如圖，分別以rt△abc的直角邊ac及斜邊ab向外作等邊△acd、等邊△abe。已知∠bac=30，ef⊥ab，垂足為f，鏈結df。
求證：（1）ac=ef；
（2）四邊形adfe是平行四邊形.
小偉遇到這樣乙個問題：如圖1，在梯形abcd中，ad∥bc，對角線ac、bd相交於點o．若梯形abcd的面積為1，試求以ac、bd、ad＋bc的長度為三邊長的三角形的面積．
小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應想辦法移動這些分散的線段，構造乙個三角形，再計算其面積即可．他先後嘗試了翻摺、旋轉、平移的方法，發現通過平移可以解決這個問題．他的方法是過點d作ac的平行線交bc的延長線於點e，得到的△bde即是以ac、bd、ad＋bc的長度為三邊長的三角形(如圖2)．
參考小偉同學的思考問題的方法，解決下列問題：
如圖3，△abc的三條中線分別為ad、be、cf．
(1)在圖3中利用圖形變換畫出並指明以ad、be、cf
的長度為三邊長的乙個三角形(保留畫圖痕跡)；
(2)若△abc的面積為1，則以ad、be、cf的長度為
三邊長的三角形的面積等於_______．
已知：如圖，在□abcd中，∠adc、∠dab的平分線df、ae分別與線段bc相交於點f、e，df與ae相交於點g．
（1）求證：ae⊥df；
（2）若ad=10，ab=6，ae=4，求df的長．
在△abc中，ad是△abc的角平分線．
（1）如圖1，過c作ce∥ad交ba延長線於點e，若f為ce的中點，鏈結af，求證：af⊥ad；
（2）如圖2，m為bc的中點，過m作mn∥ad交ac於點n，若ab=4， ac=7，
求nc的長．
．如圖所示，在△abc中，bc=6，e，f分別是ab，ac的中點，點p在射線ef上，bp交ce於d，點q在ce上且bq平分∠cbp，設bp=，pe=.當cq=ce時，與之間的函式關係式是當cq=ce（為不小於2的常數）時，與之間的函式關係式是
在□abcd中，∠bad的平分線交直線bc於點e，交直線dc於點f．
(1)在圖1中，證明：ce＝cf；
(2)若∠abc＝90°，g是ef的中點(如圖2)，直接寫出∠bdg的度數；
(3)若∠abc＝120°，fg∥ce，fg＝ce，分別鏈結db、dg(如圖3)，求∠bdg的度數．
．小傑遇到這樣乙個問題：如圖1，在□abcd中，ae⊥bc於點e，af⊥cd於點f，鏈結ef，△aef的三條高線交於點h，如果ac=4，ef=3，求ah的長．
小傑是這樣思考的：要想解決這個問題，應想辦法將題目中的已知線段與所求線段盡可能集中到同乙個三角形中．他先後嘗試了翻摺、旋轉、平移的方法，發現可以通過將△aeh平移至△gcf的位置(如圖2)，可以解決這個問題．
請你參考小傑同學的思路回答：
（1）圖2中ah的長等於 ．
（2）如果ac=a，ef=b，那麼ah的長等於
圖1圖2
.已知:如圖，在四邊形abfc中， =90°,的垂直平分線ef交bc於點d,交ab於點e,且cf=ae.
(1) 求證：四邊形becf是菱形；
(2) 當的大小為多少度時,四邊形becf是正方形？
（1）如圖①兩個正方形的邊長均為3，求三角形dbf的面積.
（2）如圖②，正方形abcd的邊長為3，正方形cefg的邊長為1, 求三角形dbf的面積.
（3）如圖③，正方形abcd的邊長為a，正方形cefg的邊長為，求三角形dbf的面積.
從上面計算中你能得到什麼結論.
1）觀察與發現
小明將三角形紙片沿過點a的直線摺疊，使得ac落在ab邊上，摺痕為ad，展開紙片（如圖①）；再次摺疊該三角形紙片，使點a和點d重合，摺痕為ef，展平紙片後得到（如圖②）．你認為是什麼形狀的三角形？
（2）實踐與運用
將矩形紙片（ab＜cd）沿過點b的直線摺疊，使點a落在bc邊上的點f處，摺痕為be（如圖③）；再沿過點e的直線摺疊，使點d落在be上的點處，摺痕為eg（如圖④）；再展平紙片（如圖⑤）．
猜想△ebg的形狀，證明你的猜想，並求圖⑤中∠feg的大小．
如圖，d是△abc中ab邊的中點，△bce和△acf都是等邊三角形，m、n分別是ce、cf的中點.
（1）求證：△dmn是等邊三角形；
（2）連線ef，q是ef中點，cp⊥ef於點p.
求證：dp＝dq.
同學們，如果你覺得解決本題有困難，可以閱讀下面
兩位同學的解題思路作為參考：
小聰同學發現此題條件中有較多的中點，因此考慮構造
三角形的中位線，新增出了一些輔助線；小慧同學想到要
證明線段相等，可通過證明三角形全等，如何構造出相應的三角形呢？她考慮將△ncm繞頂點旋轉到要證的對應線段的位置，由此猜想到了所需構造的三角形的位置.
24．在△abc中，d為bc邊的中點，在三角形內部取一點p，使得∠abp=∠acp．過點p作pe⊥ac於點e，pf⊥ab於點f．
（1）如圖1，當ab=ac時，判斷的de與df的數量關係，直接寫出你的結論；
（2）如圖2，當abac，其它條件不變時，（1）中的結論是否發生改變？請說明理由．
圖1圖2
在rt△abc中，∠c=90°，d，e分別為cb，ca延長線上的點，be與ad的交點為p.
若bd=ac，ae=cd，在圖1中畫出符合題意的圖形，並求出∠ape的度數；
如圖，已知正方形abcd，點e是邊ab上一動點，點f在ab邊或其延長線上，點g在邊ad上．鏈結ed，fg，交點為h．
（1）如圖1，若ae=bf=gd，請直接寫出∠ehf
（2）如圖2，若ef =cd，gd=ae，設∠ehf=α．請判斷當點e在ab上運動時， ∠ehf的大小是否發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，請求出tan
問題：如圖1，在菱形和菱形中，點在同一條直線上，是線段的中點，鏈結．若，**與的位置關係及的值．
小聰同學的思路是：延長交於點，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決．
請你參考小聰同學的思路，**並解決下列問題：
（1）寫出上面問題中線段與的位置關係及的值；
（2）將圖1中的菱形繞點順時針旋轉，使菱形的對角線恰好與菱形的邊在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）．你在（1）中得到的兩個結論是否發生變化？寫出你的猜想並加以證明．
9.已知四邊形abcd,以此四邊形的邊分別向外作正方形，依次連線這四個正方形的對角線的交點,e，f，g，h，得到乙個新四邊形efgh。
（1）如圖1,若四邊形abcd是正方形，則四邊形efgh是形
（2）如圖2，若四邊形abcd是矩形，則（1）中的結論還是否成立？
（3）如圖3，若四邊形abcd是平行四邊形，其它條件不變，判斷（1）中的結論還是否成立？若成立，請證明；若不成立請說明理由
ha d
ega d a d
b cb c b c
f圖1圖2圖3
已知：如圖，梯形abcd中，∥，，，，點e在bc邊上，將△cde沿de摺疊，點c恰好落在ab邊上的點處．
（1）求的度數；
（2）求△的面積．
在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠a=∠b=90°，ab=bc=2ad=12，e為ab上一動點，且使∠dce=45°，求be的長
如圖，四邊形abcd是邊長為9的正方形紙片，為cd邊上的點， =3．將紙片沿某條直線摺疊，使點b落在點處，點a的對應點為，摺痕分別與ad，bc邊交於點m，n．
（1）求bn的長；
（2）求四邊形abnm的面積.
．已知：如圖1，平面直角座標系中，四邊形oabc是矩形，點a，c的坐
標分別為（6，0），（0，2）．點d是線段bc上的乙個動點（點d與點b，c不重合），過點d作直線＝－＋交折線o－a－b於點e．
（1）在點d運動的過程中，若△ode的面積為s，求s與的函式關係式，
並寫出自變數的取值範圍；
（2）如圖2，當點e**段oa上時，矩形oabc關於直線de對稱的圖形為
矩形o′a′b′c′，c′b′分別交cb，oa於點d，m，o′a′分別交cb，oa於
點n，e．**四邊形dmen各邊之間的數量關係，並對你的結論加以證
明； （3）問題（2）中的四邊形dmen中，me的長為
解：（1）
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