一、 基礎知識
（一）四邊形由一般到特殊的演變示意圖
二、例題
例1：如圖1，平行四邊形abcd中，ae⊥bd，cf⊥bd，垂足分別為e、f. 求證：∠bae =∠dcf.
證明：∵四邊形abcd是平行四邊形，
ab= cd.
又∵ae⊥bd，cf⊥bd，
90°，
∴△abe≌△cdf.
∴∠bae =∠dcf.
例2如圖2，矩形abcd中，ac與bd交於o點，be⊥ac於e，cf⊥bd於f.
求證：be = cf.
證明：∵四邊形abcd是矩形，
∴ob = oc.
又∵be⊥ac，cf⊥bd90.
∴△boe≌△cof. ∴be = cf.
評注：本題主要考查矩形的對角線的性質以及全等三角形的判定.
例3已知：如圖3，在梯形abcd中，ad∥bc，ab = dc，點e、f分別在ab、cd上，且be = 2ea，cf = 2fd. 求證：∠bec =∠cfb.
證明：∵在梯形abcd中，ad∥bc，ab = dc，
∴梯形abcd是abc =∠dcb.
又∵ab = dc，be = 2ea，cf = 2fd，
bc = cb，
∴△bec≌△cbf. ∴∠bec =∠cfb.
例4如圖6，e、f分別是 abcd的ad、bc邊上的點，且ae = cf.
（1）求證：△abe≌△cdf；
（2）若m、n分別是be、df的中點，鏈結mf、en，試判斷四邊形mfne是怎樣的四邊形，並證明你的結論.
（1）證明：∵四邊形abcd是平行四邊形，
∴ab = cd，∠a =∠c.
abe≌△cdf.
（2）解析： 四邊形mfne是平行四邊形.
∵△abe≌△cdfcfd，be = .
又∵m、n分別是be、df的中點，∴me = .
∵四邊形abcd是平行四邊形fbe.
∴∠cfdeb∥df，即me∥fn.
∴四邊形mfne是平行四邊形.
評注：本題是一道猜想型問題. 先猜想結論，再證明其結論.
例5如圖7， abcd的對角線ac的垂直平分線與邊ad，bc分別相交於點e，f.
求證：四邊形afce是菱形.
證明：∵四邊形abcd是平行四邊形，
∴ad∥ . ∴∠eac =∠ .
∵ef是ac的垂直平分線，
∴oa = ，∠eoa =∠ ，ea =
∴△eoa≌△foc . ∴ae = .
∴四邊形afce是平行四邊形.
又∵ea = ，
∴四邊形afce是菱形.
三、適時訓練
（一）精心選一選
1.下列命題正確的是（ ）
一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形一定是平行四邊形
對角線相等的四邊形一定是矩形
兩條對角線互相垂直的四邊形一定是菱形
兩條對角線相等且互相垂直平分的四邊形一定是正方形
2.兩個全等的三角形（不等邊）可拼成不同的平形四邊形的個數是（ ）
（a）1 （b）2 （c）3 （d）4
3．延長平形四邊形abcd的一邊ab到e，使be＝bd，鏈結de交bc於f，若∠dab＝120°，∠cfe＝135°，ab＝1，則ac 的長為（ ）
（a）1 （b）1.2 （c） （d）1.5
4．若菱形abcd中，ae垂直平分bc於e，ae＝1cm，則bd的長是（ ）
（a）1cm （b）2cm （c）3cm （d）4cm
5.若順次鏈結乙個四邊形各邊中點所得的圖形是矩形，那麼這個四邊形的對角線( )
（a）互相垂直 （b）相等 （c）互相平分 （d）互相垂直且相等
6. 如圖，等腰△abc中，d是bc邊上的一點，de∥ac，df∥ab，ab=5
那麼四邊形afde的周長是
（a）5 （b）10c）15d）20
7.如圖，將邊長為8cm的正方形紙片abcd摺疊，使點d落在bc邊中點e處，點a落在點f處，摺痕為mn，則線段cn的長是（ ）．
（a）3cm （b）4cm （c）5cm （d）6cm
8.如圖，在周長為20cm的□abcd中，ab≠ad，ac、bd相交於點o，oe⊥bd交ad於e，則△abe的周長為（ ）
(a)4cmb)6cm (c)8cm (d)10cm
9.如圖，已知四邊形abcd中，r、p分別是bc、cd上的點，e、f分別是
ap、rp的中點，當點p在cd上從c向d移動而點r不動時，那麼下列結論
成立的是 （ )
a、線段ef的長逐漸增大 b、線段ef的長逐漸減小
c、線段ef的長不變d、線段ef的長與點p
（二）細心填一填
1.如果四邊形四個內角之比1：2：3：4，則這四邊形為＿＿＿＿形。
2.若正方形的對角線長為2cm，則正方形的面積為＿＿＿。
3.若矩形乙個內角的平分線，把另一邊分為4cm,5cm兩部分，則這個矩形周長是＿＿＿
4.已知：平行四邊形abcd的周長是30cm，對角線ac，bd相交於點o，△aob的周長比△boc的周長長5cm ，則這個平行四邊形的各邊長為＿＿＿＿＿。
6. 在平面直角座標系中，點a、b、c的座標分別是a(－2，5)，b(－3，－1)，c(1，－1)，在第一象限內找一點d，使四邊形abcd是平行四邊形，那麼點d的座標是
8． 如圖10(1)是乙個等腰梯形，由6個這樣的等腰梯形恰好可以拼出如圖10(2)所示的乙個菱形．對於圖10(1)中的等腰梯形，請寫出它的內角的度數或腰與底邊長度之間關係的乙個正確結論
9．如圖，在四邊形中，是對角線的中點，分別是的中點， ，則的度數是
11. 如圖，在四邊形abcd中，e、f、g、h分別是ab、bd、cd、ac的中點，要使四邊形efgh是菱形，四邊形abcd還應滿足的乙個條件是
14. 如圖，矩形的對角線和相交於點，過點的直線分別交和於點e、f，，則圖中陰影部分的面積為 ．
（三）認真答一答
1.如圖，在四邊形abcd中，∠a=60°,∠b=∠d=90°,bc=2,cd=3,求ab的長。
2.如圖，在等腰梯形abcd中，ad∥bc,ab=cd=2,∠bad=120°,對角線ac平分∠bcd，求等腰梯形abcd的周長。
3.將平行四邊形紙片abcd按如圖方式摺疊，使點c與a重合，點d落到d′ 處，摺痕為ef．
（1）求證：△abe≌△ad′f；
（2）連線cf，判斷四邊形aecf是什麼特殊四邊形？證明你的結論
4．已知：如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，ab=cd，對角線ac、bd相交於點e，
∠adb=60°，bd=10，be∶ed=4∶1，求梯形abcd的腰長.
5. 如圖，菱形abcd，e，f分別是bc，cd上的點，∠b＝∠eaf＝60°，
∠bae＝18°求∠cef的度數。
6.已知：如圖，在△abc中，ab=ac，ad⊥bc，垂足為點d，an是△abc外角∠cam的平分線，ce⊥an，垂足為點e，
（1）求證：四邊形adce為矩形；
（2）當△abc滿足什麼條件時，四邊形
adce是乙個正方形？並給出證明．
7. 如圖，abcd是正方形，ce∥bd，be＝bd，be交dc於點f，
求證：（1）∠bec＝30° （2）de＝df
8.如圖，在正方形abcd中，p為對角線bd上一點，
pe⊥bc，垂足為e， pf⊥cd，垂足為f，
求證：ef＝ap
9. 如圖，四邊形abcd的對角線ac、bd交於點p，過點p作直線交ad於點e,交bc於點f。若pe=pf,且ap+ae=cp+cf
（1）求證：pa=pc;
（2）若ad=12,ab=15,∠dab=60°,求四邊形abcd的面積.
10.如圖，在矩形abcd中，ad=8cm，ab=6cm，點a處有一動點e以1cm∕s的速度由點a向點b運動，同時點c處也有一動點f以2cm∕s的速度由點c向點d運動，設運動的時間為x（s），四邊形ebfd的面積為y（cm2），求y與x的函式關係式及自變數x的取值範圍。
11.如圖在直角梯形abcd中, ad∥bc, ∠b=90°ad=24cm,ab=8cm,bc=26cm,動點p從a開始沿ad邊向d以1cm/s的速度運動,動點q從c開始沿cb向b以3cm/s的速度運動,p,q分別從點a,c同時出發,當其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動,設運動的時間t,t分別為何值時,四邊形pqcd為平行四邊形,等腰梯形?
四邊形知識點與經典例題
第十九章四邊形 一 基礎知識 一 四邊形由一般到特殊的演變示意圖 二 特殊四邊形 三 1 三角形中位線定理 三角形的中位線平行於三角形的第三邊，且等於第三遍的一半。2 由矩形的性質得到直角三角形的乙個性質 直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。二 例題 例1 如圖1，平行四邊形abcd中，ae bd...
四邊形知識點與經典例題
四邊形一 基礎知識 一 四邊形由一般到特殊的演變示意圖 二 特殊四邊形 三 1 三角形中位線定理 三角形的中位線平行於三角形的第三邊，且等於第三遍的一半。2 由矩形的性質得到直角三角形的乙個性質 直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。2 例題 例1 已知 如圖，菱形abcd中 b 60 e,f在邊b...
平行四邊形知識點與經典例題
例4 如圖6，e f分別是 abcd的ad bc邊上的點，且ae cf.1 求證 abe cdf 2 若 m n分別是be df的中點，鏈結mf en，試判斷四邊形mfne是怎樣的四邊形，並證明你的結論.例5 如圖7 abcd的對角線ac的垂直平分線與邊ad，bc分別相交於點e，f.求證 四邊形af...