值。
（3）2．（1）已知：，，求代數式。
（2）當時，求代數式的值。
注：（1）完全平方公式的結構特徵是：三項式，首尾兩項分別為兩個數的平方，中間項是兩個底數積的2倍（或其相反數）；
（2）公式中的可以是具體數，也可以是代數式；
考點四：綜合利用各種方法分解因式及其應用
【例8】分解因式：
（12）
解析：（1）、（2）題都應先利用完全平方公式，再利用平方差公式進行因式分解。
答案：（1）； （2）。
【例9】（福建·漳州）給出三個多項式：，請選擇你最喜歡的兩個多項式進行加減運算，使所得整式可以因式分解，並進行因式分解。
解析：本題是一道開放題，只要所得整式可以因式分解。本題可任取兩個多項式進行加法運算再因式分解。如：
【例10】已知分別是三角形abc的三邊，試證明
解析：已知分別是三角形abc的三邊，可以想到利用三角形的三邊關係，再由不等式的左邊是平方差形式，可想到利用平方差公式分解因式。
由三角形三邊關係可知，上式的前三個因式大於0，而最後乙個因式小於0，則有：
【隨堂練習】
1．分解因式：
（12）
2. （2009，吉林）在三個整式：中，請你任意選出兩個進行加（或減）法運算，使所得整式可以因式分解，並進行因式分解。
注：分解因式的一般步驟可歸納為：「一提、二套、三查」。
一提：先看是否有公因式，如果有公因式，應先提取公因式；
二套：再考察能否運用公式法分解因式；運用公式法，首先觀察項數，若為二項式，則考慮用平方差公式；若為三項式，則考慮用完全平方公式。
三查：分解因式結束後，要檢查其結果是否正確，是否分解徹底。
【鞏固提高】
一、選擇題
1．下列從左到右的變形中，是分解因式的有（ ）
①②③④⑥⑦=
a、1個b、2個c、3個d、4個
2．下列多項式能分解因式的是（ ）
a、 b、 c、 d、
3．下列多項式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
a、 b、 c、 d、
4．是△abc的三邊，且，那麼△abc的形狀是（ ）
a、直角三角形 b、等腰三角形 c、等腰直角三角形 d、等邊三角形
5．如果是乙個完全平方式，那麼的值是（ ）
a、 b、 c、 d、
6．已知多項式分解因式為，則的值為
a、 b、 c、d、
7．已知，則的值是（ ）
a、或 b、 c、 d、或
8．若，則是
a、 b、 c、 d、
9．已知二次三項式可分解為兩個一次因式的積，下面說法中錯誤的是（ ）
a、若，則同取正號；
b、若，則同取負號；
c、若，則異號，且負的乙個數的絕對值較大；
d、若，則異號，且負的乙個數的絕對值較大。
10．已知，，，則多項式的值為（ ）
a、 b、 c、 d、
二、填空題
11.分解因式
12．在括號前面填上「＋」或「－」號，使等式成立：
13．若是乙個完全平方式，則的值是
14．已知：，那麼的值為
15．△abc的三邊滿足，則△abc的形狀是
16.觀察圖形，根據圖形面積的關係，不需要連其他的線，便可以
得到乙個用來分解因式的公式，這個公式是
17．若，則
18．分解因式第16題圖)
19．若， 則
20．若， 則
三、解答題
21.分解因式：
（12）
（34）
（56）
（78）
22．先分解因式，再求值：已知，求的值
23．設，，，（為大於零的自然數）。**是否為8的倍數，並用文字語言表達你所得到的結論。
24．對於實數，定義一種新運算：，分解因式：
25．閱讀下列計算過程：
99×99+199=992+2×99+1=（99+1）2=100 2=10 4
（1）計算：
999×999+1999
9999×9999+19999
（2）猜想9999999999×9999999999+19999999999等於多少？寫出計算過程。
第三章分式
【知識要點】
1．分式的概念及特徵：、表示兩個整式，÷就可以表示成的形式，如果中含有字母，式子就叫做分式。
2．分式有意義、無意義的條件：因為不能做除數，所以在分式中，有： 則
有意義； 則無意義。
3．分式值為零的條件：分式的值為零要同時滿足：分母的值不為零，分式的值為零這兩個條件。即則有且。
4. 分式的符號法則：＝＝＝
5. 分式的運算
（1）同分母分式相加減，分母不變，只把分式相加減，即 =
（2）異分母分式相加減，先通分，變為同分母的分式，然後再加減，即= =
注：1. 無論是探求分式有意義、無意義的條件，還是分式值等於零的條件，都將轉化成解方程或不等式的問題。
初中因式分解經典例題
因式分解集錦2014 8 一 因式分解定義辨析 1 下列各式從左到右的變形，那些是因式分解？那些不是？1 x y x y x2 y22 a2 4a 4 a a 4 4 3 m2n 9n n m 3 m 34 x2 4x 2 x 2 2 2 二 因式分解的方法 一 基礎篇 例1 提公因式 把下列各式進...
因式分解經典學習三
因式分解經典學習資料三公式法分解因式 知識要點 平方差公式 a2 b2 a b a b 完全平方公式 a2 2ab b2 a b 2 典型例題 判斷正誤 1 x2 y2 x y x y2 x2 y2 x y x y 3 x2 y2 x y x y4 x2 y2 x y x y 1.直接運用公式 例1...
經典初二數學因式分解
1 有乙個因式是，另乙個因式是 a b c d 2 把a4 2a2b2 b4分解因式，結果是 a a2 a2 2b2 b4 b a2 b2 2 c a b 4 d a b 2 a b 2 3 若a2 3ab 4b2 0,則的值為 a 1 b 1 c 4或 1 d 4或1 4 已知為任意整數，且的值總...