2.5 不等式的證明
上海市曹楊二中李凡
一、教學內容分析
有關不等式的證明問題一直是數學中的難點，除一些基本方法外還牽涉到相當多的技巧問題.作為高一的不等式證明重在基本證明思路、方法的介紹，所以教材中也不牽涉過多的技巧問題，主要涉及利用不等式基本性質以及基本不等式來進行證明.
二、教學目標設計
1、掌握用比較法、綜合法和分析法證明不等式的基本思路.
2、能利用比較法、綜合法和分析法進行簡單不等式的證明.
3、在證明的過程中，加強不等式性質及基本不等式的應用.
4、代數證明基本能力的提公升以及邏輯推理水平的進一步加強。
三、教學重點及難點
重點利用比較法、綜合法和分析法進行簡單不等式的證明.
難點分析法的基本思路及其表達.
四、教學過程設計
一、比較法
比較法有兩種：
（1）比差法：求差與比.
（2）比商法：求商與比，要注意討論分母的符號.
例1 求證：（1）.
（2）.
證明：（1）因為，
所以，.
（2）因為，
所以，.
[說明]
本例的幾何意義.
（1）的影象在的下方，如圖所示（a點比b點低1個單位）.
（2）的影象在的影象上方，如圖所示（a點比b點高）.
例2 設，，求證：.（補充）
證明：因為， ，又，，當且僅當時等號成立，
所以，，當且僅當時等號成立.故.
另證：因為，，所以，則
.當且僅當時等號成立.
又， ，故.當且僅當時等號成立.
[說明]
此例採用了比差和比商兩種方法給出證明，由證明過程體會兩種方法各自的「優點」.
二、綜合法
從已知條件出發，利用各種已知的定理和運算性質作為依據，推導出要證的結論.這種證明方法稱為綜合法.
例3 已知、、均為正數，求證：.
證明：因為、、均為正數，由基本不等式2和不等式性質得：
即，.當且僅當時等號成立.
所以，不等式成立.
例4 已知、，求證：.
證明：.當且僅當時等號成立.所以不等式成立.
例5 求證：.
證明：因為，由基本不等式得，
.當且僅當時等號成立.
所以，不等式成立.
[說明]
此例給出了如何利用基本不等式求函式最值的一種方法.
例6 求證：.
證明：一方面，
當且僅當時等號成立.
另一方面，.當且僅當時等號成立.
所以，，當且僅當等號同時成立.
[說明]
利用基本不等式證明此例有一定難度，可適當選用.
三、分析法
從要證的結論出發，經過適當的變形，分析出使這個結論成立的條件，把證明結論轉化為判定這些條件是否成立的問題，如果能夠判定這些條件都成立，那麼就可以斷定原結論成立.這種證明方法稱為分析法.
分析法也可以如下敘述為：
欲證結論，需先證得，
欲要證得，需先證得，
欲要證得，需先證得，
欲要證得，需先證得.
當成立時，若以上步步可逆，則結論成立.用數學語言表述，必須保證下述過程成立：
…，因為成立，所以結論成立.
[說明]
分析法的證明過程即是不斷尋找充分條件的過程.由於分析法要求的是步步逆向成立，所以需慎重使用.
例7 求證：.
證明：因為，，則要證成立，
即證成立，
即證成立.
即證成立，即證成立，即證成立.
因為成立，且以上步步可逆，所以，.
例8 已知：，求證：.
證明：要證成立，
即證成立
即證成立，
即證成立，
由成立，且以上步步可逆，故有
.例9 設、，求證：，並指出等號成立的條件.
證：先證「」.
注意到，，則對於任意、，要證成立，
即證成立，
即證成立，
即證成立，
由絕對值定義知，任意、，都有，且以上步步可逆，因而，且等號成立.
再證；「」.
由，，則對於任意、，要證成立，
即證成立，
即證成立，
即證成立，
即證成立，
由絕對值定義知，任意、，都有，且以上步步可逆，因而，且等號成立；
綜上可得，任意、，不等式成立.
例9證明的不等式對任意的實數、成立，以換得到的不等式，即也成立，此時，右端等號成立，左端等號成立.
以上證得的兩個不等式，是絕對值不等式的重要性質，稱之為
三角不等式對於任意、，
（1），左端等號成立，右端等號成立.
（2），左端等號成立，右端等號成立.
[說明]
有關三角不等式的教學是講全還是選講其中部分，可適學生的具體情況而定.
例10 已知，，求證：.
證明：由三角不等式可得：
.所以，.
[說明]
此例為練習2.4（5）中的一題.
四、課堂小結
五、作業布置
選用練習2.4（4）（5）（6）、習題2.3中的部分練習.
五、教學目標說明
有關不等式的證明可分為兩個課時進行.第一課時為比較法、綜合法；第二課時為分析法.
有關不等式證明問題的教學應側重於基本思路與基本方法的講解，難度不易過高，特別是在證明的技巧性上需嚴格控制，只需對不等式的基本性質以及基本不等式做適當應用即可.
教學中的難點為分析法的講解，一定要慎重.講清思路以及它的理論依據，特別在書寫格式上應提出嚴格的要求，防止學生出現證明過程由結論推至條件的嚴重錯誤.
三種方法介紹完之後，師生應有所歸納與小結，理清證明思路.事實上，一題往往會有多種證法，關鍵在於對題目的分析，選用哪種證法更為合適顯得尤為重要.
均值不等式與不等式的證明
一 已知不等式的關係，求目標式的取值範圍 例1 2010遼寧理14 已知的取值範圍變式1 已知且，求的範圍。變式2 2010江蘇12 設為實數，滿足則的最大值是二 利用均值不等式求函式的最值 利用均值不等式求最值要注意條件的驗證 例1 1 若，求函式的最小值 2 若，求函式的值域 變式1.1 求函式...
不等式的證明及著名不等式
1 基本不等式 1 定理 如果a，b r，那麼a2 b2 2ab，當且僅當a b時，等號成立 2 定理 基本不等式 如果a，b 0，那麼 當且僅當 時，等號成立 也可以表述為 兩個 的算術平均它們的幾何平均 3 利用基本不等式求最值 對兩個正實數x，y，如果它們的和s是定值，則當且僅當 時，它們的積...
不等式的證明
不等式的證明是高中數學中的難點，常常和其他章節結合起來一起來出題，要求能掌握其基本的解題方法。1 作差法 作差法的理論基礎 例 求證 x2 3 3x 例 已知a,b都是正數，求證 總結 作差法注意事項 1.當不等號左右兩邊有公因式或者可以配方時用作差法 2.步驟分三步 作差,變形,判斷 二 作商法 ...