《高等數學（1）》考試（核）說明及模擬試卷
東海電大陳曉文
《高等數學（1）》課程是江蘇電大開放專科工科各專業的一門必修課，課程的內容有一元函式微積分、級數和微分方程，全部教學內容為8章。下面逐章提出具體的複習要求，並指出教材的重點內容。希望同學們在複習過程中動手多做些習題，必要時結合例題來理解課程的內容。
第一章函式
本章教學要求：
一、理解函式的概念，了解確定函式的要素是定義域和對應關係，能根據這兩要素判別兩個函式是否相等。能熟練地求出函式的定義域。
二、了解函式的主要性質(單調性、奇偶性、週期性、有界性)，會判斷函式的奇偶性及奇偶函式的圖形特點。
三、掌握六類基本初等函式的解析表示式、定義域、主要性質及其圖形。
四、了解復合函式與初等函式的概念，會分析復合函式的復合過程。能把乙個復合函式分解成簡單函式。
五、對一些較簡單的實際問題，會列出函式關係式。
本章重點：函式的概念，基本初等函式。
綜合舉例：
例1:下列函式對中，哪些表示同乙個函式？
.解:定義域為
第二章極限與連續
本章教學要求：
一、了解極限的概念，知道左右極限的概念，知道在x0點極限存在的充要條件是f(x)在x0 的左、右極限存在且相等。
二、理解無窮小的概念，了解無窮小量的運算性質，知道無窮小量之間的比較（高階無窮小、低階無窮小、同階無窮小、等價無窮小）。
三、熟練掌握極限的四則運算法則，注意法則的條件是各部分極限都存在，且分母的極限不為零。
四、知道極限存在的兩個準則：夾逼定理及單調數列極限存在定理。熟練掌握兩個重要極限：
五、能熟練地運用初等方法（極限的四則運算、無窮小的運算性質、兩個重要極限、函式的連續性）及洛必塔法則計算函式的極限。
六、理解函式在一點連續的定義，它包括三部分內容：1）f(x)在x0的乙個鄰域內有定義；2）在x0存在極限；3）極限值等於x0點的函式值，這三點缺一不可。了解函式在區間上連續的概念，在閉區間上端點是單側連續。
由函式在一點x0處連續的定義，會討論分段函式的連續性。
七、會求函式的間斷點，x0不是函式的連續點，就稱x0為函式的間斷點。會判斷函式間斷點的型別。
八、知道連續函式的和、差、積、商(分母不為零)仍是連續函式。兩個連續函式的復合函式仍為連續函式，初等函式在其定義域內是連續的。知道閉區間上連續函式的性質(最大最小值存在定理、零點定理、介值定理)。
本章重點：求函式的極限,函式在一點x0的連續性。
綜合舉例：
第三章導數與微分
本章教學要求：
一、理解導數與微分的定義。導數與微分dy這兩個概念是等價的。了解導數的幾何意義及物理意義，會求曲線的切線方程和法線方程。
了解函式在x0點連續是可導的必要條件，但不是充分條件，即f(x)在x0處可導，則f(x)在x0處必連續，反之不然。
二、牢記導數與微分的基本公式，熟練掌握導數與微分的四則運算法則。
三、熟練掌握復合函式求導法則。並會推廣到多個中間變數的情形。
四、掌握隱函式的微分法，正確地求出隱函式的一階導數。
五、了解一階微分形式的不變性。
六、在掌握基本導數公式、求導法則的基礎上，熟練地求出初等函式的一階導數和微分，並會求導數值。
七、了解高階導數的概念，會求初等函式的二階導數。
八、對於冪指函式、多個函式相乘除或較複雜的無理函式，會用取對數求導法求出導數或微分。
九、會求用引數方程表示的函式的一階導數。
本章重點：導數與微分的概念及計算。
綜合舉例：
第四章導數的應用
本章教學要求：
一、了解拉格朗日中值定理的條件和結論，會用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式。知道羅爾定理、柯西定理的條件和結論。
二、掌握洛必塔法則，能用該法則求型不定式的極限以及較簡單的型不定式的極限。
三、知道函式在一點處的泰勒公式和麥克勞林公式。記住ex、ln(1+x)、sinx、cosx的麥克勞林公式。
四、掌握用一階導數判別函式增減性的方法，會求函式的增減區間。
五、理解函式極值點及極值的概念和極值點的必要條件，熟練掌握求函式極值的方法(極值的充分條件)。知道駐點和極值點的區別和聯絡。
六、了解曲線凹凸的概念，掌握用二階導數判斷曲線凹凸的方法，會求曲線的拐點。
七、會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線，能用微分法描繪簡單的函式圖形。
八、了解最大值、最小值的概念，會求閉區間上連續函式的最大值和最小值。
九、熟練掌握求解一些較簡單的實際問題中的最大值和最小值的方法。這些實際問題以幾何問題為主。
十、了解曲率的概念。
本章重點：用導數判斷函式的增減性及曲線的凹凸性；求函式的極值點及極值；求幾何問題中的最大值和最小值。
綜合舉例：
例6:做乙個容積為v的無蓋圓柱形容器,底的單位面積造價為a元,側面的單位面積造價為b元,試問如何設計底半徑和高,才能使總造價最小.
解:設圓柱形容器底半徑為r,則由題意高為
.第五章不定積分
本章教學要求：
一、理解原函式與不定積分的概念及關係，了解不定積分的性質。了解不定積分的幾何意義。
二、熟記基本積分公式。
三、熟練掌握第一換元積分法和分部積分法，掌握第二換元積分法。會利用不定積分性質、基本積分公式、第一換元積分法、第二換元積分法和分部積分法計算各種不定積分。
四、會求簡單的有理分式函式積分，方法是用待定係數法化成部分分式後再積分。
本章重點：原函式與不定積分的概念，不定積分的計算。
綜合舉例：
第六章定積分及其應用
本章教學要求：
一、理解定積分的概念(包括定義、幾何意義等)。了解定積分的主要性質。
二、了解變上限定積分，了解原函式存在定理。
三、熟練掌握牛頓——萊布尼茲公式：
四、熟練掌握定積分的換元積分法：
注意作變數替換時，積分上、下限要作相應的改變。
五、熟練掌握定積分的分部積分法：
注意每一部分都帶有積分上、下限。
六、了解廣義積分（無窮積分和瑕積分）的概念，會判別一些無窮積分的斂散性，會計算較簡單的無窮積分。
七、熟練掌握用定積分計算平面曲線圍成的平面區域的面積。
八、熟練掌握用定積分計算平面圖形繞座標軸旋轉形成的旋轉體體積。
本章重點：定積分的概念，牛頓——萊布尼茲公式，定積分的計算，計算平面區域的面積和繞座標軸旋轉所成旋轉體的體積。
綜合舉例：
第七章級數
本章教學要求：
一、了解無窮級數的概念：級數收斂與發散的定義及收斂級數的性質，了解級數收斂的必要條件（級數發散的充分條件）。
二、掌握正項級數的比值判別法，了解正項級數的比較判別法。
三、記住幾何級數與p級數的收斂性：
四、了解交錯級數的判別法。
五、理解冪級數的概念：包括收斂點，發散點，收斂半徑，收斂域等。
六、掌握求冪級數收斂半徑的方法：
七、記住函式ex,ln(1+x),sinx,cosx的泰勒級數（麥克勞林級數）及這些級數的收斂域，會利用這些級數將簡單的初等函式展開成冪級數。
八、知道冪級數在收斂區間內的性質。
本章重點：無窮級數的概念，幾何級數和p級數的收斂性，正項級數的比值判別法，冪級數的收斂半徑。
綜合舉例：
解:c第八章常微分方程
本章教學要求：
一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的階、解、特解、通解、初始條件和初值問題，線性微分方程。
二、熟練掌握一階可分離變數微分方程的解法。
三、熟練掌握一階線性非齊次微分方程：
的解法——常數變易法和公式法。
四、理解線性微分方程解的性質和解的結構。
五、熟練掌握二階線性常係數齊次微分方程：
的解法——特徵根法。
會根據特徵根的三種情況，熟練地寫出方程的通解，並根據定解的條件寫出方程特解。
六、熟練掌握二階線性常係數非齊次微分方程：
，當自由項f(x)為某些特殊情況時的解法——待定係數法。
所謂f(x)為某些特殊情況是指f(x)為多項式函式，指數函式。
關鍵是依據f(x)的形式及特徵根的情況，設出特解y*,代入原方程，定出y*的係數。
本章重點：一階可分離變數微分方程、一階線性微分方程、二階線性常係數微分方程的解法。
綜合舉例：
解:b解:c
解:b高等數學（1）模擬試題
一、填空題（每小題2分，共12分）
1．若2．
3．函式f(x)=在點處取得極小值.
4．若5．
6是級數收斂的必要條件.
二、單選題（每小題2分，共12分）
1．在（ ）時為無窮小量.
2．若f(x)在x=處連續，則有（ ）.
3．曲線
a.單調增加且凸的 b. 單調增加且凹的
c.單調減少且凸的 d. 單調減少且凹的
4．設5．以下命題正確的是（ ）.
收斂b.收斂級數部分和有極限
級數當p<1時收斂
d.級數與級數發散，則級數發散
6．下列微分方程中，（ ）是可分離變數的微分方程.
三、計算題（本題6分）
求冪級數的收斂區間。
四、計算題（每小題6分，共18分）
1．2．
3．由方程
五、計算題（每小題6分，共18分）
1．2．
3．六、計算題（每小題8分，共16分）
1．求滿足的特解.
2．求的通解.
七、應用題（每小題9分，共18分）
1．求內接於拋物線與x軸所圍區域內的矩形的最大面積.
2．求由曲線所圍成平面圖形的面積.
高等數學（1）模擬試題答案
一、填空題（每小題2分，共12分）
1．2．0
3．x=-1
4．5．1
6．二、單選題（每小題2分，共12分）
1．b 2．c 3．b 4．a 5．b 6．a
三、計算題（每小題6分，共18分）
1．=-3/2
2．3．四、計算題（每小題6分，共18分）
1．2．3．五、計算題（每小題8分，共16分）
專插本高等數學模擬試卷 三
說明 考試時間120分鐘，試卷共150分。一 單項選擇題 每小題2分，共60分。在每個小題的備選答案中選出乙個正確答案，並將其 寫在題乾後的括號內 1.已知不是常數函式，定義域為，則一定是 a 偶函式 b 奇函式 c 非奇非偶函式 d既奇又偶函式 2 下列函式中為奇函式的是 a b c d 3.在處...
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