1. （10分）求心形線的全長。
解：， ，。故，
。2. （10分）設，為2階線性微分方程的兩個解， 令
，並稱之為和的wronsky行列式。 試證明：
（1） 滿足方程；
（2） 。
解：（1） =，故
。（2） 方法一: 由（1）可得， 兩邊作定積分則有，
從而可知。
方法二： 由通解結構知， 其中為待定常數。 由微積分基本定理可知為不定積分的乙個原函式。故， 將代入可得， 從而。
3. （10分）設方程組確定了函式，。 求在點，，， 處的和。
解：方法一： 微分法。
將看成獨立變數，對原方程組取全微分得到相應的線性化方程：
在，，， 處取值則有：
容易解得：，。
方法二： 通過求偏導數來得到微分。
， 其中為將方程組右端項移至左端所得到的隱函式。
其餘偏導數的計算從略。
4. （10分）求曲線： 在點（2, 1，1）處的對稱式切線方程。
解：將方程組在（2, 1，1）處直接微分便得到在此處的一般式切線方程：
。於是， 該切線的方向向量為：， 故切線的對稱式方程為：
。5. （10分）給定三維空間內乙個平面以及平面外一點，再給定正實數。
求到的距離和到的距離的比值為常數的動點的軌跡。 選擇適當的座標系， 從而說明上述軌跡所對應的二次曲面的型別。
解： 設的方程為：， 其中為的單位法向量； 設。
則所求動點軌跡的方程為：
。以為平面， 以到的垂線為軸建立座標系， 則上述方程化簡為：
。當時， 方程可整理為：， 動點軌跡為中心在的橢球面。
當時， 方程可整理為：， 動點軌跡為頂點在的旋轉拋物面。
當時，方程可整理為, 動點軌跡為中心在的雙葉雙曲面。
6. （10分）設為定義在平面上的二元函式，在直角座標和極座標下的函式表示式分別為：
。 設關於有連續的二階偏導數。 試將二元函式和表示成極座標下所對應的形式。
解：因為極座標變換公式為： ，。故而 ：；。
7．（10分）在第一卦限內做橢球面的切平面使得該切平面與三個座標平面所圍成的四面體體積最小。 求此切平面與橢球的切點， 並求此最小體積。
解：設切點為， 則過的切平面方程為：
。 因為在橢球面上， 故上述方程可改寫為截距式方程：
。故所求四面體體積為：。 欲使最小， 即求目標函式限制在橢球面上的最大值。利用lagrange乘子， 構造新的無約束目標函式。 原目標函式的最大值點必滿足如下方程：
。由前三個方程可得到：； 從而有：。
故， 所求切點為， 對應的最小體積為。
8. （10分）設為平面上二元函式，在平面上任意一點處的梯度向量為。 給定， 試求的過點的等高線。
（注： 等高線即為取值為給定數值的點的軌跡。）
解：方法一： 由等高線的定義可知， 限制在等高線上的全微分為0。 故，的過的等高線滿足如下微分方程：
。它的通解為：，。 帶入點座標， 可知所求等高線為：。
方法二： 設所求等高線的方程為，則在等高線上任意一點處的切向量為。由於等高線上任意一點的切向量和梯度向量垂直，故可得到如下微分方程：
。從中易知所求等高線為：。
方法三: 由梯度定義可知:,。 從而。（嚴格推導應使用曲線積分）。於是， 過點的等高線為：， 即為橢圓。
9. （20分）設有彈簧振子如右圖。設彈簧的彈性係數為，為某正的
常數，振子為單位質量。將重物向下拉至距離平衡位置長度為處, 然後無初
速度地鬆開，假定整個運動過程中不考慮空氣等產生的阻力。建立以平衡位置
為原點，向下為正方向的座標軸， 並設初始時刻為， 初始時刻振子恰好
位於a處。試考察以下兩種情形下振子的運動情況。
（1） 寫出振子不受外力影響下做簡諧振動的運動方程， 並求解之。
（2） 假設振子受到的週期外力影響，寫出此時振子的
運動方程並求解之。
解： （1）設在時刻振子位於處， 此時振子受到的彈性恢復力為：
。 由newton第二定律可知此時振子滿足的運動方程為：
，而初始條件為：。
此二階常係數微分方程的通解為：。帶入初值， 可知振子的位移函式為：
。（2）在受週期外力影響下， 同樣利用newton第二定律可得到振子滿足的運動方程為：
。考慮對應的復化的方程。下分兩種情況考慮：
（a）. 令， 帶入復化方程可得：，從而。故原方程的乙個特解為：。從而原方程通解為：。帶入初值， 可知振子的位移函式為：。
（b）. 令，帶入復化方程可得：， 從而。故原方程的乙個特解為
從而原方程通解為：。帶入初值， 可知振子的位移函式為：。
附加題：
10. （10分）設二元函式在開區域內的偏導數和均有界， 試
證明在連續。
證明： 設在內恒有， 其中為某固定常數。取定內任意一點，取充分小，使得以為中心半徑為的小圓盤落在中。令，。使用lagrange中值定理則有：
，其中和分別為線段，上的點。 從上式顯然可知在連續。
大一上高等數學期末試卷
1 填空題 每題3分，共30分 1.已知，則 2.為上的連續函式，則 3.估計積分值的範圍 4.設則 5.若則 6.不定積分 7.則8.若的力能使彈簧伸長，現要使彈簧伸長,需要焦的功9.已知都為常數，設為的乙個特解。是的乙個特解，則用和表示的一特解為10.有鏈結，兩點的一條凸曲線，它位於弦的上方。為...
2019級高等數學一 上 試卷 重大大一期末複習
注 1.大標題用四號宋體 小標題及正文用小四號宋體 2.按a4紙縮小列印 一 每小題6分，共60分 1 求極限 2 設在處可導，求常數的取值範圍。3 設，求，4 證明當時，5 計算定積分 6 已知是函式的乙個原函式，求 7 求不定積分 8 設求 9 設，求 10 設是由方程所確定的隱函式，求.二 下...
2019學年度大一第一學期《高等數學》寒假作業一
2015 2016學年度大一第一學期 高等數學 寒假作業 1 年級班別姓名學號 一 選擇題 每小題4分，共24分 1.函式的定義域為 a.3,0 1b.1c.3,0d.3,0 0,1 2 求下列極限問題中，能使用洛必達法則的有 ab.cd.3 下列極限正確的是 ab cd 4.設,則a的值為 a.1...