《四邊形》知識點整理
2、梯形問題常見輔助線做法：
（1）平移梯形一腰即過梯形上底或下底的乙個端點作一腰的平行線，將梯形分割成三角形和平行四邊形，並出現上下底的差，利用這些條件解決所給的問題。
（2）平移梯形的一條對角線
即過梯形上底或下底的乙個端點作一條對角線的平行線，將梯形割補成與之等積的三角形，並出現上下底的和，利用這些條件解決所給的問題
（3）作高線：過上底的兩個端點作梯形的高線，將梯形分成兩個直角梯形和乙個矩形
（4）延長兩腰：延長梯形兩腰交於一點，構成兩個三角形
（5）全等變換：鏈結上底的一端點與一腰的中點，延長交下底的延長線於一點，將梯形割補成與之等積的三角形。
3、正方形：判定方法（不要記，只須理解）
1：對角線相等的菱形是正方形。
2：對角線互相垂直的矩形是正方形，.對角線互相垂直,平分且相等的四邊形是正方形。
3：一組鄰邊相等，有三個角是直角的四邊形是正方形。
4：一組鄰邊相等的矩形是正方形。
5：一組鄰邊相等且有乙個角是直角的平行四邊形是正方形。
6：四邊均相等，對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。
7：有乙個角為直角的菱形是正方形。
8：既是菱形又是矩形的四邊形是正方形
20、（2007安徽）如圖1，在四邊形abcd中，已知ab=bc=cd，∠bad和∠cda均為銳角，點p是對角線bd上的一點，pq∥ba交ad於點q，ps∥bc交dc於點s，四邊形pqrs是平行四邊形．
（1）當點p與點b重合時，圖1變為圖2，若∠abd=90°，求證：△abr≌△crd；
（2）對於圖1，若四邊形prds也是平行四邊形，此時，你能推出四邊形abcd還應滿足什麼條件？
考點：全等三角形的判定；平行四邊形的判定。
專題：證明題；開放型。
分析：（1）可先證cr⊥bd，根據等腰三角形「三線合一」的性質，求得∠bcr=∠dcr，進而求得∠bar=∠dcr，又有ab=cr，ar=bc=cd，可證△abr≌△crd；
（2）由ps∥qr，ps∥rd知，點r在qd上，故bc∥ad．又由ab=cd知∠a=∠cda因為sr∥pq∥ba，所以∠srd=∠a=∠cda，從而sr=sd．由ps∥bc及bc=cd知sp=sd．而sp=dr，所以sr=sd=rd故∠cda=60度．因此四邊形abcd還應滿足bc∥ad，∠cda=60°
解答：證明：（1）∵∠abd=90°，ab∥cr，
∴cr⊥bd．
∵bc=cd，
∴∠bcr=∠dcr．
∵四邊形abcr是平行四邊形，
∴∠bcr=∠bar．
∴∠bar=∠dcr．
又∵ab=cr，ar=bc=cd，
∴△abr≌△crd．
（2）由ps∥qr，ps∥rd知，點r在qd上，
故bc∥ad．
又由ab=cd知∠a=∠cda，
因為sr∥pq∥ba，
所以∠srd=∠a=∠cda，從而sr=sd．
由ps∥bc及bc=cd知sp=sd．而sp=dr，所以sr=sd=rd故∠cda=60°．
因此四邊形abcd還應滿足bc∥ad，∠cda=60°．
（注：若推出的條件為bc∥ad，∠bad=60°或bc∥ad，∠bcd=120°等亦可．）
點評：三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然後再根據三角形全等的判定方法，看缺什麼條件，再去證什麼條件．
21、（2005四川）己知：如圖，e、f分別是abcd的ad、bc邊上的點，且ae=cf．
（1）求證：△abe≌△cdf；
（2）若m、n分別是be、df的中點，連線mf、en，試判斷四邊形mfne是怎樣的四邊形，並證明你的結論．
考點：全等三角形的判定；平行四邊形的判定。
專題：證明題；**型。
分析：（1）、根據平行四邊形的性質和全等三角形的判定，在△abe和△cdf中，很容易確定sas，即證結論；
（2）、在已知條件中求證全等三角形，即△abe≌△cdf，△mbf≌△nde，得兩對邊分別對應相等，根據平行四邊形的判定，即證．
解答：證明：（1）∵abcd中，ab=cd，∠a=∠c，
又∵ae=cf，
∴△abe≌△cdf；
（2）四邊形mfne平行四邊形．
由（1）知△abe≌△cdf，
∴be=df，∠abe=∠cdf，
又∵me=bm=be，nf=dn=df
∴me=nf=bm=dn，
又∵∠abc=∠cda，
∴∠mbf=∠nde，
又∵ad=bc，
ae=cf，
∴de=bf，
∴△mbf≌△nde，
∴mf=ne，
∴四邊形mfne是平行四邊形．
點評：此題考查了平行四邊形的判定和全等三角形的判定，學會在已知條件中多次證明三角形全等，尋求角邊的轉化，從而求證結論．
1、（2008咸寧）如圖，在△abc中，點o是ac邊上的乙個動點，過點o作直線mn∥bc，設mn交∠bca的角平分線於點e，交∠bca的外角平分線於點f．
（1）求證：eo=fo；
（2）當點o運動到何處時，四邊形aecf是矩形？並證明你的結論．
考點：矩形的判定。
專題：動點型。
分析：（1）根據平行線性質和角平分線性質及，由平行線所夾的內錯角相等易證．
（2）根據矩形的判定方法，即乙個角是直角的平行四邊形是矩形可證
解答：證明：（1）∵ce平分∠acb，
∴∠1=∠2，
又∵mn∥bc，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴eo=co，（2分）
同理，fo=co，（3分）
∴eo=fo．（4分）
（2）當點o運動到ac的中點時，四邊形aecf是矩形．（5分）
∵eo=fo，點o是ac的中點．
∴四邊形aecf是平行四邊形，（6分）
∵cf平分∠bca的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4=×180°=90°．
即∠ecf=90度，（7分）
∴四邊形aecf是矩形．（8分）
點評：本題涉及矩形的判定定理，解答此類題的關鍵是要突破思維定勢的障礙，運用發散思維，多方思考，**問題在不同條件下的不同結論，挖掘它的內在聯絡，向「縱、橫、深、廣」拓展，從而尋找出新增的條件和所得的結論．
2、（2008宿遷）如圖，在平行四邊形abcd中，e為bc的中點，連線ae並延長交dc的延長線於點f．
（1）求證：ab=cf；
（2）當bc與af滿足什麼數量關係時，四邊形abfc是矩形，並說明理由．
考點：矩形的判定；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質。
專題：證明題；**型。
分析：（1）根據平行四邊形的性質得到兩角一邊對應相等，利用aas判定△abe≌△fce，從而得到ab=cf；
（2）由已知可得四邊形abfc是平行四邊形，bc=af，根據對角線相等的平行四邊形是矩形，可得到四邊形abfc是矩形．
解答：（1）證明：∵四邊形abcd是平行四邊形，
∴ab∥cd，ab=cd，
∴∠bae=∠cfe，∠abe=∠fce，
∵e為bc的中點，
∴eb=ec，
∴△abe≌△fce，
∴ab=cf．
（2）解：當bc=af時，四邊形abfc是矩形．
理由如下：∵ab∥cf，ab=cf，
∴四邊形abfc是平行四邊形，
∵bc=af，
∴四邊形abfc是矩形．
點評：此題主要考查了學生對全等三角形的判定，平行四邊形的性質及矩形的判定等知識點的掌握情況．
3、（2008南京）如圖，在平行四邊形abcd中，e，f為bc上兩點，且be=cf，af=de．
求證：（1）△abf≌△dce；
（2）四邊形abcd是矩形．
考點：矩形的判定；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質。
專題：證明題。
分析：（1）根據題中的已知條件我們不難得出：ab=cd，af=de，又因為be=cf，那麼兩邊都加上ef後，bf=ce，因此就構成了全等三角形的判定中邊邊邊（sss）的條件．
（2）由於四邊形abcd是平行四邊形，只要證明其中一角為直角即可．
解答：解：（1）∵be=cf，bf=be+ef，ce=cf+ef，
∴bf=ce．
∵四邊形abcd是平行四邊形，
∴ab=dc．
在△abf和△dce中，∵ab=dc，bf=ce，af=de，
∴△abf≌△dce．
（2）∵△abf≌△dce，
∴∠b=∠c．
∵四邊形abcd是平行四邊形，
∴ab∥cd．
∴∠b+∠c=180°．
∴∠b=∠c=90°．
∴四邊形abcd是矩形．
點評：本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和矩形的判定等知識點．全等三角形的判定是本題的重點．
四邊形知識點與經典例題
第十九章四邊形 一 基礎知識 一 四邊形由一般到特殊的演變示意圖 二 特殊四邊形 三 1 三角形中位線定理 三角形的中位線平行於三角形的第三邊，且等於第三遍的一半。2 由矩形的性質得到直角三角形的乙個性質 直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。二 例題 例1 如圖1，平行四邊形abcd中，ae bd...
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四邊形一 基礎知識 一 四邊形由一般到特殊的演變示意圖 二 特殊四邊形 三 1 三角形中位線定理 三角形的中位線平行於三角形的第三邊，且等於第三遍的一半。2 由矩形的性質得到直角三角形的乙個性質 直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。2 例題 例1 已知 如圖，菱形abcd中 b 60 e,f在邊b...
第19章四邊形知識點梳理
第19章四邊形 知識歸納 1四 對角線與特殊四邊形的關係 1.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 2.對角線相等的平行四邊形是矩形 3.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 4.對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形 一 基本概念 四邊形，四邊 形的內角，四邊形的外角，多邊形，平行線間的距離，平行四邊...