第十九章四邊形
一、 基礎知識
（一）四邊形由一般到特殊的演變示意圖
（二）特殊四邊形
（三）1．三角形中位線定理：三角形的中位線平行於三角形的第三邊，且等於第三遍的一半。
2．由矩形的性質得到直角三角形的乙個性質：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
二、例題
例1：如圖1，平行四邊形abcd中，ae⊥bd，cf⊥bd，垂足分別為e、f. 求證：∠bae =∠dcf.
證明：∵四邊形abcd是平行四邊形，
∴∠abe =∠cdf，ab= cd.
又∵ae⊥bd，cf⊥bd，
∴∠aeb =∠cfd = 90°，
∴△abe≌△cdf.
∴∠bae =∠dcf.
例2如圖2，矩形abcd中，ac與bd交於o點，be⊥ac於e，cf⊥bd於f.
求證：be = cf.
證明：∵四邊形abcd是矩形，
∴ob = oc.
又∵be⊥ac，cf⊥bd，∴∠beo =∠cfo = 90.
∵∠boe =∠cof.
∴△boe≌△cof. ∴be = cf.
評注：本題主要考查矩形的對角線的性質以及全等三角形的判定.
例3已知：如圖3，在梯形abcd中，ad∥bc，ab = dc，點e、f分別在ab、cd上，且be = 2ea，cf = 2fd. 求證：∠bec =∠cfb.
證明：∵在梯形abcd中，ad∥bc，ab = dc，
∴梯形abcd是等腰梯形. ∴∠abc =∠dcb.
又∵ab = dc，be = 2ea，cf = 2fd，
∴be = cf. ∵bc = cb，
∴△bec≌△cbf. ∴∠bec =∠cfb.
例4如圖6，e、f分別是 abcd的ad、bc邊上的點，且ae = cf.
（1）求證：△abe≌△cdf；
（2）若m、n分別是be、df的中點，鏈結mf、en，試判斷四邊形mfne是怎樣的四邊形，並證明你的結論.
（1）證明：∵四邊形abcd是平行四邊形，
∴ab = cd，∠a =∠c.
∵ae = cf，∴△abe≌△cdf.
（2）解析： 四邊形mfne是平行四邊形.
∵△abe≌△cdf，∴∠aeb =∠cfd，be = df.
又∵m、n分別是be、df的中點，∴me = fn.
∵四邊形abcd是平行四邊形，∴∠aeb =∠fbe.
∴∠cfd =∠fbe. ∴eb∥df，即me∥fn.
∴四邊形mfne是平行四邊形.
評注：本題是一道猜想型問題. 先猜想結論，再證明其結論.
例5如圖7， abcd的對角線ac的垂直平分線與邊ad，bc分別相交於點e，f.
求證：四邊形afce是菱形.
證明：∵四邊形abcd是平行四邊形，
∴ad∥bc. ∴∠eac =∠fca.
∵ef是ac的垂直平分線，
∴oa = oc，∠eoa =∠foc，ea = ec.
∴△eoa≌△foc . ∴ae = ce.
∴四邊形afce是平行四邊形.
又∵ea = ec，
∴四邊形afce是菱形.
例6如圖9，四邊形abcd是矩形，o是它的中心，e、f是對角線ac上的點.
（1）如果則△dec≌△bfa（請你填上乙個能使結論成立的乙個條件）；
（2）證明你的結論.
解析：本題是一道條件開放型問題，答案不唯一.
（1）①ae=cf；②oe = of；③de⊥ac，bf⊥ac；④de∥bf等.
（2）①證明：∵四邊形abcd是矩形，
∴ab = cd，ab ∥ cd. ∴∠dce =∠baf.
∵ae=cf，∴ac－ae = ac－cf，即af = ce.
∴△dec≌△bfa.
例7如圖10，已知在梯形abcd中，ad∥bc，ab = dc，對角線ac和bd相交於點o，e是bc邊上乙個動點（點e不與b、c兩點重合），ef∥bd交ac於點f，eg∥ac交bd於點c.
（1）求證：四邊形efog的周長等於2ob；
（2）請你將上述題目的條件「梯形abcd中，ad∥bc，ab = dc」改為另一種四邊形，其他條件不變，使得結論，「四邊形efog的周長等於2ob」仍成立，並將改編後的題目畫出圖形，寫出已知、求證、不必證明.
解析：（1）證明：∵在梯形abcd中，ad∥bc，ab = dc，
∴梯形abcd是等腰梯形. ∴∠abc =∠dcb.
又∵bc = cb，ab = dc，
∴△abc≌△dcb. ∴∠acb =∠dbc.
又∵eg∥ac，∠acb =∠geb.
∴∠dbc=∠geb. ∴eg = bg.
∵eg∥oc，ef∥og，
∴四邊形egof是平行四邊形.
∴oe = of，ef = og.
∴四邊形egof的周長 = 2（og＋ge）= 2（og＋gb）= 2ob.
（2）如圖11，已知在矩形abcd中，對角線ac和bd相交於點o，e是bc邊上乙個動點（點e不與b、c兩點重合），ef∥bd交ac於點f，eg∥ac交bd於點c.
求證：四邊形efog的周長等於2ob
注意：若將矩形改為正方形，原結論成立嗎？
例8有一塊梯形形狀的土地，現要平均分給兩個農戶種植（即將梯形的面積兩等分），試設計兩種方案（平分方案畫在備用圖13(1)、(2)上），並給予合理的解釋.
解析：本題是一道方案設計題，現提供三種方案供參考：
方案一：如圖14（1），鏈結梯形上、下底的中點e、f，則
s四邊形abfe = s四邊形efcd =.
方案二：如圖14（2），分別量出梯形的上、下底a、b的長，在下底bc上擷取be =（a＋b），鏈結ae. 則
s△abe = s四邊形aecd =.
方案三：如圖14（3），鏈結ac，取ac的中點e，鏈結be、ed，則圖中陰影部分的面積等於梯形abcd的一半.
分析此方案可知，∵ae = ec，∴s△aeb= s△ebc，s△aed= s△ecd.
∴s△aeb＋s△aed= s△ebc＋s△ecd = s四邊形abcd.
例9請將四個全等直角梯形（如圖15），拼成乙個平行四邊形，並畫出兩種不同的拼法示意圖（拼出的兩個圖形只要不全等就認為是不同的拼法）．
解析：拼法有多種，現列舉四例：
三、適時訓練
（一）精心選一選
1.下列命題正確的是（ ）
一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形一定是平行四邊形
對角線相等的四邊形一定是矩形
兩條對角線互相垂直的四邊形一定是菱形
兩條對角線相等且互相垂直平分的四邊形一定是正方形
2. 已知平行四邊形abcd的周長32, 5ab=3bc,則ac的取值範圍為( )
a. 63.兩個全等的三角形（不等邊）可拼成不同的平形四邊形的個數是（ ）
（a）1 （b）2 （c）3 （d）4
4．延長平形四邊形abcd的一邊ab到e，使be＝bd，鏈結de交bc於f，若∠dab＝120°，∠cfe＝135°，ab＝1，則ac 的長為（ ）
（a）1 （b）1.2 （c） （d）1.5
5．若菱形abcd中，ae垂直平分bc於e，ae＝1cm，則bd的長是（ ）
（a）1cm （b）2cm （c）3cm （d）4cm
6.若順次鏈結乙個四邊形各邊中點所得的圖形是矩形，那麼這個四邊形的對角線( )
（a）互相垂直 （b）相等 （c）互相平分 （d）互相垂直且相等
7. 如圖，等腰△abc中，d是bc邊上的一點，de∥ac，df∥ab，ab=5
那麼四邊形afde的周長是
（a）5 （b）10c）15d）20
8.如圖，將邊長為8cm的正方形紙片abcd摺疊，使點d落在bc邊中點e處，點a落在點f處，摺痕為mn，則線段cn的長是（ ）．
（a）3cm （b）4cm （c）5cm （d）6cm
9. 如圖，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠b=90°，ac將梯形分成兩個三角形，其中△acd是周長為18 cm的等邊三角形，則該梯形的中位線的長是( )．
(a)9 cm (b)12cm (c) cm (d)18 cm
10.如圖，在周長為20cm的□abcd中，ab≠ad，ac、bd相交於點o，oe⊥bd交ad於e，則△abe的周長為（ ）
(a)4cmb)6cm (c)8cm (d)10cm
11. 如圖2，四邊形abcd為矩形紙片．把紙片abcd摺疊，使點b恰好落在cd邊的中點e處，摺痕為af．若cd＝6，則af等於 （ ）
（a） （b） （cd）８
12.如圖，已知四邊形abcd中，r、p分別是bc、cd上的點，e、f分別是
ap、rp的中點，當點p在cd上從c向d移動而點r不動時，那麼下列結論
成立的是 （ )
四邊形知識點與經典例題
四邊形一 基礎知識 一 四邊形由一般到特殊的演變示意圖 二 特殊四邊形 三 1 三角形中位線定理 三角形的中位線平行於三角形的第三邊，且等於第三遍的一半。2 由矩形的性質得到直角三角形的乙個性質 直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。2 例題 例1 已知 如圖，菱形abcd中 b 60 e,f在邊b...
平行四邊形知識點與經典例題
例4 如圖6，e f分別是 abcd的ad bc邊上的點，且ae cf.1 求證 abe cdf 2 若 m n分別是be df的中點，鏈結mf en，試判斷四邊形mfne是怎樣的四邊形，並證明你的結論.例5 如圖7 abcd的對角線ac的垂直平分線與邊ad，bc分別相交於點e，f.求證 四邊形af...
8月1日四邊形知識點與經典例題
一 基礎知識 一 四邊形由一般到特殊的演變示意圖 二 例題 例1 如圖1，平行四邊形abcd中，ae bd，cf bd，垂足分別為e f.求證 bae dcf.證明 四邊形abcd是平行四邊形，ab cd.又 ae bd，cf bd，90 abe cdf.bae dcf.例2如圖2，矩形abcd中，...