第十一部分四邊形
11.1. 四邊形
11.1.1. 四邊形的相關概念
在同一平面內，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形．四邊形用表示它的各頂點的字母來表示．
注意：表示四邊形必須按頂點的順序書寫，可按照順時針或逆時針的順序．如圖讀作「四邊形」 ．
把四邊形的任一邊向兩方延長，如果其它各邊都在延長線所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形
注意：我們今後研究的四邊形都指凸四邊形．
在四邊形中，鏈結不相鄰兩個頂點的線段叫做四邊形的對角線．
注意：四邊形共有兩條對角線．
②鏈結四邊形的對角線也是一種常用的輔助線作法．
四邊形的不穩定性：
三角形的三邊如果確定後，它的形狀、大小就確定了，這是三角形的穩定性．但是，四邊形四邊長確定後，它的形狀不能確定．這就是四邊形具有不穩定性，它在生產、生活方面有很多的應用．
11.1.2. 四邊形的內角和定理及外角和定理
四邊形內角和定理：四邊形的內角和等於．
四邊形外角和定理：四邊形的外角和等於．
注意：1、四邊形內角中最多有三個鈍角，四個直角，三個銳角；
2、四邊形外角中最多有三個鈍角、四個直角、三個銳角，最少沒有鈍角，沒有直角，沒有銳角；
3、四邊形內角與同乙個頂點的乙個外角互為鄰補角．
推論：1、多邊形內角和定理：邊形的內角和等於．
2、多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等於．
3、邊形共有條對角線．
11.1.3. 多邊形對角線條數公式
設多邊形邊數為n，則多邊形對角線條數為．
11.2. 平行四邊形
11.2.1. 平行四邊形的概念
兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．平行四邊形用符號「 」表示．平行四邊形記作 ．讀作：平行四邊形．
11.2.2. 平行四邊形的性質
(1)平行四邊形的鄰角互補，對角相等．
(2)平行四邊形的對邊平行且相等．
(3)夾在兩條平行線間的平行線段相等．
(4)平行四邊形的對角線互相平分．
(5)若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，且這條直線二等分四邊形的面積．
11.2.3. 平行四邊形的判定
平行四邊形的判定：
(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．
(2)定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．
(3)定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．
(4)定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
(5)定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
平行四邊形的判定定理的選擇：
11.2.4. 兩條平行線的距離
兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離．平行線間的距離處處相等．
注意：(1)距離是指垂線段的長度，是正值．
(2)兩條平行線的位置確定後，它們的距離是定值，不隨垂線段位置改變．
(3)平行線間的距離處處相等，因此在作平行四邊形的高時，可根據需要靈活選擇位置．
11.2.5. 平行四邊形的面積
1、如圖1，．
也就是底邊長×高 (是平行四邊形任何一邊長，必須是邊與其對邊的距離)．
注意：這裡的底是相對高而言的，也就是高所在的邊，平行四邊形任一邊都可作底，底確定後，高也就確定了．
2、同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等．
如圖2，．
圖1圖2
11.3. 矩形
11.3.1. 矩形的概念
有乙個角是直角的平行四邊形是矩形．
注意：矩形首先是平行四邊形，然後增加乙個角是直角這個特殊條件．
11.3.2. 矩形的性質
(1)具有平行四邊形的一切性質．
(2)矩形的四個角都是直角．
(3)矩形的對角線相等．
(4)矩形是軸對稱圖形．
利用矩形的性質可以證明線段相等或倍分、直線平行、角相等等．
11.3.3. 矩形的判定
(1)定義：有乙個角是直角的平行四邊形是矩形．
(2)定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形．
(3)定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形．
注意：①用定義判定乙個四邊形是矩形必須同時滿足兩個條件：一是有乙個角是直角；二是平行四邊形．也就是說有一角是直角的四邊形，不一定是矩形，必須加上平行四邊形這個條件，它才是矩形．
②用定理2證明乙個四邊形是矩形，也必須滿足兩個條件：一是對角線相等；二是平行四邊形．也就說明：兩條對角線相等的四邊形不一定是矩形，必須加上平行四邊形這個條件，它才是矩形．
11.3.4. 矩形的面積
矩形面積＝長×寬．
11.4. 菱形
11.4.1. 菱形的概念
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
注意：菱形必須滿足兩個條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等．
11.4.2. 菱形的性質
(1)具有平行四邊形的一切性質．
(2)菱形的四條邊都相等．
(3)菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角．
(4)菱形是軸對稱圖形．
11.4.3. 菱形的判定
(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
(2)定理1：四邊都相等的四邊形是菱形．
(3)定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
注意：對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，必須加上平行四邊形這個條件它才是菱形．
利用菱形的性質及判定可以證明線段相等及倍分、角相等及倍分、直線平行、垂直，以及證明乙個四邊形是菱形和有關計算．
11.4.4. 菱形的面積
菱形面積＝底×高＝對角線乘積的一半．
11.5. 正方形
11.5.1. 正方形的概念
有一組鄰邊相等並且有乙個角是直角的平行四邊形叫做正方形．
從正方形的定義可知正方形既是一組鄰邊相等的矩形，又是有乙個角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四邊形是正方形．
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們的包含關係如圖：
11.5.2. 正方形的性質
(1)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．
(2)正方形性質定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等．
(3)正方形性質定理2：正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角．
(4)正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸．
(5)正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個小的全等的等腰直角三角形．
(6)正方形一條對角線上一點和另一條對角線的兩端距離相等．
11.5.3. 正方形的判定
(1)判定乙個四邊形為正方形主要根據定義，途徑有兩種：
先證它是矩形，再證它有一組鄰邊相等．
先證它是菱形，再證它有乙個角為直角．
(2)判定正方形的一般順序：
先證明它是平行四邊形；
再證明它是菱形(或矩形)；
最後證明它是矩形(或菱形)．
11.5.4. 正方形的面積
正方形的面積等於邊長的平方，或者等於兩條對角線乘積的一半．即：若正方形的邊長為，對角線長為，則有正方形的面積．
11.6. 梯形；
11.6.1. 梯形的相關概念
一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形．梯形中平行的兩邊叫做梯形的底．
注意：通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底，梯形的上下底是以長短區分的，不是指位置說的．梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰．梯形兩底的距離叫做梯形的高．
兩腰相等的梯形叫做等腰梯形．一腰垂直於底的梯形叫做直角梯形．
梯形一般如下分類：
解決梯形問題的基本思路：
梯形問題三角形或平行四邊形問題．
這種思路常通過平移或旋轉來實現．
11.6.2. 梯形的判定
梯形的判定：
(1)定義法：判定四邊形中①一組對邊平行；②另一組對邊不平行．
(2)有一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形．
注意：此判定可由梯形定義和一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出．
11.6.3. 等腰梯形的性質
(1)等腰梯形兩腰相等、兩底平行．
(2)等腰梯形在同一底上的兩個角相等．
(3)等腰梯形的對角線相等．
(4)等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，一底的垂直平分線是它的對稱軸．
注意：等腰梯形在同一底上的兩個角相等，不能說成：等腰梯形兩底上的角相等；②等腰梯形同一底上的兩底角相等．
11.6.4. 等腰梯形的判定
(1)兩腰相等的梯形是等腰梯形．
(2)在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形．
(3)對角線相等的梯形是等腰梯形．
11.6.5. 梯形的面積
(1)如圖，．
(2)梯形中有關圖形面積：
①．②．
③． 11.7. 平行線等分線段定理
平行線等分線段定理：
定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在其它直線上截得的線段也相等．
定理的作用：
可以證明同一條直線上的線段相等．
可以任意等分線段．
注意：(1)定理中的「平行線組」是每相鄰兩條的距離都相等的特殊的平行線組．
(2)定理中的「平行線組」是由三條或三條以上直線組成的．
平行線等分線段定理的推論：
推論1：經過梯形一腰中點與底平行的直線必平分另一腰．
推論2：經過三角形一邊中點與另一邊平行的直線必平分第三邊．
它們的作用為：平分線段，求線段的中點或證明線段的倍分．
這兩個推論可簡記為：「中點」+「平行」中點．
11.8. 三角形、梯形中位線
11.8.1. 三角形、梯形中位線的概念
鏈結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．
注意：①三角形共有三條中位線，並且它們又重新構成乙個新的三角形．
②要會區別三角形中線與中位線．
鏈結梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線．
注意：梯形中位線是鏈結兩腰中點的線段，而不是鏈結兩底的中點的線段．
11.8.2. 三角形中位線定理
三角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊，並且等於它的一半．
三角形中位線定理的作用：
位置關係：可以證明兩條直線平行．
數量關係：可以證明線段的倍分關係．
四邊形知識題型總結
二 典型題型歸納 一 概念題 1 中，a的平分線分bc成4cm和3cm兩條線段，則的周長為 2 在中，c 60,de ab於e,df bc於f 1 則 edf 2 如圖，若ae 4，cf 7，則周長 3 若ae 3，cf 7，請作出對應圖形，並求周長 3 1 在平行四邊形abcd中，若 c b d，...
四邊形知識題型總結
一.本章知識要求和結構 1.掌握平行四邊形 矩形 菱形 正方形 梯形的概念，了解它們之間的內在關係.1 演變關係圖 2 從屬關係 依據演變關係圖，將四邊形，平行四邊形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的從屬關係圖中，其中每乙個圓代表一種圖形 2.探索並掌握平行四邊形 矩形 菱形 ...
四邊形總結
多邊形的內 外角和定理的綜合應用 1.若四邊形的四個內角大小之比為1 2 3 4，則這四個內角的大小為 2.如果六邊形的各個內角都相等，那麼它的乙個內角是 3.在各個內角都相等的多邊形中，乙個外角等於乙個內角的，則這個多邊形的每個內角為度。4.n邊形的內角中，最多有 個銳角。a.1個 b.2 個 c...