§6.1 總體與樣本
6.1.1 總體與個體
在概率統計中，我們把對某個問題研究物件全體組成的集合稱為總體（或母體），而把組成總體的每個元素稱為個體，例如，某班的全體學生構成乙個總體，則每個學生為個體。在處理實際問題時，人們關心的不是總體中每個個體的特殊屬性，而是表徵總體狀況的某乙個或幾個數量指標。對於乙個總體來說，它的每乙個數量指標對於不同的個體其指標值可能是不同的，即就是說數量指標是乙個隨機變數（或隨機向量），所以我們常常把研究物件的某乙個數量指標的可能取值的全體組成的集合稱為總體，而直接把總體與隨機變數等同起來，說」總體」，的概率分布稱為總體分布，的數字特徵稱為總體的數字特徵。
6.1.2 樣本
要了解總體的分布規律，就必須從該總體中按一定法則抽取一部分個體進行觀測或試驗，以獲得有關總體的資訊，從總體中抽取有限個個體的過程稱為抽樣，所抽取的部分個體稱為樣本，樣本中所含個體的數目稱為樣本的容量。例如，為研究某批電視機的質量，通常把使用壽命作為體現質量特徵的數量指標，為了解總體的概率分布情況，我們從這批電視機中抽樣臺進行觀測或試驗，第臺電視機的使用壽命記為（…）， 這樣就是來自總體的乙個容量為的樣本，需要注意的是：由於樣本是從總體中隨機抽取的，在抽取之前無法預知它們的數值，因此樣本是乙個維隨機向量，在抽取以後，通過觀測或試驗得到一組數值，用表示，稱為樣本的觀測值。
抽取樣本的目的是為了對總體的特性作出估計與推斷，為了能使樣本很好地反映總體的特性，數理統計中常用的一種抽樣方法是簡單隨機抽樣，指的是對總體的抽樣結果,….相互獨立，且每個與總體同分布，這樣的樣本稱為簡單隨機樣本。今後，如果不作特別申明，所說的樣本都是指簡單隨機樣本。
6.1.3樣本的聯合分布
設總體的分布函式為，為來自總體的樣本，那麼樣本的聯合分布函式為
。如果總體是離散型隨機變數，其分布律為，那麼樣本的聯合分布律為
。如果總體是連續型隨機變數，其分布密度為，那麼樣本的聯合分布密度為
。6.1.4經驗分布函式分布
設總體的分布函式為，是來自總體的樣本，為樣本觀察值，現將從大到小排列，記為
則有定義函式
顯然，是非降右連續函式，且。由此可見，是乙個分布函式，稱為經驗分布函式。
§6.2 統計量
6.2.1 統計量的定義
數理統計的任務就是從總體中抽取樣本，進而利用所獲得的樣本資訊對總體的某些概率特徵進行推斷，為了有效地蒐集到樣本的資訊，往往需要考慮各種不含任何未知引數的樣本的函式，這種函式就是數理統計學中討論的統計量。
定義6.2.1設是來自總體的樣本，設是連續的不含任何未知引數的元實值函式，樣本的函式
是乙個隨機變數，稱為統計量。
例6.2.1 設是來自正態總體～的樣本。其中已知，未知，則
，，，是統計量，而不是統計量。
當我們得到樣本的觀測值時，也就得到了統計量的觀測值記為，它是乙個具體的數值。
6.2.2 常用的統計量
下面介紹一些常用的統計量
1. 樣本的數字特徵
定義6.2.2 設是來自總體的樣本，則稱統計量
為樣本均值，稱統計量
為樣本方差，稱統計量
為樣本標準差，一般地，稱統計量
為樣本階原點矩，稱統計量
為樣本階中心矩。
顯然，，即樣本階原點矩就是樣本均值, 而，當樣本的觀測值為時，我們用，，，分別表示統計量，，，的觀察值，如。
定理6.2.1設總體數學期望及方差存在，是來自總體的樣本，則
，,。證明由於相互獨立與總體同分布，故有
， ，從而。。
注意到，所以。
2. 順序統計量
定義6.2.3 設是來自總體的樣本，將它們按大小排列成
都稱為順序統計量。
可以看出
， ，稱為最小順序統計量，為最大順序統計量，稱為極差。
例6.2.2設總體的分布函式為，密度函式為，是來自總體的樣本，求和的分布函式及密度函式。
解設和的分布函式分別為,，由於相互獨立與總體同分布，則
，所以的密度函式為。又
，所以的密度函式為
。§6.3 數理統計中幾個常見分布
本節我們主要介紹分布、分布、分布及其性質，這些分布在數理統計中有重要的應用。
6.3.1分布
定義6.3.1設隨機變數相互獨立，且～，則稱隨機變數
服從自由度為的分布，記為～。特例，如果～，則～。
的分布密度為
其中稱為函式, 且,。分布密度的影象為
圖6.3.1圖6.3.2)
分布具有如下性質：
(1)分布具有可加性，設隨機變數相互獨立，`且～，則～;
(2)設～，則，。
在本書附錄表3中，如果～，在給定自由度及數的情況下，可以查表得數(圖6.3.2)滿足
，稱為分布的臨界值(或上側分位數)。顯然有。
例6.3.1 設～
(1)，；
(2)，；
(3)， 。
例6.3.2 設是來自總體～的樣本，設，如果～，求。
解由於相互獨立與同分布，由正態分佈的可加性得
～，～，
於是～， ～，
且兩者相互獨立，所以
～，故當時，～。
6.3.2分布
定義6.3.2設隨機變數與相互獨立，且～，～，則稱隨機變數
服從自由度為的分布，記為～。
的分布密度為
。分布是英國統計學家哥色特(w. s.
gosset)於2023年以「student」的筆名發表的研究成果，所以分布又稱為學生分布，它常用於樣本容量較小時的統計推斷，顯然是偶函式，其影象關於縱軸對稱，我們可以證明
， 因此只要充分大，分布近似於。實際上，當時，與就相差很少了。圖6.3.3給出了及的密度曲線。
(圖6.3.3圖6.3.4)
在本書附錄表4中，如果～，在給定自由度及數的情況下，可以查表得數(圖6.3.4)滿足
，稱為分布的臨界值(或上側分位數)。根據臨界值的定義及密度函式的影象關於縱軸對稱，不難得到：
=，，。
例6.3.3設～
(1)，；
(2)，；
(3)，。
例6.3.4 設是來自總體～的樣本，求統計量的分布。
解由於相互獨立與同分布，則
～，～,
於是～，～，
且與相互獨立，所以
=～。6.3.3.分布
定義6.3.3設隨機變數與相互獨立，且～，～，則稱隨機變數
服從第一自由度為，第二自由度為的分布，記為～。
的分布密度為
分布密度的影象隨自由度，的不同而有所改變，圖6.3.5畫出了在的影象。
圖6.3.5圖6.3.6
在本書附錄表5中，如果～，在給定自由度，及數的情況下，可以查表得數(圖6.3.6)滿足
，稱為分布的臨界值(或上側分位數)，顯然有，
根據分布的定義不難看出，如果～，則～。對給定，由臨界值的定義可得
， 。於是，所以
。利用上述性質，可以求出0.90，0.95，0.975，0.99，0.995時的臨界值。
例6.3.5 設～，，則
例6.3.6 設是來自總體～的樣本，求統計量的分布。
解由於，，相互獨立，且都服從正態分佈，所以～，從而
～,～,
且與相互獨立, 所以
～。§6.4 正態總體統計量的分布
我們在利用統計量進行統計推斷或對統計推斷方法的優良性進行評價時, 必須了解統計量的分布。本節主要討論了正態總體的幾個常用統計量的分布，它們在估計理論、假設檢驗、方差分析等數理統計學的內容中有重要的作用。
引理 6.4.1 設隨機變數，，相互獨立且都服從，
是階正交矩陣，即。如果隨機變數，，滿足
則，，相互獨立且都服從。
（證明略）
定理6.4.1 設總體～，是來自總體的樣本，是樣本均值，則
～， ～
證明因，，相互獨立，且都服從正態分佈，由正態分佈的性質知，服從正態分佈。又
, 。
所以～，將標準化得，～。
定理6.4.2 設總體～，是來自總體的樣本，，分別是樣本均值和樣本方差，則
～，且與相互獨立。
證明令，那麼，，，相互獨立且都服從，且。適當選取常數使得矩陣
為正交矩陣，再令
，由引理6.4.1得，，，相互獨立且都服從，容易驗證：
，，所以，且
，因此與相互獨立，且～。
定理6.4.3 設總體～，是來自總體的樣本，，分別是樣本均值和樣本相互獨立方差，則
～。證明由定理6.4.1和定理6.4.2得
～，～，
且兩者相互獨立，由分布的定義得
～，即～。
定理6.4.4 設是來自總體～的樣本，是來自總體～的樣本，且兩樣本相互獨立，，，，分別為兩個樣本的樣本均值和樣本方差，則有
(1) ～；
(2) 當時，有
～，其中。
證明 （1）由定理6.4.1得
～，～。
由於與相互獨立，故服從正態分佈，不難計算
，，於是
～。將標準化得
～。（2）由定理6.4.2得
～，～，
且兩者相互獨立，根據分布的可加性，有
～。又由結論（1）得
～，由已知及定理6.4.2可以看出，與相互獨立，根據分布的定義可得
～。定理6.4.5 設是來自總體～的樣本，是來自總體～的樣本，且兩樣本相互獨立，，分別為兩個樣本的樣本方差，則
～。證明由定理6.4.2得
～，～。
由於兩樣本相互獨立，故與相互獨立，根據分布的定義得
～。例6.4.1 設總體與相互獨立且都服從正態分佈，在與中各抽取容量為的樣本，且兩樣本相互獨立，其樣本均值分別為與，如果，問樣本容量最多是多少。
解由題意得
～，～，相互獨立，
所以～，
，又，即有，查表得，所以
，最多取13。
例6.4.2 設是來自總體～的乙個樣本，且有
，，，，
證明統計量服從自由度為2的分布。
證明由題意得，是來自總體～的兩個樣本，且兩樣本相互獨立，由定理6.4.1及定理6.4.2得到
且, ,相互獨立，於是
～，即有～
易見與相互獨立，根據分布的定義可得～。
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數理統計學習心得 經過了一學期的數理統計的學習，我感覺自己在不知不覺之中提高了許多，更確切地說，我們學會了如何在生活中運用所學的知識去理解或解決一些問題，尤其是存在於我們生活中的一些概率問題。而對於我們化學專業的研究生來講也是受益匪淺，收穫良多。數理統計是一門抽象的學科有很多抽象的數學概念，雖然在大...