一、如何證明三角形相似
例1、如圖：點g在平行四邊形abcd的邊dc的延長線上,ag交bc、bd於點e、f，則△agd
例2、已知△abc中，ab=ac，∠a=36°，bd是角平分線，求證：△abc∽△bcd
例3：已知，如圖，d為△abc內一點鏈結ed、ad，以bc為邊在△abc外作∠cbe=∠abd，∠bce=∠bad
求證：△dbe∽△abc
例4、矩形abcd中，bc=3ab，e、f，是bc邊的三等分點，鏈結ae、af、ac，問圖中是否存在非全等的相似三角形？請證明你的結論。
二、如何應用相似三角形證明比例式和乘積式
例5、△abc中，在ac上擷取ad，在cb延長線上擷取be，使ad=be，求證：dfac=bcfe
例6：已知：如圖，在△abc中，∠bac=900，m是bc的中點，dm⊥bc於點e，交ba的延長線於點d。
例7：如圖△abc中，ad為中線，cf為任一直線，cf交ad於e，交ab於f，求證：ae：
ed=2af：fb。過d點作dg∥ab交fc於g則△aef∽△deg。
（平行於三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似） （1）
∵d為bc的中點，且dg∥bf∴g為fc的中點則dg為△cbf的中位線，
（2）將（2）代入（1）得：
三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。
例8：已知：如圖e、f分別是正方形abcd的邊ab和ad上的點，且。求證：∠aef=∠fbd
例9、在平行四邊形abcd內，ar、br、cp、dp各為四角的平分線， 求證：sq∥ab，rp∥bc
例10、已知a、c、e和b、f、d分別是∠o的兩邊上的點，且ab∥ed，bc∥fe，求證：af∥cd
例11、直角三角形abc中，∠acb=90°，bcde是正方形，ae交bc於f，fg∥ac交ab於g，求證：fc=fg
例12、rt△abc銳角c的平分線交ab於e，交斜邊上的高ad於o，過o引bc的平行線交ab於f，求證：ae=bf
（答案）
例1分析：關鍵在找「角相等」，除已知條件中已明確給出的以外，還應結合具體的圖形，利用公共角、對頂角及由平行線產生的一系列相等的角。本例除公共角∠g外,由bc∥ad可得∠1=∠2，所以△agd∽△egc。
再∠1=∠2（對頂角），由ab∥dg可得∠4=∠g，所以△egc∽△eab。
例2分析：證明相似三角形應先找相等的角，顯然∠c是公共角，而另一組相等的角則可以通過計算來求得。借助於計算也是一種常用的方法。
證明：∵∠a=36°，△abc是等腰三角形，∴∠abc=∠c=72°又bd平分∠abc，則∠dbc=36°
在△abc和△bcd中，∠c為公共角，∠a=∠dbc=36°∴△abc∽△bcd
例3分析： 由已知條件∠abd=∠cbe，∠dbc公用。所以∠dbe=∠abc，要證的△dbe和△abc，有一對角相等，要證兩個三角形相似，或者再找一對角相等，或者找夾這個角的兩邊對應成比例。
從已知條件中可看到△cbe∽△abd，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決。
證明：在△cbe和△abd中，∠cbe=∠abd, ∠bce=∠bad∴△cbe∽△abd∴=即： =
△dbe和△abc中，∠cbe=∠abd, ∠dbc公用∴∠cbe+∠dbc=∠abd+∠dbc∴∠dbe=∠abc且=∴△dbe∽△abc
例4分析：本題要找出相似三角形，那麼如何尋找相似三角形呢？下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：
（1） 如圖：稱為「平行線型」的相似三角形
(2)如圖：其中∠1=∠2，則△ade∽△abc稱為「相交線型」的相似三角形。
(3)如圖：∠1=∠2，∠b=∠d，則△ade∽△abc，稱為「旋轉型」的相似三角形。
觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是「相交線型」的相似三角形，及△eaf與△eca
解：設ab=a，則be=ef=fc=3a，
由勾股定理可求得ae=， 在△eaf與△eca中，∠aef為公共角，且所以△eaf∽△eca
例5 分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及df：fe=bc：ac，再利用相似三角形或平行線性質進行證明：
證明：過d點作dk∥ab，交bc於k，
∵dk∥ab，∴df：fe=bk：be
又∵ad=be，∴df：fe=bk：ad，而bk：ad=bc：ac
即df：fe= bc：ac，∴dfac=bcfe
例6 證明：（1）∵∠bac=900，m是bc的中點，∴ma=mc，∠1=∠c，
∵dm⊥bc，∴∠c=∠d=900-∠b，∴∠1=∠d，
∵∠2=∠2，∴△mae∽△mda，∴，∴ma2=mdme，
（2）∵△mae∽△mda，∴，∴
評注：命題1 如圖，如果∠1=∠2，那麼△abd∽△acb，ab2=adac。
命題2 如圖，如果ab2=adac，那麼△abd∽△acb，∠1=∠2。
例7 分析：圖中沒有現成的相似形，也不能直接得到任何比例式，於是可以考慮作平行線構造相似形。怎樣作？
觀察要證明的結論，緊緊扣住結論中「ae：ed」的特徵，作dg∥ba交cf於g，得△aef∽△deg，。與結論相比較，顯然問題轉化為證。
證明：過d點作dg∥ab交fc於g則△aef∽△deg。（平行於三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似） （1）
∵d為bc的中點，且dg∥bf∴g為fc的中點則dg為△cbf的中位線， （2）將（2）代入（1）得：
例8 分析：要證角相等，一般來說可通過全等三角形、相似三角形，等邊對等角等方法來實現，本題要證的兩個角分別在兩個三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個角所在的三角形顯然不可能相似（乙個在直角三角形中，另乙個在斜三角形中），所以證明本題的關鍵是構造相似三角形，
證明：作fg⊥bd，垂足為g。設ab=ad=3k則be=af=k，ae=df=2k，bd=
∵∠adb=450，∠fgd=900∴∠dfg=450∴dg=fg=∴bg=∴
又∠a=∠fgb=900∴△aef∽△gbf ∴∠aef=∠fbd
例9 分析：要證明兩線平行較多採用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關鍵的一點就是要明確目標，選擇適當的比例線段。
要證明sq∥ab，只需證明ar：as=br：ds。
證明：在△ads和△arb中。
∵∠dar=∠rab=∠dab，∠dcp=∠pcb=∠abc∴△ads∽△abr
但△ads≌△cbq，∴ds=bq，則，∴sq∥ab，同理可證，rp∥bc
例10分析：要證明af∥cd，已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供利用，這就要進行正確的選擇。其實要證明af∥cd，只要證明即可，因此只要找出與這四條線段相關的比例式再稍加處理即可成功。
證明：∵ab∥ed，bc∥fe∴，∴兩式相乘可得：
例11 分析：要證明fc=fg，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來證明。要證明fc=fg，首先要找出與fc、fg相關的比例線段，圖中與fc、fg相關的比例式較多，則應選擇與fc、fg都有聯絡的比作為過渡，最終必須得到（「？
」代表相同的線段或相等的線段），便可完成。
證明：∵ fg∥ac∥be，∴△abe∽△agf 則有而fc∥de ∴△aed∽△afc
則有 ∴又∵be=de（正方形的邊長相等）∴，即gf=cf。
例12 證明：∵co平分∠c，∠2=∠3，故rt△cae∽rt△cdo，∴
又of∥bc，∴又∵rt△abd∽rt△cad，∴，即∴ae=bf。
一、選擇題
1．（2023年濱州）如圖所示，給出下列條件：
①；②；③；④．
其中單獨能夠判定的個數為（ ）
a．1 b．2 c．3 d．4
【關鍵詞】三角形相似的判定.
【答案】c
2.（2023年上海市)如圖，已知，那麼下列結論正確的是（ ）
a． b． c． d．
【關鍵詞】平行線分線段成比例
【答案】a
3.(2009成都)已知△abc∽△def，且ab：de=1：2，則△abc的面積與△def的面積之比為
(a)1：2 (b)1：4 (c)2：1 (d)4：1
【關鍵詞】
【答案】b
4. (2023年安順)如圖，已知等邊三角形abc的邊長為2，de是它的中位線，則下面四個結論：
（1）de=1，（2）△cde∽△cab，（3）△cde的面積與△cab的面積之比為1：4.其中正確的有：
a．0個 b．1個 c．2個 d．3個
【關鍵詞】等邊三角形，三角形中位線，相似三角形
【答案】d
5.（2009重慶綦江）若△abc∽△def, △abc與△def的相似比為１∶2，則△abc與△def的周長比為（ ）
a．1∶4 b．1∶2 c．2∶1 d．１∶
【關鍵詞】
【答案】b
6.（2023年杭州市）如果乙個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另乙個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那麼x的值（ ）
a．只有1個b．可以有2個
c．有2個以上但有限 d．有無數個
【關鍵詞】相似三角形有關的計算和證明
【答案】b
7.2023年寧波市）如圖，菱形abcd中，對角線ac、bd相交於點o，m、n分別是邊ab、ad的中點，連線om、on、mn，則下列敘述正確的是（ ）
a．△aom和△aon都是等邊三角形
b．四邊形mbon和四邊形modn都是菱形
c．四邊形amon與四邊形abcd是位似圖形
d．四邊形mbco和四邊形ndco都是等腰梯形
【關鍵詞】位似
【答案】c
8.（2023年江蘇省）如圖，在方格紙中，將圖①中的三角形甲平移到圖②
中所示的位置，與三角形乙拼成乙個矩形，那麼，下面的平
移方法中，正確的是（ ）
a．先向下平移3格，再向右平移1格
b．先向下平移2格，再向右平移1格
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