第十章附錄
§10.1. r中lebesgue測度的平移不變性及lebesgue不可測集
定義1．設，．稱為e關於y的平移．
引理1．設，則成立：
(1)； (23)．
( 據，10題 ) (證略)
定理1. (測度的平移不變性) 若e可測，則也可測，且．
證：由， 11題知，e可測可測， 且．
zermelo選擇公理．對於集族，若每個，則，可選取元素．
lebesgue不可測集的構造：
，記．結論：(i)且．
(ii)
當．當，可取，則
． 矛盾． ．
對上的集族，每個非空，可取，得集合．
下證f是不可測集．
為此，記，．
(iii) 若則．
假設滿足． 從而，且不為0，．
於是，，這樣，包含兩個不同的點和，與f的取法矛盾．
(iv)．
顯然，．
，設，則．
由於． 從而．
有了以上準備，易證明f的不可測性．反證法．假設f可測，則也可測，且．但互不相交，故， 即．
是常數，這不可能成立．所以，f 不可測．
§10.2 有界變差函式與絕對連續函式
定義10.2.1. 實函式，的分劃， 記
， 稱為 f 在分劃下對應的變差．
若，則稱為上的有界變差函式，記；
稱為在上的全變差；
稱， 為的全變差函式．
定義10.2.2. 實函式．若對於上任意有限個互不相交的開區間，當時，有，稱為上的絕對連續函式(或全連續函式)．
定義10.2.3. 設， 稱 ， 為 f 的乙個不定積分．（書上錯）
定理10.2.1. (1) 若，則有； 若使得且，則，且有，．
(2) , ．
(3) 若， 則， 且 ，
；，；，，其中分別為在上的界． 說明是乙個線性空間．
(4) 若為上的有界單調函式，則， 且 .
(5) 若， 則與具有相同的左、右連續點.
(6)（jordan分解）若，則存在上的兩個單增函式，滿足．
定理10.2.2.( 以下函式的定義域均為)．
(1) 絕對連續函式必為一致連續函式；
(2) 絕對連續函式必為有界變差函式；
(3) 滿足lipschite條件的函式必為絕對連續函式；
(4) l可積函式的不定積分為絕對連續函式，且 ；
(5) 絕對連續函式的線性組合與乘積為絕對連續函式；
(6) 絕對連續函式的全變差函式為絕對連續函式；
(7) 絕對連續函式必可分解為兩個單增的絕對連續函式之差．
引理1. (略)．
引理2. r上的有限值單調函式關於可導．
定理10.2.3.設為上的有界單增函式，在的導數不存在的點x 處規定為任一值，則
，且 ．
推論．若或絕對連續函式， 則 f 在上存在有限導數． 若在不存在的點處規定為任一值， 則．
引理3. 若為上的絕對連續函式，且， 於， 則為常值函式．
定理10.2.4.(微積分基本定理)．
為上的絕對連續函式的充要條件是， 滿足 ； 而且於．
推論．連續函式，對應的有限廣義測度為，則為上的絕對連續函式．
§10.3 riemann－stieltjes 積分
定義10.3.1 設為上的單增函式，對應於的每個分劃，記．設 f 在上的有界實函式，， 分別稱為 f 關於與的 darboux 上、下和，其中，．
記 ， ．
若，稱之為在上關於的 riemann－stieltjes 積分，並稱在上關於r－s 可積，記為．
定理10.3.1.的充要條件是，，分劃，使得．
定理10.3.2. 若,則；並且，對於,對的任一分劃，，以及在分劃下的任一介點集
（其中）， 均有．
定理10.3.3. 設為上的有界單調函式，為上的有界單增連續函式，則．
定理10.3.4.（r－s 積分的基本性質）
(1) 若， 並且
．(2) 若，為常數，則， 並且．
說明是乙個線性空間．
(3) 若，， 則．
(4) 若，則，，並且
．(5) 若，，則， 並且
．(6) 若，為正常數，則， 並且．
定理10.3.5. 設，，，則
（與的復合函式）．
定理10.3.6. 若，那麼：
(12)，且．
定義10.3.2 設為上的有界函式，為上的有界單增函式．對應於的任一分劃，任取介點集，作和，稱它為關於與的riemann－stieltjes 積分和．
設 a為實常數，若，對於任一分劃以及介點集，只要，就有，則記作．
定理10.3.7. 若與有公共的間斷點，則不存在．
定理10.3.8. (1) 若存在，則，且．
(2) 若 (a)，或(b)，且在上連續單增，則上式成立．
定義10.3.3，jordan分解．若積分，存在，定義．
［注］在下述兩種情形下，則上述積分必存在：
(a)，；
(b)，且．
定理10.3.9. 設，滿足上述注的(a) 或(b)，為在上的全變差函式，則
．定理10.3.10. 設，，則．（分部積分法）
定理10.3.11. 若，為上有界單增函式， 則滿足
．定理10.3.12. 若在上單調， 且， 則使得
．定理10.3.13. 若，為嚴格增加函式，是的反函式，記則
換元積分法）
定理10.3.14. 若，則，且．
定理10.3.15－10.3.16. 設，，為在上的全變差函式． 定義，，， 那麼：
(1)，且；
(2)；
；(3) ．
定理10.3.17. 設在上有界，為上有界單增函式，則以下三條等價：
(1)．
(2) 存在實常數具有下列性質：，存在的乙個分劃，使得對的任一加細及分劃下的任一介點集，有 ．
(3)，存在的乙個分劃，對於的任一加細，均有．
定理10.3.18. 設，， 在上一致收斂於，則
定理10.3.19. 設，，於，且使得，，那麼，且有．
實變函式論課後答案第五章
第五章第二節習題 1 設，在上可測且幾乎處處有限 證明 在上可積的充要條件是 證明在上可積在上可積，顯然可測 由可測 若，則則從知。反過來，若，則 所以此時，可積，從而可積。證畢2 證明，分別在和上不可積。證明顯然在上連續，從而非負可測。p142 th2 積分不分開區間還是閉區間 所以在上不可積。p...
實變函式第二章習題解答
第二章習題參考解答 1 證明 有理數全體是中可測集，且測度為0.證 1 先證單點集的測度為0.令.因為，為開區間 故.所以可測且.2 再證 中全體有理數全體測度為0.設是中全體有理數，令.則是兩兩不相交的可測集列，由可測的可加性有 法二 設，令，其中是預先給定的與無關的正常數，則 由得任意性，2.證...
實變函式第四章習題解答
第四章習題參考解答 1 設是上的可積函式，如果對於上的任意可測子集，有，試證 證明 因為，而，由已知，又因為，所以，故,從而 即，2.設，都是上的非負可測函式，並且對任意常數，都有 試證 從而，證明 我們證，是同乙個簡單函式序列的極限函式.及，令，並且 則是互不相交的可測集，並且，定義簡單函式 下面...