一、實數及其分類：
1、有理數：整數和分數統稱為有理數；
2、無理數：無限不迴圈小數叫無理數；
特別提示：常見的幾種無理數：（1）根號型：
如，等開方開不盡的數；（2）一些三角函式，如sin60，tan30；（但sin30,tan45等能算出具體數值的不是無理數）；（3）構造性：如0.1010010001….
等；（4）π及含π數：如7π；π-3
3、正負數：大於0的數叫正數，表示為a﹥0；在正數前面加乙個「﹣」的數叫負數，如﹣∣﹣5∣，負數都小於0，表示為a﹤0。切記0既不是正數也不是負數。
4、實數的定義：有理數和無理數統稱為實數
5、實數的分類：
（1）按定義分類：
實數（2）按正負分類
實數例：
二、實數的相關概念：
1、數軸：
（1）定義：規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。
特別提醒：
①數軸有三要素：原點、正方向、單位長度。
②原點的確定和單位長度的大小，可根據各題的實際需要，靈活選取。
③同一數軸上的單位長度必須統一，不能出現同樣的長度表示不同的數量。
（2）數軸的畫法：
①畫一條直線；
②在直線上選取一點為原點，並用該點表示0（在原點下表「0」）；
③確定正方向；，
④選取適當的長度作為單位長度，向右一次表示為1，，，2…，向左表示為﹣1，﹣2，﹣…
（3）數軸的應用：
2、相反數：
（1）定義：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。
特別提示：
①「只有」指符號以外完全相同。
②相反數是成對出現的，是相互的。
（2）相反數表示法：
一般地a的相反數是a；a+b的相反數是-a-b;a-b的相反數是b-a;a-b+c的相反數是b-a-c；特別地，0的相反數是0
（3）相反數的幾何意義：表示互為相反數的兩個點（除0外）分別在原點o的兩邊，並且到原點的距離相等，且關於原點對稱。
（4）確定乙個數的相反數的常用方法：
①定義法：互為相反數的兩個數只有符號不同，其它完全相同；
②添負號法：在任意乙個數前面添上「﹣」，所得的數就是原數的相反數；
③運演算法：a與b互為相反數a+b=0或a=﹣b或b=﹣a， a、b互為相反數.相反數的商為﹣1.相反數的絕對值相等。
（4）多重符號化簡的依據就是相反數的意義，化簡的結果是由「-」號的個數來決定的，簡稱：奇負偶正。多重符號化簡方法：
乙個數前面有偶數個「－」號，結果為正。乙個數前面有奇數個「－」號，結果為負。0前面無論有幾個「－」號，結果都為0。
（5）相反數的應用：求乙個數的相反數，就是把這個數看成乙個整體，在前面添上乙個負號，然後去括號。
例：3、絕對值：
（1）定義：（1）幾何定義：一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作｜a｜,讀作「絕對值a」。
（2）代數定義：乙個正數的絕對值是它本身；乙個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0. 實數a的絕對值是|a|
特別提示：
∣a∣=；任何數的絕對值都大於或等於0，因為距離沒有負的。
（2）實數的絕對值的性質：
(1)|a|大於等於0(實數的絕對值是非負實數);
(2)|-a|=|a|(互為相反數的兩實數絕對值相等);
(3)-|a|小於等於a小於等於|a|;
(4)|a|>b可以推出a<-b或a>b，a<-b或a>b可以推出|a|>b;
(5)|a·b|=|a|·|b|;
(6)|a|/|b|=|a/b|(b≠0);
(7)|a+b|小於等於|a|+|b|，當且僅當a、b同號時，等式成立;
(8)|a-b|大於等於||a|-|b||，當且僅當a、b同號時，等式成立;
(9)a屬於r時，|a|的平方等於|a|的平方。
特別提醒：（1）絕對值具有非負性，即|a|≥0；
2）絕對值相等的兩個數，它們相等或互為相反數；
3）0是絕對值最小的有理數。
（3）絕對值的應用：
一、利用絕對值比較大小
a：利用絕對值比較兩個負數的大小
1、兩個負數比較大小，絕對值大的反而小．具體步驟：
①先求兩個負數的絕對值；
②比較絕對值的大小；
③根據「兩個負數，絕對值大的反而小」作出判斷．
2、幾個實數的大小比較
①同號兩數，可以根據它們的絕對值來比較：a.兩個正數，絕對值大的數較大；b.兩個負數，絕對值大的反而小．
②多個有理數的大小比較，需要先將它們按照正數、0、負數分模擬較，然後利用各數的絕對值或借助於數軸來進一步比較．
二、利用絕對值解決實際問題
絕對值的產生**於實際問題需要，反過來又可運用它解決一些實際問題，主要有以下兩類：
(1)判斷物體或產品質量的好壞
可以用絕對值判斷物體或產品偏離標準的程度，絕對值越小，越接近標準，質量就越好．
方法：①求每個數的絕對值；
②比較所求絕對值的大小；
③根據「絕對值越小，越接近標準」作出判斷．
(2)利用絕對值求距離
路程問題中，當出現用「＋」、「－」號表示的帶方向的路程，求最後的總路程時，實際上就是求絕對值的和．方法：①求每個數的絕對值；
②求所有數的絕對值的和；
③寫出答案．
（4）去絕對值符號的幾種常用方法：
1、利用定義法去掉絕對值符號
根據實數含絕對值的意義，即|x|=，有|x|c
2、利用不等式的性質去掉絕對值符號
利用不等式的性質轉化|x|c (c>0)來解，如|ax+b|>c (c>0)可為ax+b>c或ax+b<－c；|ax+b|對於含絕對值的雙向不等式應化為不等式組求解，也可利用結論「a≤|x|≤ba≤x≤b或－b≤x≤－a」來求解，這是種典型的轉化與化歸的數學思想方法。
3、利用平方法去掉絕對值符號
對於兩邊都含有「單項」絕對值的不等式，利用|x|2=x2可在兩邊脫去絕對值符號來解，這樣解題要比按絕對值定義去討論脫去絕對值符號解題更為簡捷，解題時還要注意不等式兩邊變數與參變數的取值範圍，如果沒有明確不等式兩邊均為非負數，需要進行分類討論，只有不等式兩邊均為非負數(式)時，才可以直接用兩邊平方去掉絕對值，尤其是解含引數不等式時更必須注意這一點。
4、利用零點分段法去掉絕對值符號
所謂零點分段法，是指：若數x1，x2，……，xn分別使含有|x－x1|，|x－x2|，……，|x－xn|的代數式中相應絕對值為零，稱x1，x2，……，xn為相應絕對值的零點，零點x1，x2，……，xn將數軸分為m+1段，利用絕對值的意義化去絕對值符號，得到代數式在各段上的簡化式，從而化為不含絕對值符號的一般不等式來解，即令每項等於零，得到的值作為討論的分割槽點，然後再分區間討論絕對值不等式，最後應求出解集的並集。零點分段法是解含絕對值符號的不等式的常用解法，這種方法主要體現了化歸、分類討論等數學思想方法，它可以把求解條理化、思路直觀化。
5、利用數形結合去掉絕對值符號
解絕對值不等式有時要利用數形結合，利用絕對值的幾何意義畫出數軸，將絕對值轉化為數軸上兩點間的距離求解。數形結合法較為形象、直觀，可以使複雜問題簡單化，此解法適用於∣x-a∣+∣x-b∣﹥m或∣x-a∣+∣x-b∣﹤m (m為正常數)型別不等式。對∣ax+b∣+∣cx+d∣﹥m(或(1)對於形如︱a︱的一類問題
只要根據絕對值的3個性質，判斷出a的3種情況，便能快速去掉絕對值符號。
當a>0時，︱a︱=a (性質1，正數的絕對值是它本身) ；
當a=0 時︱a︱=0 (性質2，0的絕對值是0) ；
當 a<0 時；︱a︱=–a (性質3，負數的絕對值是它的相反數) 。
(2)對於形如︱a+b︱的一類問題
我們只要把a+b看作是乙個整體，判斷出a+b的3種情況，根據絕對值的3個性質，便能快速去掉絕對值符號，正確進行化簡。
當a+b>0時，︱a+b︱=a +b(性質1，正數的絕對值是它本身) ；
當a+b=0 時，︱a+b︱=0 (性質2，0的絕對值是0) ；
當 a+b<0 時，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性質3，負數的絕對值是它的相反數)
(3)對於形如︱a-b︱的一類問題
同樣，按上面的方法，我們仍然把a-b看作乙個整體，判斷出a-b 的3種情況，根據絕對值的3個性質，去掉絕對值符號。
但在去括號時最容易出現錯誤。如何快速去掉絕對值符號，條件非常簡單，只要你能判斷出a與b的大小即可。因為︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以當a>b時，︱a-b︱=a-b,︱b-a︱=a-b.
請記住口訣：無論是大減小，還是小減大，去掉絕對值，都是大減小。
(4)對於數軸型的一類問題，
根據3的口訣來化簡，更快捷有效。如︱a-b︱的一類問題，只要判斷出a在b的右邊，便可得到︱a-b︱=a-b,︱b-a︱=a-b。
(5)對於絕對值號裡有三個數或者三個以上數的運算
萬變不離其宗，還是把絕對值號裡的式子看成乙個整體，把它與0比較，大於0直接去絕對值號，小於0的整體前面加負號。
4、倒數
一、定義：乘積為1的兩個數互為倒數；一般地，若a、b互為倒數，則ab=1。
特別提示：0沒有倒數；若a≠0，那麼a的倒數是；若a+b≠0或a≠ -b，那麼a+b的倒數是…若ab=1，a、b互為倒數；若ab=-1，a、b互為負倒數；倒數是本身的數是1和-1。
二、倒數的特點：乙個正實數(1除外)加上它的倒數一定大於2。理由：
，互為倒數，當a﹥b時，﹥1，∴ +＝1++1+=2+，又∵a﹥b﹥0，∴﹥0，∴ +﹥2，所以乙個正實數加上它的倒數一定大於2。當b>a時也一樣。同理可證，乙個負實數(-1除外)加上它的倒數一定小於-2。
三、倒數的求法：
1.求乙個分數的倒數，例如，我們只須把這個分數的分子和分母交換位置，即得的倒數為。
2.求乙個整數的倒數，只須把這個整數看成是分母為1的分數，然後再按求分數倒數的方法即可得到。
3.求乙個小數的倒數，先把小數換算成分數，再求該分數的倒數。
三、科學記數法
1、科學記數法：（1）大數的科學記數法：乙個大於10的數可以表示成a×10n的形式，其中1≤a﹤10，n是正整數（n等於原數的整數字數減去1）；如：
946000000=9.46×108
（2）小數的科學記數法：對於乙個大於0小於1的數，用科學記數法表示成a×10n的形式，其中1≤a﹤10，n是負整數，n的絕對值等於原數左起第乙個非零數前所有零的個數（包括小數點前的乙個零）；如：0.
0000000946=9.46×10-8
特別提示：有計數單位千、萬、億的數用科學記數法表示時，先把計數單位轉化為數字，再用科學記數法表示。
2、近似數：乙個與實際數很接近又有差別的數。
3、精確度：一般地，乙個近似數四捨五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位。如：π=3（精確到個位）；π=3.14（精確到0.01或叫精確到百分位）
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