二．典型題型歸納
（一）概念題
1．中，∠a的平分線分bc成4cm和3cm兩條線段，
則的周長為
2．在中，∠c=60,de⊥ab於e,df⊥bc於f．
（1）則∠edf
（2）如圖，若ae=4，cf=7，
則周長(3) 若ae=3，cf=7，請作出對應圖形，並求周長．
3．(1)在平行四邊形abcd中，若∠c=∠b+∠d，則∠a
(2)已知在,∠a比∠b小20，則∠c的度數是
(3)在中，周長為100cm，ab-bc=20cm，則ab
bc（4）在中，周長為30cm，且ab：bc=3：2，則ab= cm.
（5）（2007河北省）如圖，若□abcd與
□ebcf關於bc所在直線對稱，
∠abe＝90°，則∠f
4．（2007福建福州）下列命題中，錯誤的是（ ）
a．矩形的對角線互相平分且相等
b．對角線互相垂直的四邊形是菱形
c．等腰梯形的兩條對角線相等
d．等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等
5.（2007浙江義烏）在下列命題中，正確的是（ ）
a．一組對邊平行的四邊形是平行四邊形
b．有乙個角是直角的四邊形是矩形
c．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
d．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
6.（2007甘肅隴南）順次鏈結任意四邊形各邊中點所得四邊形一定是 ( )
a．平行四邊形 b．菱形 c．矩形 d．正方形
7.（2007四川眉山）下列命題中的假命題是( )
a．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
b．一組鄰邊相等的矩形是正方形
c． 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
d．一組對邊相等且有乙個角是直角的四邊形是矩形
8.（2007四川成都）下列命題中，真命題是（ ）
ａ．兩條對角線相等的四邊形是矩形
ｂ．兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形
ｃ．兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
ｄ．兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
9.（2007浙江嘉興）如圖，在菱形abcd中，不一定成立的（ ）
ａ． ｂ．ac⊥bd ｃ．等邊△abd ｄ．∠cab＝∠cad
（二）圖形的性質和判定方法
10．如圖，已知四邊形abcd是正方形，分別過a、c兩點作//，作bm⊥於m，dn⊥於n，直線mb、nd分別交、於q、p，試判斷四邊形pqmn的形狀．
11．如圖，在正方形abcd中，e、f、g、h分別為正方形邊上的點，而且ae=bf=cg=dh，求證：四邊形efgh為正方形．
12．如圖，在矩形abcd中，e是cd邊上一點，
ae=ab，ab=2ad，求∠ebc的度數
（三）轉化的思想——將梯形問題通過化歸、分割、拼接轉化成三角形和平行四邊形問題. 如圖所示：
13．填空
（1）等腰梯形上底長為3cm，腰長為4cm，其中銳角等於60，
則下底長是
（2）等腰梯形乙個底角是60，它的上、下底分別是8和18，則這梯形的
腰長是高是面積是
（3）在直角梯形中，垂直於底的腰長5cm，上底長3cm，另一腰與下底的
夾角為30，則另一腰長為下底長為
（4）等腰梯形兩對角線互相垂直，一條對角線長為6，則高為
面積為（5）已知在梯形abcd中，ad//bc，若兩底ad、bc的長分別為2、8，
兩條對角線bd=6，ac=8，則梯形的面積為
（四）推理論證的進一步鞏固
14．（2007恩施自治州）如圖，平行四邊形abcd的對角線ac、bd相交於點o,e、f是直線ac上的兩點，並且ae=cf,求證：四邊形bfde是平行四邊形.
15．如圖，在平行四邊形abcd中，e、f分別是直線ab、cd的中點，af、de相交於點g，ce、bf交於點h．求證：四邊形gehf是平行四邊形.
16．平行四邊形abcd中，點e、f分別在bc、ad上，且af=ce，,求證：四邊形aecf是平行四邊形.
17．求證：正方形的兩條對角線將之分成四個全等的等腰直角三角形．
18．已知點e、f在正方形abcd的邊bc、cd上，
（1）若be=cf，如圖13(1)．求證：ae=bf並且ae⊥bf；
（2）若e、f分別是bc、ef的中點，如圖13(2)，求證：gd=ad．
19．（2007浙江金華）國家級歷史文化名城——金華，風光秀麗，花木蔥蘢．某廣場上乙個形狀是平行四邊形的花壇（如圖），分別種有紅、黃、藍、綠、橙、紫6種顏色的花．如果有，，那麼下列說法中錯誤的是（ ）
a．紅花、綠花種植面積一定相等
b．紫花、橙花種植面積一定相等
c．紅花、藍花種植面積一定相等
d．藍花、黃花種植面積一定相等
20.（06鹽城）已知的面積為4，對角線交於o，
則s△aob
21.若a,b,c三點不共線，則以其為頂點的平行四邊形共有（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
22.平行四邊形一邊長為10，一條對角線長為6，則它的另一條對角線a的取值範圍是（ ）
a.423.平行四邊形中一邊長為10cm，那麼兩條對角線的長度可以是（ ）
a．4cm和6cm b．6cm和8cm
c．8cm和12cm d．20cm和30cm
24.（07北京市23）如圖，已知．
(1)請你在邊上分別取兩點（的中點除外），鏈結，寫出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應條件，並表示出面積相等的三角形；
(2)請你根據使（1）成立的相應條件，證明．
25．如圖已知，過頂點a作∠b、∠c的平分線的
垂線，ad⊥bd於d，ae⊥ce於e．求證：ed//bc．
26．如圖，已知bd、ce是⊿abc的兩條高，
m、n分別是bc、de的中點．
求證：（1）em=dm；（2）mn⊥de．
27．（1）如圖27(1)，正方形abcd，e、f分別為bc、cd邊上一點．
①若∠eaf=45．求證：ef=be+df．
②若⊿aef繞a點旋轉，保持∠eaf=45，
問⊿cef的周長是否隨⊿aef位置的變化而變化？
（2）如圖27(2)，已知正方形abcd的邊長為1，
bc、cd上各有一點e、f，如果⊿cef的周長為2．
求∠eaf的度數．
（3）如圖27(3)，已知正方形abcd，f為bc中點
e為cd邊上一點，且滿足∠baf=∠fae ．
求證：ae=bc+ce．
（五）知識的聯絡與綜合
28．已知的頂點a、b、c的座標為(-2,3),(-5,-4),(1,-4)，則d點座標為
29. 如圖，已知的兩條對角線ac與bd交於平面直角座標系的原點，點a的座標為(-2,3)，則點c的座標為（ ）
a、(-3,2) b、(-2,-3) c、(3,-2) d、(2,-3)
第32題圖
30．如圖，兩平面鏡的夾角為，入射光線ao平行於入射到，兩次反射後的光線o`b平行於，則角等於 ．
31．已知矩形的對角線長為13，周長為34，則這個矩形的面積為 ．
32.（05,濰坊）如圖,在直角座標系中,將長方形oabc沿ob對折,使點a落在a1處,已知oa=,ab=1,則點a1的座標是（ ）
a.（） b.（） c.（） d.（）
（六）面積的問題：各種四邊形面積的求法和等積變換
33．如圖，e為邊cd上一點，的面積為s，則△abe的面積為（ ）
a、s b、s c、s d、
34．如圖，在abcd中，ad⊥bd，∠a=∠abc，如果ad=2，
那麼abcd的周長是 ，面積是 ．
35．如圖，在矩形abcd中，過bd上一點k分別作矩形兩邊的平行線mn和pq，那麼圖中矩形amkp的面積s1與矩形qcnk的面積s2的大小關係是s1 s2 (填「>」、「=」或「<」)
36．如圖，在中，點p在bc上，pq∥bd交cd與q，則圖中和△abp面積相等的三角形有個，它們分別是
37．如圖，e是平行四邊形abcd的邊ab延長線上一點，
de交bc於f．求證：
38．如圖，點e、f分別在的邊dc、cb上，
且ae=af，dg⊥af，bh⊥ae，g、h是垂足．
求證：dg=bh．
（七）運動變換的思想在本章中的應用．
39．（希望盃第9屆初二第二試）已知abcd的周長為52，自頂點d作de⊥ab，df⊥bc，e、f為垂足，若de=5，df=8，求be+bf的值．
40．在矩形abcd中，ab=3,ad=4,p是ad邊上的動點，pe⊥ac於e，pf⊥bd於f，則pe+pf
41．（1）如圖41(1)(2)，已知⊿abd,⊿bce,⊿acf是等邊三角形，
求證：四邊形adef是平行四邊形.
(2)如圖41(3)，已知⊿abc,以ab、ac為邊分別作等邊三角形⊿abd,⊿acf，再以ad、af為鄰邊作平行四邊形adef，求證：三角形bce是等邊三角形.
42、（2007浙江台州）把正方形繞著點，按順時針方向旋轉得到正方形，邊與交於點（如圖）．試問線段與線段
相等嗎？請先觀察猜想，然後再證明你的猜想．
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