2008數學一微積分試題解法歸納和分析
數學一今年共有試卷13000多份。人均220多份，三天閱完，時間很緊，大家難得有時間和心情交流。
由於擔任數學一閱卷組組長，對標準解答和學生實際解法收集得比較全，也和閱卷教師們作了一些分析，形成了一點觀點，給大家作參考。長期以來，我擔任的課程和參加的考研輔導都是微積分，因此只是對這部分作了分析，其他部分還請其他教師參加討論，貢獻意見。
今年的微積分的大題又恢復到前年的數目，共5道，共50分。下面分題介紹。
【15題】
〖目的〗考察函式極限計算，洛必達法則使用，等價無窮小替換，
〖難度〗低。常見題型。相當於平時的中等難度練習題。作為考研題，算是基本題。
〖綜合度〗低。標準的未定型，無須變化；未涉及變限積分求導和抽象函式的導數。
〖得分情況〗大多數人能夠動手，符號和計算有錯，扣得少，不嚴謹扣得多，6-9分較多。
〖解法〗依據使用的工具，共有三種型別。
解法一（洛必達法則+等價無窮小替換）訊號：未定型，導數易求。
參見標準解答。略。
解法二（taylor公式+等價無窮小替換）訊號：熟知函式，化多項式屬萬能代換。
因為，故
；解法三（lagrange中值公式+洛必達法則+等價無窮小替換）訊號：函式差！
因為，故
〖錯解〗一種是隨意使用等價替換，例如沒有指明理由，將方括號等價成，儘管結果對，還是扣分。還有一種是將和的極限隨意地寫成極限的和，然後分項計算。儘管有些人最後又合併，得出了正確結果，也會扣分。
〖啟示〗平時學會多種解法及其適應場景，考試時首先列出可能解法，然後用最好的方法作為切入點，本題首推taylor公式法。切忌想到乙個方法便開始寫。
【16題】
〖目的〗考察平面第二型線積分計算方法：化作定積分，弓形曲線，格林公式。涉及定積分的分部積分法，二重積分的直角座標法。
〖難度〗低。常見題型。未涉及路徑無關和抽象函式。
〖綜合度〗中等。涉及到定積分計算，二重積分計算，格林公式相關內容；
〖得分情況〗大多數人能夠動手，得6-9分較多。
〖解法〗依據使用的工具，共有三種型別，但是也有一些學生，捨近取遠，舍基本玩技巧，將區域性湊全微分方法用上，寫得比較麻煩。
解法一（化作定積分計算，引數方程：。參見國家標準。）
解法二（湊路徑：新增一段直線，使得路徑封閉，增減法。參見國家標準。）
解法三（湊函式：全微分的積分用原函式法，餘下部分用基本方法化作定積分）
，其中可以使用線積分勢函式法計算。毫無疑問，此法屬於技巧玩弄派，此題的計算量沒有變小。
解法四（積分分為兩項，然後逐項按照以上要點處理，略。）
〖錯解〗使用格林公式方向錯導致符號錯。定積分計算錯誤。
〖啟示〗在計算量不大的條件下，應當首選基本方法。
【17題】
〖目的〗考察條件極值計算法，涉及標準的lagrange乘數法。
〖難度〗中等。常見題型。計算量可能較大。
〖綜合度〗低。見過的標準題型。
〖得分情況〗使用標準方法計算量大，解方程易錯。滿分相對較多。
〖解法〗依據思考的角度不同，共有六種。
解法一（使用標準的lagrange乘數法。參見國家標準。）
解法二（消元法，變更條件為乙個柱面和題給曲面，然後用lagrange乘數法）
解法三（切向量法：曲線c在所求點的切向量必須水平。）
水平等價於，將其代入曲線方程，即可求得遠近點。
解法四（作圖法：畫出圓錐面，平面，由於的對稱性，可以知道，所求的點在平面上，於是聯立即可求解。）
解法五（隱函式求導法，視作，將方程組對求導數，然後令，也能得出重要關係：，完成任務。其思想等同於lagrange乘數法的原理。）
解法六（引數方程法：求出曲線的引數方程
然後，使用切向量法，或者一元函式法找必要條件。求解細節略。）
〖啟示〗解法四無須微積分，用的人較多，出題者絕對沒有想到。因題選法的最佳解法當屬解法三。但是解法一有普遍性。
【18題】
〖目的〗（1）考察教科書內容，導向改變標誌題。（2）定積分換元，變限積分求導。
〖難度〗中等。常見題型。
〖綜合度〗中等。涉及變限積分求導和抽象函式的週期性。
〖得分情況〗第一小題得滿分的很少，奇怪！第二小題滿分多。全題得7-8分較多。
〖解法〗（1）標準解法：寫出導數定義之後使用積分中值定理，見教科書。但是少數同學使用n-l公式也不違背題意。摘錄如下.設是的乙個原函式，則
（2）兩種解法同國家標準，其中證法2學生較多採用的形式為直接式：
〖錯解〗概念性錯誤扣分重，例如錯誤觀點：週期函式的原函式也是週期函式。
〖啟示〗教科書重要結果的證明細節沒有注意複習，技巧派再次受到打擊。
【19題】
〖目的〗考察標準的傅利葉級數。屬於導向改變標誌題。
〖難度〗低。常見題型。標準教科書例題。
〖綜合度〗中等。涉及到定積分分部積分法，數項級數求和。
〖得分情況〗空白的有不少。得分差別較大。
〖解法〗依據國家標準。沒有多種解法。
〖啟示〗全面複習，無死角複習。
【微積分內容的總體評價】
〖內容基本〗結合前面兩個大題中的微積分內容，包含有
變限積分，零點分析，梯度計算，線性微分方程解的結構，單調有界數列收斂，一階線性微分方程，隱函式切線，冪級數收斂域，第二型面積分，高斯公式。
〖沒有難題〗微分中值定理應用，數列極限或者數項級數斂散性分析，泰勞公式，函式不等式證明均未出現！
〖典型題缺失〗參變數函式的二階導數計算；冪級數求和，判定收斂域，解析幾何；
〖導向變化原因〗根據命題教師透露，今年風格變化，向低難度，低技巧，全面複習，教科書成品定理的調整，是由於上層的意見。相比去年的試卷，巧題偏題，變化題，應用題，今年幾乎一掃而光。
微積分 下 數學作業 一
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高等數學一微積分考試必過歸納總結要點重點
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