數學第一章集合
知識點考點
集合1． 集合的基本概念
（1）集合及其有關基本概念
集合：把一些確定的物件看成乙個整體就形成了集合。一般用大寫的拉丁字母a、b、c……等表示集合。
元素：集合中的每個物件叫做這個集合的元素。一般用小寫拉丁字母a,b,c,……表示集合的元素。
：表示是集合a的元素，讀做「屬於集合a」。
：表示不是集合a的元素，讀做「不屬於集合a」。
有限集：含有有限個元素的集合叫做有限集。
無限集：含有無限個元素的集合叫做無限集。
單元素集：只含有乙個元素的集合叫做單元素集。
空集：不含有任何乙個元素的集合叫做空集，記做
（2）常見的幾種數集
自然數集：全體非負整數的集合叫做自然數集（也叫非負整數集），通常記作n，注意0n。非負整數內排除0的集，也稱正整數集，表示成z+;
整數集：全體整數的集合叫做整數集，通常記作z，全體正整數的集合通常記做
有理數集：全體有理數的集合叫做有理數集，通常記作q。
實數集：全體實數的集合叫做實數集，通常記作r。
（3）關於區間的概念
設是兩個實數，而且，我們規定：
（1）滿足不等式的實數x的集合叫做閉區間，表示為；
（2）滿足不等式的實數x的集合叫做開區間，表示為（）；
（3）滿足不等式或的實數x的集合叫做半開半閉區間，分別表示為
實數集也可以用區間表示為，「」讀作「無窮大」「」讀作「負無窮大」，「」讀作「正無窮大」，我們還可以把滿足x≥a，x>a，x≤b，x不等式的解集和函式的定義域、值域等，也可用區間表示。
2．集合的表示法
列舉法：把集合中的元素一一枚舉出來，寫在大括號內，這種表示集合的方法叫做列舉法，如。
描述法：把集合中元素的共同特性描述出來並寫在大括號內，這種表示集合的方法叫做描述法，如，。如果從上下文看，是明確的，那麼第乙個集合也可以表示成。
有時也可用圖示法來表示集合，比如畫乙個圓表示集合。
3． 集合與集合的關係
（1）子集
一般地，對於兩個集合、，如果集合的任何乙個元素都是集合的元素，那麼集合a叫做集合b的子集，記做，讀做集合包含於集合b，或集合包含集合a。
由子集的定義知道：；並且如果如果
真子集：如果集合a是集合b的子集，並且b中至少有乙個元素不屬於a，那麼集合a叫做集合b的真子集，記做 a b。
集合相等：對於兩個集合a與b，如果，那麼就說集合a與集合b相等，記做a=b
（2）交集
由所有屬於且屬於的元素所組成的集合，叫做集合與的交集，記作即
。由交集的定義知道：
（3）並集
由所有屬於或屬於b的元素所組成集合，叫做集合與的並集，記做，即
。由並集的定義知道：
（4）補集
全集：在研究集合與集合之間關係時，這些集合常常都是某乙個給定的集合的子集，這個給定的集合叫做全集，用符號u表示。
補集：已知全集u，集合，由u中所有不屬於a的元素組成的集合，叫做集合a在集合u中的補集，記做。由補集定義知道：。
典型例題
例1 用適當的符號（，，=， ）填空：
（1）1_____n23);
（4）z______r； （5）_____; (6)1_______
（7）0______ （8）； （9）；
（10）_______
解：（1）；（2）；（3） ； （4） ； （5） ；（6）；
（7）；（8） ； （9）；（10）=
說明：（1）（屬於）和（不屬於）符號是用來表示元素與集合之間關係的，因此，有等。
（2）符號表示集合與集合之間的關係，因此， q，z r等。
（3）一般地，a表示乙個元素，而表示只有乙個元素a的單元素集，不要將a與混淆，因此，有 ，1，0。
（4）是乙個集合，其中不含任何元素，0（零）是乙個元素，是含有元素0的乙個單元素集合，因此， ，0，0，不能寫成=，0=
（5）用列舉法表示集合時，不必考慮元素之間的順序，因此，有=
例2設解： 。
說明：求不等式解集的交、並、補，可將它們各自的範圍在數軸上表示出來，然後根據交、並、補的意義找到解。
例3 若集合，則
解：集合m,n分別表示的是函式的值域，所以，故。
第二章函式
知識點、考點
一、函式
1．函式的概念
（1）函式的定義
如果在某個變化過程中有兩個變數x,y，並且對於x在某個範圍內的每乙個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，那麼y就是x的函式，x叫做自變數，可以記作
（其中f表示對應法則）
（2）函式的表示法
1 解析法：用等式表示兩個變數間的函式關係的方法。
2 列表法：列表表示兩個變數間的函式關係的方法。
3 圖想法：用影象表示兩個變數間的函式關係的方法。
（3）函式的性質
1 函式的單調性
在乙個區間上，如果對於自變數x的任意兩個值，當時，，那麼稱函式在此區間上是增函式；如果對於自變數x的任意兩個值，當時，，那麼稱函式在此區間上是減函式。
如果函式y=在某個區間上是增函式或減函式，就說在此區間上具有單調性，此區間叫做的單調區間。
②函式的奇偶性
如果對於函式的定義域內的任意乙個x，都有，那麼稱是奇函式，如果對於函式的定義域內的任意乙個x，都有，那麼稱是偶函式。
奇函式影象關於原點對稱，偶函式影象關於y軸對稱。
二、正比例函式、一次函式、反比例函式
函式y=kx（常數k）叫做正比例函式，函式y=kx+b叫做x的一次函式（k,b是常數，且k），函式（常數k）叫做反比例函式。
1．正比例函式
正比例函式y=kx的影象是經過點（0，0）和點（1，k）的直線，它有下面的性質：
（1） 當k>0時，它的影象在第
一、三象限，且y隨x的增大而增大；當k<0時，它的影象在第
二、四象限，且y隨x的增大而減小。
（2） 由於|k|的大小不同，直線對x軸的傾斜程度也不同，|k|越小，直線越靠近x軸，|k|越大，直線越離開x軸。
2．一次函式
一次函式y=kx+b的影象是經過（0，b）而平行於直線y=kx的一條直線，它有下面性質：
（1） 當k>0時，y隨x的增大而增大，當k<0時，y隨x的增大而減小。
（2） |k|越小，直線越靠近經過（0，b）的x軸的平行線，|k|越大，直線越離開經過（0，b）的x軸的平行線。
3．反比例函式
反比例函式（常數k）的影象叫做雙曲線，它有下面性質：
（1） 當k>0時，函式影象的兩個分支分別分布在第
一、三象限內，且每乙個分支，y隨x的增大而減小；當k<0時，函式影象的兩個分支分別分布在第
二、四象限內，且每乙個分支，y隨x的增大而增大。
（2） 兩個分支都無限接近但永遠不能到達x軸和y軸。
三．二次函式
函式y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常數，且a0)叫做二次函式。y=ax2+bx+c(a0)叫做二次函式的一般式，通過配方，它可以化成形式，它叫二次函式的頂點式。
一般來說，函式y=ax2+bx+c（a0）的圖象和性質如下：
四．指數函式與對數函式
1． 指數
（1） 基本概念
1 正整數指數冪：
2 零指數冪：
3 負整數指數冪：
4 n次方根：一般地，如果乙個數的n次方等於a（n>1，且），那麼這個數叫做a 的n次方根，就是說，如果，那麼x叫做a的n次方根，其中n>1，且。正數的偶次方根有兩個，這兩個數互為相反數；負數沒有偶次方根；0的偶次方根是0。
正數的奇次方根是乙個正數，負數的奇次方根是乙個負數，0的奇次方根是0。
算術根：正數a的正的n次方根叫做a的n次算術根。
根式：表示方根的代數式叫做根式。
如果式子是乙個根式，則
當n是奇數時，；
當n是偶數時，
5 分數指數冪
正分數指數冪： （，且）
當 n為奇數時，；當n為偶數時，
負分數指數冪： （，且）
當n為奇數時，；當n為偶數時，a>0
（2） 冪的運算法則
① （，）
②（，）
③（，，）
2．對數
（1） 定義：一般地，如果的次冪等於，就是，那麼數叫做以為底的對數，記作，其中叫做對數的底數；叫做真數
對數式中，
（2） 性質：
1 0與負數無對數
2 底對數等於1，即
3 1的對數等於0，即
4 （n>0）
5 當a>1時,n>1則；0當01則；0（3） 運算性質
如果那麼①②
③3．指數函式與對數函式
指數函式和對數函式的解析式、定義域、圖象與性質如下表所示：
複習要求
一． 了解函式概念，會求一些常見函式的定義域。
二． 了解函式的單調性和奇偶性的概念，會判斷一些常見函式的單調性、奇偶性。
三． 理解一次函式、反比例函式，掌握它們的圖象和性質，會求它們的解析式。
四． 理解二次函式的概念，掌握它的圖象和性質，會求二次函式的解析式及最大或最小值，能靈活運用二次函式的知識解決有關問題。
五． 理解零指數冪、負整數指數冪、根式、分數指數冪的概念，掌握有理指數冪的運算性質。
六． 理解對數的概念，掌握對數的運算性質。
七． 掌握指數函式、對數函式的概念、圖象和性質。
典型例題
例1求下列各式的值。
（12）
（3）解：（1）原式=
說明：將根式化成分數指數冪，根據冪的運算法則進行計算。
（2）原式=
（3）原式=
例2 已知函式，則f(1
解： 例3 設y=f(x)是反比例函式，且f(-2)=4,求f(x).
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