某數學活動小組在作三角形的拓展圖形,研究

某數學活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經歷了如下過程：

（1）操作發現：

在等腰△abc中，ab＝ac，分別以ab、ac為斜邊，向△abc的外側作等腰直角三角形，如圖1所示，其中df⊥ab於點f，eg⊥ac於點g，m是bc的中點，鏈結md和me，則下列結論正確的是填序號即可）．

①af＝ag＝；②md＝me；③整個圖形是軸對稱圖形；④md⊥me．

（2）數學思考：

在任意△abc中，分別以ab、ac為斜邊，向△abc的外側作等腰直角三角形，如圖2所示，m是bc的中點，鏈結md和me，則md與me有怎樣的數量關係？請給出證明過程；

（3）模擬**：

在任意△abc中，仍分別以ab、ac為斜邊，向△abc的內側作等腰直角三角形，如圖3所示，m是bc的中點，鏈結md和me，試判斷△mde的形狀．答

圖1 思路點撥

1．本題圖形中的線條錯綜複雜，怎樣尋找數量關係和位置關係？最好的建議是按照題意把圖形規範、準確地重新畫一遍．

2．三個中點m、f、g的作用重大，既能產生中位線，又是直角三角形斜邊上的中線．

3．兩組中位線構成了平行四邊形，由此相等的角都標註出來，還能組合出那些相等的角？

滿分解答

（1）填寫序號①②③④．

（2）如圖4，作df⊥ab，eg⊥ac，垂足分別為f、g．

因為df、eg分別是等腰直角三角形abd和等腰直角三角形ace斜邊上的高，

所以f、g分別是ab、ac的中點．

又已知m是bc的中點，所以mf、mg是△abc的中位線．

所以，，mf//ac，mg//ab．

所以∠bfm＝∠bac，∠mgc＝∠bac．

所以∠bfm＝∠mgc．所以∠dfm＝∠mge．

因為df、eg分別是直角三角形abd和直角三角形ace斜邊上的中線，

所以，．

所以mf＝eg，df＝ng．

所以△dfm≌△mge．所以dm＝me．

（3）△mde是等腰直角三角形．

圖4圖5

考點伸展

第（2）題和第（3）題證明△dfm≌△mge的思路是相同的，不同的是證明∠dfm＝∠mge的過程有一些不同．

如圖4，如圖5，∠bfm＝∠bac＝∠mgc．

如圖4，∠dfm＝90°＋∠bfm，∠mge＝90°＋∠mgc，所以∠dfm＝∠mge．

如圖5，∠dfm＝90°－∠bfm，∠mge＝90°－∠mgc，所以∠dfm＝∠mge．

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