第十三章實數
知識要點一：
1．實數的性質
（1）實數範圍內仍然適用在有理數範圍內定義的一些概念（如倒數，相反數）；
（2）兩實數的大小關係：正數大於0，0大於負數；兩個正實數，絕對值大的實數大；兩個負實數，絕對值大的實數反而小；
（3）在實數範圍內，加、減、乘、除（除數不為零）、乘方五種運算是暢通無阻的，但是開方運算要注意，正實數和零總能進行開方運算，而負實數只能開奇次方，不能開偶次方；
（4）有理數範圍內的運算律和運算順序在實數範圍內仍然相同．
2．實數與數軸的關係
每乙個實數都可以用數軸上的乙個點表示；反之，數軸上每乙個點都表示乙個實數，即數軸上的點與實數是一一對應關係．
3．實數的分類
（1）按實數的定義分類：
（2）按實數的正負分類：
4．實數的大小比較
兩實數的大小關係如下：正實數都大於0，負實數都小於0，正數大於一切負數；兩個正實數，絕對值大的實數較大；兩個負實數，絕對值大的實數反而小．
實數和數軸上的點一一對應，在數軸上表示的兩個實數，右邊的數總大於左邊的數．
【典型例題】
例1若為實數,下列代數式中,一定是負數的是( )
a. －2 b. －( +1)2 c.－ d.－(+1)
分析：本題主要考查負數和非負數的概念,同時涉及考查字母表示數這個知識點.由於為實數, 2、( +1)2、均為非負數，∴－2≤0，－( +1)2≤0，－≤0．而0既不是正數也不是負數，是介於正數與負數之間的中性數．因此，a、b、c不一定是負數．又依據絕對值的概念及性質知－(+1)﹤0．故選d
例2 實數在數軸上的位置如圖所示,
化簡分析：這裡考查了數形結合的數學思想,要去掉絕對值符號,必須清楚絕對值符號內的數是正還是負.由數軸可知:1﹤﹤2,於是
所以, =－1+2－=1.
例3 如圖所示,數軸上a、b兩點分別表示實數1，，點b關於點a的對稱點為c，則點c所表示的實數為（ ）
a. －2b. 2－
c. －3d.3－
分析：這道題也考查了數形結合的數學思想,同時又考查了對稱的性質．b、c兩點關於點a對稱，因而b、c兩點到點a的距離是相同的，點b到點a的距離是－1，所以點c到點a的距離也是－1，設點c到點o的距離為，所以+1=－1，即=－2．又因為點c所表示的實數為負數，所以點c所表示的實數為2－．
例4 已知、b是有理數，且滿足（－2）2+=0，則b的值為
分析：因為（－2）2+=0，所以－2=0，b－3=0。所以=2， b=3；所以b=8。
【知識運用】
一、填空題：
1.已知,則的相反數是的倒數是 ；若在數軸上表示,它在原點的側(填「左」或「右」)；且到原點的距離是
2. 在兩個連續整數和b之間, ﹤﹤b,那麼、b的值分別是 .
3. (創新題)觀察下列算式:
21=2； 22=4； 23=8； 24=16；
25=32； 26=64； 27=128； 28=256；………
通過觀察,用你所發現的規律寫出22007的末位數字是圖1
4．如圖1，是乙個正方體紙盒的展開圖。若在其中的三個正方形a、b、c內分別填入適當的數，使得它們折成正方體後相對的面上的兩個數互為相反數，則填入正方形a、b、c內的三個數依次為
5．某年的某個月中有5個星期三，它們的日期之和為80（把日期看作兩位數，
如22日看作數22），那麼這個月的3號是星期 ．
6．二、選擇題：
7．以數軸的單位長度1為邊作乙個正方形，以數軸的原點為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧，交數軸的正半軸於點a，則點a表示的數是（ ）
a.1.5b. 1.4cd.
8．下列結論正確的是（ ）
a.∵ ，∴ ﹥bb.
c. 與不一定互為相反數 d. +b﹥－b
9．請你估算的大小（ ）
a.1﹤﹤2 b. 2﹤﹤3 c. 3﹤﹤4 d. 4﹤﹤5
10．若數軸上表示數的點在原點的左邊，則化簡的結果是（ ）
ab. －3cd. 3
三、解答題：
11．已知、b互為相反數，c、d互為倒數，x的絕對值等於1，求+b+x2－cdx的值．
12．已知、b互為相反數，c、d互為倒數，x、y滿足，求的值．
13．如圖2，數軸上表示1和的點分別為a和b，點b關於點a的對稱點為c．設c點所表示的數為x，求x+的值．
圖214．按下列程式計算，把答案填寫在**內，然後看看有什麼規律，想想為什麼會有這個規律？
（1）填寫表內空格：
（2）你發現的規律是
（3）用簡要的過程證明你發現的規律．
知識要點二：
1.理解零指數冪和負整數指數冪的概念,掌握實數的運算法則,並能熟練地進行計算.
2．實數的運算
在實數範圍內，加、減、乘、除（除數不能為0）、乘方五種運算都可以進行，各種運算律在實數範圍內仍然適用；但開方運算要注意，正實數和零總能進行開方運算，而負實數只能開奇次方，不能開偶次方．
3.對於實數的運算應注意:
(1) 實數的混合運算中,應先確定運算的符號及順序,再進行運算,有小數的一般將其化
為分數較為簡單；
(2) 熟練掌握實數的運算需做到三點：一是熟悉運算律（包括正向與逆向）；二是靈活運
用各種運算法則；三是掌握一定的運算技巧；
（3）注意零指數、負整數指數冪的意義，遇到絕對值一般要先去掉絕對值符號再進行計算，關鍵是把好符號關．
4．實數的絕對值
正實數的絕對值等於它本身；負實數的絕對值等於它的相反數；零的絕對值是零．
【典型例題】
例1 計算下列各式：
(1)解：(1) 原式=（－8）×9+1++4=－72+1+3+4=－64．
例2 比較－與－1的大小．
分析：比較－與－1的大小，可先將各數的近似值求出來，
即－≈1.732－1.414=0.318，－1≈1.414－1=0.414，再比較大小。
【知識運用】
一、填空題：
1.已知,則,b,c三數的大小關係是
2.已知、b互為相反數，c、d互為倒數，且x－2=1，=2，則式子
的值是3．下面是乙個有規律排列的數表：
第一列第二列第三列………第n列
第一行第二行
第三行………………
上面數表中第九行，第七列的數是
4．（觀察下列各等式:
=2； =2； ＝２；＝２；
依照以上各式成立的規律，在括號中填入適當的數，使等式＝２成立．
二、選擇題：
5．設則、b、c的大小關係是（ ）
a. ﹥b﹥c b. ﹥c ﹥b c. c ﹥b﹥ d. b﹥c﹥
6．小明的作業本上有以下四題：①；②；
③；④．做錯的題是（ ）
abcd. ④
7．現規定一種新的運算「*」：*b=b，如3*2=32=9，則*3等於（ ）
ab. 8cd.
8．若「！」是一種運算符號，且有1！=1；2！=2×1；3！=3×2×1；4！=4×3×2×1；………則（ ）
a．2006 b．2005c．2004 d．以上答案都不對
9．下列運算：① （－3）3=－9； ② （－3）－2=9； ③ 23×23=29；
④ －24÷（－2）2=（－2）2=4； ⑤；⑥ 5÷×6=5÷1=5；
其中錯誤的個數是（ ）
a. 3b. 4c. 5d. 6
三、解答題：
10．計算：
11．若規定一種新的運算「*」：*b=+b+b，求〔（－1）*1〕*2的值．
14．在圖1的集合圈中，有5個實數，請你計算其中的有理數的和與無理數的積的差．
圖1《實數》單元複習題
一、填空題
1. 下列各數，，，中，無理數共有個.
2. 在數軸上和原點距離等於的點表示的數是 ．
3. 平方根是 ．算術平方根是 ．
4. 乙個數的立方根等於它本身，這個數是
5. 比較大小： 17， .
6. 比大的負整數的和為 ．比大的實數是 ．
7. 已知乙個數的平方根為與，則這個數是 ．
8. ，則．
9. 已知實數x，y滿足,則的值是 ．
10. 請你觀察思考下列計算過程．
由此猜想：．
二、選擇題
11. 三個實數，，之間的大小關係為（ ）
12. 下列說法正確的是（ ）
ａ．無理數都是無限小數有理數都是有限小數
ｃ．無理數都是開方開不盡的數 ｄ．帶根號的數都是無理數
13. 下列說法正確的有（ ）
⑴乙個數立方根的相反數等於這個數的相反數的立方根
⑵的平方根是，立方根是
⑶表示的平方根，表示的立方根
⑷不一定是負數
14. 給出下列說法：①是的平方根；②的平方根是；③；④是無理數；⑤乙個無理數不是正數就是負數．其中，正確的說法有（ ）
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