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泛函分析是繼實變函式論後的一門課程，是實變函式論的後繼，主要涉及賦範空間，有界線性運算元、泛函、內積空間、泛函延拓、一致有界性以及線性運算元的譜分析理論等內容。可以說數字到數字的對映產生函式，而函式到函式的對映產生泛函，因此泛函分析是一門十分抽象的課程，學起來比較吃力。
在本學期上半階段我們主要跟鄧博士學習了第一章距離空間和第二章banach空間上的有界線性運算元。在距離空間裡最主要是掌握距離空間的定義。定義：
設x是一集合，是x × x到r n的對映，滿足：
(1) （非負性） (x,y)≥0 且 (x,y)=0，當且僅當x=y
(2) （對稱性） (x,y)= (y,x)
(3) （三角不等式） (x,z)≤ (x,y)+ (y,z)
則稱x為距離空間，記為（x, ），有時簡記為x。
由距離空間可以進一步定義出線性距離空間，線性賦範空間，接著進一步研究距離空間的完備性，其中度量空間、賦範線性空間、巴拿赫空間之間關係弄清楚了那麼本節課也就掌握了；
度量空間、賦範線性空間、巴拿赫空間的區別與聯絡。
賦範線性空間一定是度量空間，反之不一定成立。度量空間按照加法和數乘運算成為線性空間，而且度量空間中的距離如果是由範數匯出的，那麼這個度量空間就是賦範線性空間。
賦範線性空間與巴拿赫空間的聯絡與區別：完備的賦範線性空間是巴拿赫空間。巴拿赫空間一定是賦範線性空間，反之不一定成立。
巴拿赫空間一定是度量空間，反之不一定成立。巴拿赫空間滿足度量空間的所有性質。巴拿赫空間由範數匯出距離，而且滿足加法和數乘的封閉性。滿足完備性，則要求每個柯西點列都在空間中收斂。
度量空間中距離要滿足三個性質：非負線性、對稱性、三點不等式，因此距離 (x,y)的定義是重點。賦範線性空間中範數要滿足：非負性、正齊性、三角不等式，距離定義和範數的定義是關鍵。
在第一章中還有兩個重要的空間，內積空間和希爾伯特空間，內積空間是特殊的線性賦範空間，而完備的內積空間被稱為希爾伯特空間，其上的範數由乙個內積匯出。因此只要弄清楚了度量空間、賦範線性空間、巴拿赫空間，內積空間和希爾伯特空間學習第一章就沒什麼難度了。
有界線性運算元及其範數，在兩個線性賦範空間上定義乙個對映，這個對映就是線性賦範空間的線性運算元，由線性運算元又派生出有界線性運算元，由範數的計算匯出運算元空間，第一二章就由線性賦範空間緊密串聯起來。
泛函分析作為一門科學，它是從解決實際問題的需要產生的。決定乙個物理系統的狀態的引數的個數叫做這個系統的自由度。在質點力學中，常遇到具有窮自由度的系統。
但在連續介質力學中，往往遇到具無窮自由度的力學系統(例如振動的梁)。無窮維空間正是反映具無窮自由度的系統的數學概念。因此學好泛函分析為研究物理學提供了重要的方法；banach不動點原理在證明數值分析中應用了迭代法原理，這也說明了微積分學為泛函分析提供了證明方法，那麼反過來，泛函分析也可以為微積分學的研究提供重要方法。
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