全書內容可粗分為以下三大部分：
第一部分函式極限與連續（包括級數）
第二部分導數及其應用（包括多元函式）
第三部分積分計算及其應用 （包括二重積分和方程）
第一部分函式極限與連續
一、關於函式概念及特性的常見考試題型：
1、求函式的自然定義域。
2、判斷函式的有界性、週期性、單調性、奇偶性。
3、求反函式。
4、求復合函式的表示式。
二、 極限與連續
常見考試題型：
1、求函式或數列的極限。
2、考察分段函式在分段點處極限是否存在， 函式是否連續。
3、函式的連續與間斷。
4、求函式的漸進線。
5、級數的性質及等比級數。
6、零點定理。
每年必有的考點
第三部分導數微分及其應用
常見考試題型：
1、導數的幾何意義；
2、討論分段函式分段點的連續性與可導性。
3、求函式的導數：復合函式求導， 隱含數求導，引數方程求導；
4、討論函式的單調性和凹凸性，求曲線的拐點；
5、求閉區間上連續函式的最值；
6、實際問題求最值。
每年必有的考點
第四部分積分計算及應用
考試常見題型
1、不定積分的概念與計算；
2、定積分的計算；
3、定積分計算平面圖形的面積；
4、定積分計算旋轉體的體積；
5、無窮限反常積分
6、二重積分
7、微分方程
最近幾年考題中，積分計算的題目較多， 而且也有一定的難度。
第一部分函式極限與連續
一、關於函式概念及特性的常見考試題型：
1、求函式的自然定義域。
2、判斷函式的有界性、週期性、單調性、奇偶性。
3、求反函式。
4、求復合函式的表示式。
例1..函式y=的定義域是2007.7
知識點：定義域
約定函式的定義域是使函式的解析表示式有意義的一切實數所構成的數集。
解要使根式函式有意義必須滿足，
要使成立， 只有，即.
注：我們所求定義域的函式一般都是初等函式，而初等函式：由基本初等函式，經過有限次的＋－×÷運算及有限次的復合得到的函式稱為初等函式。
這就需要我們把基本初等函式的定義域、值域等搞清楚。
基本初等函式的性質與圖形如下表所示(表週期)：
例2 求函式的值域 2007.4
解：由可知，所以，故的值域為
例3 . 1.下列函式中在所給的區間上是有界函式的為（ ）
a．f (x)= [0，1] b．f (x)= （-1，0）
c．f (x)=exd．f (x)=lnx (0，+∞)
知識點：函式的有界性
注：函式的有界性是指值域的有界性。
解：a，故f (x)=在[0，1]上為有界函式。
b．故f (x)=在（-1，0）上為無界函式。
cd結合函式影象判斷。
例4、設函式是定義在上的任意函式，證明：
（1）、是偶函式
（2）、是奇函式
知識點：奇偶性
若對於任何，恒有成立，則稱是奇函式。若對於任何，恒有成立，則稱是偶函式．
奇函式的圖形關於原點對稱，偶函式的圖形關於y 軸對稱
分析：因為是定義在對稱區間上，根據定義，只需證明：
（1）（2）
只證（1）： 偶函式。
例5、求函式的反函式. 07.10
知識點：反函式
求反函式的步驟是：先從函式中解出，再置換與，就得反
函式。解：由，可得，所以，上式中與的記號互換，即得反函式為
例6．1. 設f (x)=x3-x，，則f
a.-2bc.0d.
2. 已知f(x+1)=x2，則f(x2009.10
知識點 ：復合函式
解：1.
答案：c
2. 令則，故由可得，即.
二、 極限與連續
常見考試題型：
1、求函式或數列的極限。
2、考察分段函式在分段點處極限是否存在， 函式是否連續。
3、函式的連續與間斷。
4、求函式的漸進線。
5、級數的性質及等比級數。
6、零點定理。
典型例題
求極限方法總結：利用極限四則運算、 連續函式、重要極限、無窮小代換、洛比達法則等
例7．求．
知識點： 若函式在點處連續，
解因為．
故例8、
解 ：知識點：一般地，設，則
例92007.7
解： 例10 （1）、2008.1 (2) 2009.1
知識點：重要極限： ，
解: (1)
因為，。
(2) 求 2009.1
解： 例11.
知識點：重要極限
解：(4)例12．求極限（1）（2）
知識點：利用等價無窮小代換求函式極限。
為無窮小， 且， 則
解：(1)因為,
所以（2）因為，，，
所以 ．
注：在使用等價無窮小代換時，應注意只能對乘除法代換，不能對加減法代換，即只對極限中的各個因式進行代換．
記住下列幾個常用的等價無窮小以及由此匯出其它的等價無窮小
1、 匯出時，
2、 匯出時，
3、， 匯出時，
4、， 匯出時
5、， 匯出時，
6、， 匯出時，
例13：(1) 09.7 (2) 09.4
(3) 07.4 （4）
知識點： 洛必達法則：使用洛必達法則必須判斷所求的極限是分式型的未定式 、．其它型別的未定式 ， ， 可轉化為分式型的未定式，從而可以用洛必達法則
解：(1)
（2）(3)(4)例14．求極限（1）. 2009.10 (2) 2007.1
知識點; 等價無窮小和洛比達法則結合
解： （1）
(2)例15 .設f(x)是連續函式，且f(0)=1，則（ ）2007.4
a.0 bc.1d.2
知識點： 變上限函式求導求極限
解： =
例16．設函式f(x)=在x=0點連續，則k=（ ）2009.4
知識點：函式連續若，則稱函式在點處連續。
分段函式在分段點點處連續在點處既左連續又右連續。
解：因為在點0處連續，所以
例17．函式的間斷點的個數為
(a) 0個 (b) 1個c) 2個d) 3個
知識點： 判斷初等函式的間斷點
如果在點不連續，則稱是的間斷點．
若下列三種情況之一成立，則是的間斷點：
i．無定義 (是無定義的孤立點)
ii．不存在
iii．有定義，存在，但．
● 若是含有分母的初等函式，則分母的零點是間斷點．
● 若是分段函式，則分段的分界點是可疑的間斷點．
解：將函式的分母做因式分解，則有．分母的零
點就是函式的間斷點．可以看到分母的零點為，應選擇c．
注： 對函式做因式分解是判斷函式零點的常用方法．
例18．求曲線的水平漸近線和豎直漸近線.2009.10
解： 因為，
所以為曲線的水平漸近線，
為曲線的水平豎直漸近線。
例三、閉區間上連續函式的性質：
例20．設f(x)在[0,1]上連續，且f(0)=0, f(1)=1. 證明：至少存在一點（0，1），使f()=1-.2008.7
知識點零點定理若在閉區間連續，且，則至少有
一點，使
證明：.令，則在閉區間連續，，
，則由零點定理至少有一點，使即。
第二部分導數微分及其應用
常見考試題型：
1、導數的幾何意義；
2、討論分段函式分段點的連續性與可導性。
3、求函式的導數：復合函式求導， 隱含數求導，引數方程求導；
4、討論函式的單調性和凹凸性，求曲線的拐點；
5、求閉區間上連續函式的最值；
19 求級數的和
6、實際問題求最值。
一、有關定義的題型
例21設f ′(0)=1，求2008.10
知識點：導數的定義
解:例22．設=, 討論該函式在處的連續性與可導性
知識點：
1、函式在點處連續在點處連續既左連續又右連續.
2、函式在點處可導左導數和右導數都存在且相等
3、分段函式在分段點的左右導數可用導數的左右極限來得到。
解：因為
所以在處連續
因為，在處不可導
總之，在處連續不可導
例23 .設，則=。2007.4
解： 例24．求曲線上點（0，1）處的切線是.
知識點：導數的幾何意義，在幾何上表示曲線在點處的切線的斜率．
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全國高等數學 一 00020試題
絕密 考試結束前 請考生按規定用筆將所有試題的答案塗 寫在答題紙上。注意事項 1.答題前，考生務必將自己的考試課程名稱 姓名 准考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙規定的位置上。2.每小題選出答案後，用2b鉛筆把答題紙上對應題目的答案標號塗黑。如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案標號。不能...