第六章習題
1. 設是取自總體x的乙個樣本，在下列情形下，試求總體引數的矩估計與最大似然估計：
（1），其中未知，；
（2），其中未知，。
2. 設是取自總體x的乙個樣本，其中x服從引數為的泊松分布，其中未知，，求的矩估計與最大似然估計，如得到一組樣本觀測值
求的矩估計值與最大似然估計值。
3. 設是取自總體x的乙個樣本，其中x服從區間的均勻分布，其中未知，求的矩估計。
4. 設是取自總體x的乙個樣本，x的密度函式為
其中未知，求的矩估計。
5. 設是取自總體x的乙個樣本，x的密度函式為
其中未知，求的矩估計和最大似然估計。
6. 設是取自總體x的乙個樣本，總體x服從引數為的幾何分布，即，其中未知，，求的最大似然估計。
7. 已知某路口車輛經過的時間間隔服從指數分布，其中未知，現在觀測到六個時間間隔資料（單位：s）：
1.8,3.2,4,8,4.
5,2.5，試求該路口車輛經過的平均時間間隔的矩估計值與最大似然估計值。
8. 設總體x的密度函式為，其中未知，設是取自這個總體的乙個樣本，試求的最大似然估計。
9. 在第3題中的矩估計是否是的無偏估計？
解 故的矩估計量是的無偏估計。
10. 試證第8題中的最大似然估計是的無偏估計。
11. 設為總體的樣本，證明
都是總體均值的無偏估計，並進一步判斷哪乙個估計有效。
12. 設是取自總體的乙個樣本，其中未知，令，試證是的相合估計。
13. 某車間生產滾珠，從長期實踐中知道，滾珠直徑x服從正態分佈，從某天生產的產品中隨機抽取6個，量得直徑如下（單位：mm）：
14.7,15.0,14.
9,14.8,15.2,15.
1，求的0.9雙側置信區間和0.99雙側置信區間。
14. 假定某商店中一種商品的月銷售量服從正態分佈，未知。為了合理的確定對該商品的進貨量，需對和作估計，為此隨機抽取七個月，其銷售量分別為：
64，57，49，81，76，70，59，試求的雙側0.95置信區間和方差的雙側0.9置信區間。
15. 隨機地取某種子彈9發作試驗，測得子彈速度的，設子彈速度服從正態分佈，求這種子彈速度的標準差和方差的雙側0.95置信區間。
16. 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量（1%）正常情況下服從正態分佈，且標準差。現測量五爐鐵水，其含碳量分別是：
4.28,4.4,4.
42,4.35,4.37（1%），試求未知引數的單側置信水平為0.
95的置信下限和置信上限。
17. 某單位職工每天的醫療費服從正態分佈，現抽查了25天，得元，元，求職工每天醫療費均值的雙側0.95置信區間。
18. 某食品加工廠有甲乙兩條加工豬肉罐頭的生產線。設罐頭質量服從正態分佈並假設甲生產線與乙生產線互不影響。
從甲生產線並假設抽取10只管頭測得其平均質量，已知其總體標準差；從乙生產線抽取20只罐頭測得其平均質量，已知其總體標準差，求甲乙兩條豬肉罐頭生產線生產罐頭質量的均值差的雙側0.99置信區間。
19. 為了比較甲、乙兩種映象管的使用壽命x和y，隨機的抽取甲、乙兩種映象管各10只，得資料和（單位：），且由此算得，，假定兩種映象管的使用壽命均服從正態分佈，且由生產過程知道它們的方差相等。
試求兩個總體均值之差的雙側0.95置信區間。
20. 在3091個男生，3581個女生組成的總體中，隨機不放回地抽取100人，觀察其中男生的成數，要求計算樣本中男生成數的se。
21. 抽取1000人的隨機樣本估計乙個大的人口總體中擁有私人汽車的人的百分數，樣本中有543人擁有私人汽車，（1）求樣本中擁有私人汽車的人的百分數的se；（2）求總體中擁有私人汽車的人的百分數的95%的置信區間。
習題解答
1. 解 （1），故的矩估計量有。
另，x的分布律為，
故似然函式為
對數似然函式為：
令 解得的最大似然估計量。
可以看出的矩估計量與最大似然估計量是相同的。
（2），令，故的矩估計量。
另，x的密度函式為
故似然函式為
對數似然函式為
解得的最大似然估計量。
可以看出的矩估計量與最大似然估計量是相同的。
2. 解 ，故的矩估計量。
由樣本觀測值可算得
另，x的分布律為
故似然函式為
對數似然函式為
解得的最大似然估計量，
故的最大似然估計值。
3. 解 ，令，故的矩估計量。
4. 解 ，令，故的矩估計量為。
5. 解 ，令，故的矩估計量為，另，似然函式
對數似然函式為
解得的最大似然估計量為。
6. 解似然函式
對數似然函式
解得的最大似然估計量為。
7. 解根據習題1的結果，的矩估計和最大似然估計量都為，故平均時間間隔的矩估計和最大似然估計都為，即為。
由樣本觀測值可算得。
8. 解似然函式 ，
對數似然函式為
得的最大似然估計量為。
9. 解
故的矩估計量是的無偏估計。
10. 證明：
故的最大似然估計是的無偏估計。
11. 證明
所以都是總體均值的無偏估計。
又 可見，所以二個估計量中更有效。
12. 證明易見
又 ，由公式（9），，
故 。由切比雪夫不等式，當，對任給，
即是的相合估計。
13. 解由於已知，所以選用的置信區間。
當，查表得，當，查表得。
代入資料得的雙側0.9置信區間觀測值為，即為。
的雙側0.99置信區間觀測值為，即為。
14. 解由於和都未知，故的雙側置信區間為
，的雙側置信區間為
，代入資料得
，的0.95雙側置信區間觀測值為，即為。
的0.9雙側置信區間觀測值為，即為。
15. 解由於未知，故的雙側置信區間為，代入資料得，
的0.95雙側置信區間觀測值為，即為。故的0.95雙側置信區間觀測值為，即為。
16. 解由於已知，故的單側置信下限為，的單側置信上限為，代入資料得，故的0.95單側置信下限觀測值為，的0.95單側置信上限觀測值為。
17. 解由於未知，故的雙側置信區間為，代入資料得，故的0.95雙側置信區間觀測值為，即為。
18. 解由於已知，故的的雙側置信區間為
代入資料得，故的0.99雙側置信區間觀測值為，即為。
19. 解由於未知，故的雙側置信區間為
其中，代入資料得，故的0.95雙側置信區間觀測值為
,即為。
20. 解由於樣本大小相對於總體容量來說很小，因此可使用有放回抽樣的公式。
樣本成數，估計，標準差se的估計為。
21. 解 ，
故，所以總體中擁有私人汽車的人的百分數的95%的置信區間觀測值為。
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