彭澤職教中心吳捷
數學概念是數學的邏輯起點，是進行數學推理、判斷的依據，是建立數學定理、法則、公式的基礎，也是形成數學思想方法的出發點，因此數學概念在數學學習與教學中具有重要地位。「函式單調性」是高一數學第一章《集合與函式》的重要內容，它是函式的基本性質之一，在高中數學裡占有相當重要的地位。我從教多年，已經上過「函式的單調性」這一課多遍了。
第一遍是執教第一年，開學未久就遇到了這課。由於教學經驗尚淺，對於教材理解不深，匆匆忙忙地在一堂課時間裡將內容照本宣科講完，自以為是地提了自己以為的重點，又把課本例題全部講解好。當時的感覺是自我感覺良好，但是課後第二天交上來的作業顯示，教學目的沒有達到，學生反映對於這節內容感覺好象都聽得懂，但是真的說學了些什麼好象模模糊糊，上課效果和自己看書也沒有多大的區別。
課後反思：學生基本上處於上課聽教師講概念，推導定理、公式，分析解題思路，課後完成作業。從事大量的機械性、重複性的練習之中，逐步形成了單一的、被動的學習方式，使學生缺乏自主探索、合作學習、獨立獲取知識的機會，僅以解題練習為主要形式，造成「投入多，產出少」，學習效率低下，抑制了創造性思維能力的發展。
第二遍是執教第二年，這一次重新開始，我吸取了上一年的教訓，上課不貪圖進度和難度。按照大綱要求，將概念引入、講解、重點分析、舉例鞏固、課後練習。這堂課無論是自己或者學生都反映良好，概念清晰，學生在完成課後作業的時候也準確率較高。
但是，在期末複習的時候，問題還是暴露出來，學生對於單調性的概念由於時間關係已經模糊了，產生了類似於則為增函式的錯誤結論。已經忽略了自變數取值的任意性這一基本要求，概念不清。課後反思：
產生這一現象的原因我想除了學生自身對知識的遺忘，很大程度上與我沒有交代清楚「函式的單調性」概念本質密切相關，學生只是對知識有了表面的理解，這種理解是表象的、膚淺的，隨著時間的流逝很容易就會消失。課堂是學生獲取知識的主要場所，但許多數學知識僅憑課堂專心聽講是難以真正做到理解和掌握的，還必須經過反思這一環節得以消化、吸收。
今年是我第五遍執教了。做為一名高中數學教師，只有在完整地教了幾屆高中數學以後，我才開始對高中數學有了乙個整體的認識，也學會了站在新的高度來理解教材。在講解每一課之前，我都會翻查以前的教學反思記錄，對前幾次的「函式的單調性」的執教記錄就喚起了我的回憶。
如何完成教學任務已不足以滿足我的要求，我思考的是如何利用有限的課堂教學時間，使學生在準確理解「函式的單調性」的有關概念的基礎上，掌握數形結合的思想方法，加深對概念的認識，為進一步的轉化為程式性知識做鋪墊。前兩次的教學我採用的都是利用課本的引例，即利用二次函式和三次函式的圖象，讓學生直觀地看到「單調遞增」或「單調遞減」的現象，然後就單刀直入地提出了「函式的單調性」這個概念，解釋一下要點「任意」、「都有」、「定義域」、「區間」，就結束了，直接進入應用概念的階段。好處是節約時間，直接明了，條理清楚；缺點是學生對於概念的本質認識模糊，很容易隨著時間的流逝將其遺忘，特別是在處理一些概念性較強的證明題時尤為明顯。
為了讓學生對概念理解的更透徹，後續學習更加順利，我在這一次的教授過程中做了適當的調整。引入部分還是採用了二次函式 ，還加入了一次函式和反比例函式 。這兩個特例，前者是課本證明題例２；後者既是例３又承擔著概念辨析的重要職責。
這樣的安排，一方面是考慮到學生實際情況（直觀現象容易為其所接受），一方面也是盡最大可能地利用課本承前啟後。學生在描述上述三個函式圖象的時候較為順利，此時我引導學生觀察一次函式的圖象，描述其的特徵：從左往右圖象上公升。
然後順勢提出讓學生觀察其餘兩個函式的圖象，是否有類似的現象。學生１：二次函式圖象上公升；學生２：
二次函式圖象下降；學生３：二次函式圖象下降後上公升。各執一詞。
學生１和學生２在學生３回答後感覺自己似乎錯了，但又說不請理由。此時，教師指出：在同乙個觀察任務中必須按照一定的標準，觀察的順序應沿軸的正方向即「從左向右」，即可得到正確答案。
學生在理解錯誤原因過程中亦得到了正確的研究方法。通過觀察，大家發現了上述三個函式存在從左往右看圖象上公升或下降的現象，及時提出課題「函式的單調性」，並指出以上函式的單調性及增減函式的名詞。直觀上承認這一性質以後，我放棄了以前直奔主題的做法，編制了本地九月份的氣溫變化圖。
由學生仿照剛才的分析，解釋圖象的「單調」特徵。繼而提出：圖象特徵如何轉化為數學語言？
經過思考，學生４：當時，有 ，則函式為增函式。教師：
函式中，取 ，有 ，但 。提出矛盾之後，引導學生修改先前的結論。經過圖象直觀的影響，教師的啟發，學生５終於提出了：
取遍所有的 ，總有 ，則函式為增函式。到此，學生通過自身的探索終於接近目的地，自己給出了「增函式」的定義。我讓學生開啟書本，與書上的定義進行比較，肯定他們的成果，並提示採用書本更為精確的用語。
這個定義的給出，與以往我生硬地將課本定義直接給出大相徑庭，由學生容易接受的直觀圖象開始，先形成「單調性」是函式的一種現象、「增（減）函式」是什麼樣的這樣的印象，由學生自主探索接近、得到定義，學生對此印象深刻，理解深入，而且激發了學生的自信心：原來自己也可以寫數學定義。興奮點啟動以後，後續的學習就順利多了，「減函式」，「單調區間」的定義很快給出。
最後指出「函式的單調性」本質上反映了函式隨自變數的變化函式值相應地發生變化的性質。這個結論的提出，在一定的高度上對「函式的單調性」作出了最本質的概括，學生深受觸發。這堂課到此已經花了２５分鐘時間，剩餘時間，我利用「氣溫圖」讓學生回答「單調區間」和「增、減函式」的劃分，課本例１棄之不用；例２對一次函式單調性的證明，由於概念掌握較好，指出自變數取值在單調區間內的「任意」性時，學生很快接受，利用函式單調性的定義證明函式的單調性的步驟也由學生自己歸納，滿足其成功感；例３的證明由於時間關係由學生口述，教師加以補充修正完成。
當堂課由於時間關係未能將函式的單調性講解透徹是最大的遺憾，但是課後反思之下，如果以教學進度來換取學生對這堂課的滿足感的話，那還是得不償失的。課後反思：回顧整堂課，概念引入和深化佔了大半節課時間，反而淡化了以前我個人認為最重要的「單調性的證明」這個環節，但是這樣做的目的不是拋棄單調性的證明，是強化這節概念課的主題，最基本的還是將概念理解透徹，概念不清楚，後面的學習將流於表面和機械，對於學生的後續學習是極為不利的，因此我採用了以上的做法，將「函式的單調性」的第一堂概念課還給「函式的單調性」的定義。
以上是本人對同一堂課三次授課的反思記錄，通過長期的教學反思，對於教材的理解逐次加深，教學方法也在反思的推動下不斷創新，而教與學的改進也引發了新一層的反思，兩者互為相長。反思性數學學習，就是通過對數學學習活動的反思進行數學學習，即通過對所學數學知識的產生過程和內容的反思，鞏固所學的知識，並把已知的知識材料重新組合，產生出新的內容或思想，重構自己的理解。反思性數學學習是將數學作為一種活動來進行理解和分析，是在教師的引導或幫助下，由學生主體把要學的數學知識去發展或再創造的過程；可使學生的數學學習活動成為有目標、有策略的主體行為；可使學習成為探索性、研究性的活動，有利於學生在學習活動中獲得個人體驗，提高個人的創造力。
如何提高反思性數學教學的實施效果，則需要從數學教學的實施具體策略與過程入手，結合教師的實際，具體開展以下有效的數學實踐。1、反思數學教學現狀，發現數學問題。2、嘗試「目的----手段」分析，提出假說。
3、制定數學教學計畫，將假說具體化。４、實施研究計畫，進行教學實踐。5、分析和處理研究材料，得出結論，寫出發展性數學日記、**或實驗報告。
這是乙個相對完整的反思性教學週期。如果需要，下乙個週期再從提出問題開始。經歷若干次迴圈和往復，教師學會從選題到驗證假說以及形成研究結論的全過程，從而成為遇到數學教學問題時能用科學方法解決的學者型教師。
對「函式單調性」的教學反思
通過長期的教學反思，對於教材的理解逐次加深，教學方法也在反思的推動下不斷創新，而教與學的改進也引發了新一層的反思，兩者互為相長。反思性數學學習，就是通過對數學學習活動的反思進行數學學習，即通過對所學數學知識的產生過程和內容的反思，鞏固所學的知識，並把已知的知識材料重新組合，產生出新的內容或思想，重構...
函式的單調性教學反思
不足之處 在觀察正弦函式隨角的逐漸增大，其函式值的變化過程中，正弦函式影象的形成過程不夠準略，雖表現出了週期現象，但沒有在準確的自變數處給出函式值。在剖析定義的過程中忽視了對週期函式定義域無界的特點的探索。定義域是函式的靈魂，可見其重要性，所以必須對此特點加以說明。在學生回答問題或提出問題時，激勵的...
函式的單調性教學反思
霍邱縣河口中學王家明 一 本節課的教學流程 一 問題情境 1 海寧潮，又名錢江潮，自古稱之為 天下奇觀 八月十八潮，壯觀天下無 海寧潮是乙個壯觀無比的自然動態奇觀，當江潮從東面來時，似一條銀線，則玉城雪嶺際天而來，大聲如雷霆，震撼激射，吞天沃日，勢極雄豪 潮起潮落，牽動了無數人的心。如何用函式形式來...