第十九章目錄
一、平行四邊形的性質 2
考向1：多邊形的內角和與外角和 2
考向2：平行四邊形的性質 2
二、平行四邊形的判定 4
考向3：平行四邊形的判定 4
考向4：三角形中位線定理 5
三、矩形的性質 5
考向5：矩形的性質 6
四、矩形的判定 7
考向6：矩形的判定 7
考向7：直角三角形斜邊中線定理 9
五、菱形的性質 10
考向8：菱形的性質 10
考向9：菱形的面積公式 11
六、菱形的判定 12
考向10：菱形的判定 13
七、正方形的性質 13
考向11：正方形的性質 13
八、正方形的判定 15
考向12：正方形的判定 15
九、梯形 17
考向13：等腰梯形的性質 18
考向14：等腰梯形的判定 19
考向15：梯形的中位線 20
十、重心 22
考向16：三角形重心定理 22
十一、四邊形動點問題 24
考向17：四邊形動點問題 24
一、平行四邊形的性質
1、平行四邊形的定義：
有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
2、平行四邊形的性質（包括邊、角、對角線三方面） ：
邊：①平行四邊形的兩組對邊分別平行；
平行四邊形的兩組對邊分別相等；
角：③平行四邊形的兩組對角分別相等；
對角線：⑤平行四邊形的對角線互相平分.
【補充】平行四邊形的鄰角互補；平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點.
3、多邊形的對角線：
⑴從邊形的乙個頂點可以引條對角線；
⑵邊形共有條對角線.
4、正多邊形：各個角都相等，各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形.
5、多邊形的內角和與外角和：
⑴多邊形的內角和等於；
⑵多邊形的外角和等於.
※典型例題：
考向1：多邊形的內角和與外角和
1、若多邊形的每個內角都為150°，則從乙個頂點引的對角線有（ ）
a.7條b.8條c.9條d.10條
2、如果乙個四邊形內角之比是2∶2∶3∶5，那麼這四個內角中（ ）
a.有兩個鈍角 b.有兩個直角 c.只有乙個直角 d.只有乙個銳角
3、乙個多邊形的外角和是內角和的一半，則它是邊形（ ）
a.7b.6c.5d.4
4、若等角n邊形的乙個外角不大於40°，則它是邊形（ ）
a.n=8 b.n=9 c.n＞9 d.n≥9
考向2：平行四邊形的性質
5、如圖,平行四邊形abcd中,ae⊥bd,cf⊥bd,垂足分別為e、f.
求證：∠bae =∠dcf.
6、如圖，過口abcd的對角線bd 上一點m 分別作平行四邊形兩邊的平行線ef與gh ，那麼圖中的口aemg的面積s1 與口hcfg的面積s2的大小關係是s1 ____s2 (填＞、＜、≥、≤、=號).
思路點撥：觀察三角形面積.
7、如圖，平行四邊形abcd的對角線相交於點o，且ab≠ad，過o作oe⊥bd交bc於點e．若△cde的周長為10，則平行四邊形abcd的周長為
8、已知：如圖，e、f是平行四邊形abcd的對角線ac上的兩點，ae=cf。
求證：（1）△adf≌△cbe；（2）eb∥df。
9、平行四邊形abcd的周長32,5ab=3bc,則對角線ac的取值範圍為（ ）
a.6 10、如圖，在平行四邊形中，，為垂足，如果，那麼的度數是
a. b. c. d.
11、如圖，在正五邊形abcde中，鏈結ac，ad，則∠cad的度數是 .
二、平行四邊形的判定
1、平行四邊形的判定（包括邊、角、對角線三方面）：
邊：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
角：④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
對角線：⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
2、三角形中位線：
連線三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.
3、三角形中位線定理：
三角形的中位線平行於三角形的第三邊，且等於第三邊的一半.
4、平行線間的距離：
兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離。兩條平行線間的距離處處相等。
※典型例題：
考向3：平行四邊形的判定
1、如圖，在平行四邊形abcd的各邊ab、bc、cd、da上，分別取點k、l、m、n，使ak=cm、bl=dn，求證：四邊形klmn是平行四邊形．
2、如圖,在□abcd中,對角線ac,bd相交於點o,e,f是對角線ac上的兩點,當e,f滿足下列哪個條件時,四邊形debf不一定是平行四邊形（ ）
a.ae=cf bf c.∠ade=∠cbf d.∠aed=∠cfb
3、如圖，在□abcd中，對角線ac與bd交於點o，已知點e、f分別為ao、oc的中點，證明:四邊形bfde是平行四邊形．
考向4：三角形中位線定理
4、如圖，△abc中∠acb=90°，點d、e分別是ac，ab的中點，點f在bc的延長線上，且∠cdf=∠a. 求證：四邊形decf是平行四邊形.
思路點撥：∵點d、e分別是ac、ab的中點，
∴de是△abc的中位線
∴de//cb
∴∠ade=∠acb=90°
ad=cd，∠ade=∠cde=90°，
de=de，
∴△ade ≌△cde （sas），
∴∠a= ∠ecd，
∵∠cdf= ∠a，
∴∠ecd=∠cdf，
∴ec//df，
∴四邊形decf 是平行四邊形。
三、矩形的性質
1、矩形的定義：
有乙個角是直角的平行四邊形叫做矩形.
2、矩形的性質：
①矩形具有平行四邊形的所有性質；
②矩形的四個角都是直角；
③矩形的對角線相等；
④矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有兩條對稱軸，對稱中心是對角線的交點.
※典型例題：
考向5：矩形的性質
1、矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質是 ( )
a. 對角相等 b. 對邊相等 c. 對角線相等 d. 對角線互相平分
2、如圖，過矩形abcd的對角線bd上一點k，分別作矩形兩邊的平行線mn與pq，那麼圖中矩形amkp的面積s1與矩形q**k的面積s2的大小關係是s1（ ） s2（填「＞」或「=」或「＜」）.
思路點撥：觀察三角形面積.
3、如圖,矩形abcd中,ac與bd交於o點,be⊥ac於e,cf⊥bd於f. 求證:be = cf.
4、如圖,在矩形abcd中，ac、bd相交於o，ae平分∠bad,交bc於e，若
∠cae=15°，求∠boe的度數.
思路點撥：∵ae平分∠bad交bc於e，
∴∠bae=45°，ab=be，
∵∠cae=15°，
∴∠bao=∠bae+∠cae=60°，∠ocb=30°,
又∵oa=ob，
∴△boa是等邊三角形，
∴oa=ob=ab，
∵ab=be
∴ob=be，
∴△boe是等腰三角形，且∠obe=∠ocb=30°，
∴∠boe=（180°-30°）=75°．
四、矩形的判定
1、矩形的判定：
①有乙個角是直角的平行四邊形是矩形；
②對角線相等的平行四邊形是矩形；
③有三個角是直角的四邊形是矩形.
2、證明乙個四邊形是矩形的步驟：
方法一：先證明該四邊形是平行四邊形，再證一角為直角或對角線相等；
方法二：若乙個四邊形中的直角較多，則可證三個角為直角.
3、直角三角形斜邊中線定理：
直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半.
※典型例題：
考向6：矩形的判定
1、如圖，在△abc中，ab=ac，d為bc中點，四邊形abde是平行四邊形．
第十九章四邊形知識與題型總結
一.本章知識要求和結構 1.掌握平行四邊形 矩形 菱形 正方形 梯形的概念，了解它們之間的內在關係.1 演變關係圖 2 從屬關係 依據演變關係圖，將四邊形，平行四邊形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的從屬關係圖中，其中每乙個圓代表一種圖形 2.探索並掌握平行四邊形 矩形 菱形 ...
第十九章四邊形小結與複習
基礎盤點 1.平行四邊形是指它的性質有 2.平行四邊形的判斷方法有 12 343.矩形是指它的性質有 4.矩形的判定方法有 5.菱形是指它的性質有 6.菱形的判定方法是 7.只有一組對邊平行的四邊形叫做 兩腰相等的梯形叫做有乙個角是直角的梯形叫做 8.等腰梯形的性質有 等腰梯形的兩腰等腰梯形同一底上...
第十九章四邊形知識要點與鞏固練習
第十九章四邊形 知識要點 1 知識結構圖 2 特殊四邊形 3 三角形中位線定理 三角形的中位線平行於三角形的第三邊，且等於第三遍的一半。4 由矩形的性質得到直角三角形的乙個性質 直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。5 面積公式 1 平行四邊形 2 矩形 3 菱形 4 正方形 5 梯形 鞏固練習 一...