【知識結構】
一、橢圓： 1．橢圓的定義
橢圓是平面上到兩定點距離之和等於常數（大於）的點的軌跡，定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。
若設動點m到距離之和為2a，，則
（1）當a>c>0時，動點m的軌跡是橢圓；（2）當a=c>0時，動點m的軌跡是線段；（3）當0 2．橢圓的標準方程
（1）方程的推導：注意根據圖形的對稱性建立恰當的座標系，在化簡過程中作變化，使方程更為簡潔。
（2）兩種基本形式：
當焦點在x軸上時，標準方程是，焦點座標是；
當焦點在y軸上時，標準方程是，焦點座標是。
（3）a、b、c三者的關係：滿足即，它們構成了乙個直角三角形的三邊，其中a為斜邊，b、c為直角邊（如圖1），因而有a>b>0，a>c>0，據此可由方程來確定橢圓的位置。
（4）方程的確定：根據條件確定橢圓標準方程時，常用待定係數法和定義法，首先應確定橢圓的中心和焦點位置，然後根據兩個獨立條件求出a、b的值。
3．直線與橢圓的位置關係
直線與橢圓共有三種位置關係，一般採用判別式法，其步驟是（1）聯立方程組；（2）消元化為一元二次方程；（3）判斷△的符號。
當△>0時，相交；當△=0時，相切；當△<0時，相離。
4．弦長的計算
設直線y=kx+b交橢圓於兩點、，則
。 而，這裡，正是消元後的關於x的一元二次方程的兩個實根，因而可由韋達定理求出，的值，再代入計算。
二、橢圓的性質：
1.橢圓+=1(a＞b＞0)，範圍：橢圓位於直線x=±a和y=±b所圍成的矩形裡，即｜x｜≤a，｜y｜≤b.
2.對稱性：橢圓關於x軸，y軸和原點都是對稱的.座標軸為橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，即為橢圓的中心.
3.頂點：橢園與座標軸的交點為橢圓的頂點為a1(-a,0)，a2(a,0)，b1(0，b),b2(0,-b)
4.離心率：e=,(o＜e＜1),e越接近於1，則橢圓越扁；e越接近於0，橢圓就越接近於圓.
5.橢圓的第二定義：平面內的點到定點的距離和它到定直線的距離的比為常數e(0＜e＜1)的點的軌跡.定點即為橢圓的焦點，定直線為橢圓的準線.
6.橢圓的焦半徑公式：設p(x0,y0)是橢圓+=1(a＞b＞0)上的任意一點，f1、f2分別是橢圓的左、右焦點，則｜pf1｜=a+ex0,｜pf2｜=a-ex0.
7.橢圓的引數方程
本節學習要求：
橢圓的幾何性質內容多.它與直線的位置關係的確定離不開一元二次方程中的判別式及韋達定理.如橢圓中的弦長問題：
若直線y=kx+b和二次曲線ax2+cy2+dx+ey+f=0相交，所得弦長可由下法求之，由兩方程中消去y，得ax2+bx+c=0，記△=b2-4ac,則弦長=;若弦過焦點，則用焦半徑公式更為簡潔.這要求大家針對具體的題目，靈活採用方法計算弦長或與焦半徑有關的問題.
1.雙曲線的定義
平面內與兩定點f1、f2的距離差的絕對值是常數(大於零小於｜f1f2｜)的點的軌跡叫雙曲線.兩定點f1、f2是焦點，兩焦點間的距離｜f1f2｜是焦距，用2c表示.常數用2a表示.
(1)若｜mf1｜-｜mf2｜=2a時，曲線只表示焦點f2所對應的一支雙曲線.
(2)若｜mf1｜-｜mf2｜=-2a時，曲線只表示焦點f1所對應的一支雙曲線.
(3)若2a=2c時，動點的軌跡不再是雙曲線，而是以f1、f2為端點向外的兩條射線.
(4)若2a＞2c時，動點的軌跡不存在.
2.雙曲線的標準方程
-=1(a＞0,b＞0)焦點在x軸上的雙曲線；
-=1(a＞0,b＞0)焦點在y軸上的雙曲線.
判定焦點在哪條座標軸上，不像橢圓似的比較x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的係數的符號，焦點在係數正的那條軸上.
1.雙曲線-＝1的簡單幾何性質
(1)範圍：｜x｜≥a,y∈r.
(2)對稱性：雙曲線的對稱性與橢圓完全相同，關於x軸、y軸及原點中心對稱.
(3)頂點：兩個頂點a1(-a,0),a2(a,0)，兩頂點間的線段為實軸，長為2a，虛軸長為2b，且c2＝a2+b2.與橢圓不同.
(4)漸近線：雙曲線特有的性質，方程y＝±x，或令雙曲線標準方程-＝1中的1為零即得漸近線方程.
(5)離心率e＝＞1，隨著e的增大，雙曲線張口逐漸變得開闊.
(6)等軸雙曲線(等邊雙曲線)：x2-y2＝a2(a≠0),它的漸近線方程為y＝±x,離心率e＝.
(7)共軛雙曲線：方程-＝1與-＝-1表示的雙曲線共軛，有共同的漸近線和相等的焦距，但需注意方程的表達形式.
⑻.雙曲線的第二定義
平面內到定點f(c,0)的距離和到定直線l:x＝的距離之比等於常數e＝(c＞a＞0)的點的軌跡是雙曲線，定點是雙曲線的焦點，定直線是雙曲線的準線，焦準距(焦引數)p＝，與橢圓相同.
⑼.焦半徑(-＝1,f1(-c,0)、f2(c,0))，點p(x0,y0)在雙曲線-＝1的右支上時，｜pf1｜＝ex0+a,｜pf2｜＝ex0-a; p在左支上時，則 ｜pf1｜-(ex1+a),｜pf2｜＝-(ex1-a).
1.定義
平面內與乙個定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線.f是焦點，l為準線.圓錐曲線可統一定義為：
平面內與一定點f和定直線l的距離之比為常數e的點的軌跡，當0＜e＜1時，表示橢圓；當e＞1時，表示雙曲線；當e=1時，表示拋物線.
2.標準方程和圖形、焦點座標及準線方程
拋物線的幾何性質、圖形、標準方程列表如下：
注：拋物線的標準方程中一次項變數及它的係數的符號決定拋物線的開口方向，其焦點的非零座標為一次項變數的係數的.
3.拋物線的焦半徑：拋物線y2=2px（p>0）上任一點m(x0，y0)到焦點的距離等於到準線的距離且為x0+.其它三種不同形式看上表.
本節學習要求：
1.拋物線方程的確定，先由幾何性質確定拋物線的標準方程，再用待定係數法求其方程.
2.解決有拋物線的弦中點問題及弦長問題與橢圓、雙曲線一樣，利用弦長公式、韋達定理、中點座標公式及判別式解決.
3.拋物線中有關軌跡與證明問題也與前面內容一樣.常用方法有軌跡法、代入法、定義法.引數法等.證明的方法是解析法.
注：1.拋物線的焦點弦有很多重要性質，後面結合有關例題作詳細研究。
2．圓錐曲線的統一定義
由橢圓、雙曲線的第二定義及拋物線的定義可知，平面上動點m到定點f及到定直線1的距離之比等於常數e的點m的軌跡是圓錐曲線（這裡點f不在直線1上，e>0，其中f是圓錐曲線的乙個焦點，1是與f對應的準線，而e即為其離心率。）
當0 當e=1時，軌跡是拋物線；
當e>1時，軌跡是雙曲線。
3．最值問題
設是拋物線上的動點，則點p到某定點或某定直線的距離的最大（小）值問題，可利用兩點間的距離公式或點到直線的距離公式建立距離d關於或的函式，再求最值，而拋物線的範圍則決定了函式的定義域
例1橢圓的乙個焦點是（0，2），則k
解橢圓方程即∴ ，∴由解得k=1。
例2雙曲線的兩個焦點為，點p在雙曲線上，若，則點p到x軸的距離為
解法一設，且由雙曲線的對稱性不妨設點p在第一象限，則m―n=2a―6
②－①得2mn=64，∵mn=32，作pq⊥x軸於q，則在中，，即點p到x軸的距離為，
解法二設，由第二定義可得，，∵，
∴，即，這裡a=3 c=5 ，代入得。
∴由雙曲線方程得，∴。
解法三設，∵
∴點p在以為直徑的圓上，即
①，又點p在雙曲線上，
∴②，由①，②消去，得，∴。
例3過拋物線的焦點f作一直線交拋物線於p、q兩點，若線段pf與fq的長分別是p、q，則等於（ ）
a．2a b． c．4a d．
解拋物線方程即，記，則f（0，m），而直線pq的方程可設為x=k（y－m），代入拋物線方程得
， 設，則
而，於是，，
。 故，。
當k=0時，易證結論也成立，因而選c。
例4設拋物線的焦點f，經過點f的直線交拋物線於a、b兩點，點c在拋物線的準線上，且bc//x軸，證明直線ac經過座標原點o。
解法一易知焦點，設直線ab的方程是，代入拋物線方程得
設，則，即。
因bc//x軸，且c在準線1上，故點，且，從而，從而
，，於是，，從而a、o、c三點共線，即直線ac經過原點o。
解法二如圖，設準線1交x軸於點e，ad⊥1於d，連ac交ef於點n，由ad//ef//bc，
得，即，①
，即，②
又由拋物線的性質可知，|ad|=|af|，|bc|=|bf|，代入①②可得|en|=|nf|，即n為ef的中點，於是n與點o重合，即直線ac經過原點o。
例5設a、b是雙曲線上的兩點，點n（1，2）是線段ab的中點。
（1）求直線ab的方程；（2）如果線段ab的垂直平分線與雙曲線相交於c、d兩點，那麼a、b、c、d四點是否共圓？為什麼？
解 （1）解法一：設ab：y=k（x－1）+2代入，整理得
。①設，則，且因n（1，2）是ab的中點，故，於是，解得k=1，從而所求直線ab的方程為y=x+1。
解法二：設，代入雙曲線方程得
。 因n（1，2）為ab的中點，故，，將它們代入上式可得，從而，於是直線ab的方程為y=x+1。
（2）將k=1代入方程①得，，解得，。
由y=x+1得，，，即a（－1，0），b（3，4），而直線cd的方程是y―1=―（x―2），即y=3－x，代入雙曲線方程並整理得 ②
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