小學「統計與概率」教學的研究
一、「統計與概率」內容的教育價值
現在我們的生活已經使每乙個學生都感覺到，我們生活在乙個資料的世界裡，每一天從早晨到晚上所面對的大量的資訊，有很大一部分是用資料來表現的，我們希望孩子從小的時候，面對這樣乙個資料的世界，應該能理解資料中是有資訊的，資訊是可以加工和提取的，資訊是能夠為人服務的。資訊的加工的方法的好，或者是不好，可能會得出是有利或者是不利的資訊，當然這是根據人的統計方向來決定的。從小學設立這種課程最重要的不是學了更多資料統計的方法，也不是把那些概念做成像知識點那樣訓練，最重要的是通過給孩子定性的資料的分析的感覺，模擬這種過程，讓孩子體會到資料是有資訊的，資訊是可以通過我們加工提煉出來的、為我們的生活和學習服務的。
通過統計概率的學習，可以幫助學生來形成一種統計的觀念和隨機的思想。
二、統計與概率教學中的困惑
以下列舉教師在教學中的困惑：
1．從低年級開始，現在所有的實驗教材都已經加強了統計與概率的內容，老師在教學過程當中稍不留意就出現乙個問題就是越位的現象。本來二年級要達到的目標一年級就完成了。教師對統計與概率的教學要求到底到什麼程度上，還不是很清楚。??
統計與概率內容不同階段的要求。
2．一方面，統計與概率的最大特點是應用性非常廣泛，也有很多新穎的例子；另一方面，出現在教學過程當中的例子還是不夠實際，對孩子的吸引力不夠大。學生感興趣的統計與概率學習或應用的例子。
3．教師都認同應該讓學生經歷統計的過程,但感覺課堂上挺熱鬧,也不知道是否培養了學生的統計觀念???什麼是統計觀念？如何在統計過程中發展學生的統計觀念？教師如何指導統計過程。
4．在概率實驗時，有時會出現頻率與概率差別比較大的情況，學生糊塗了，老師也不知如何處理？??教師如何指導學生做概率實驗；是否要做概率實驗。
5．到底什麼是統計，什麼是概率？幹嗎把這兩個內容放在一起？??對統計、概率、統計與概率之間聯絡的理解。
6．不少老師不願意在統計過程上功夫，而是馬上進入到統計圖的製作和回答問題、平均數等的計算，因為前者在考試一般不好考，這怎麼辦？??考試評價問題。
雖然有很多困惑，就這些困惑跟新課程開始的時候困惑確實是不太一樣了，那時候可能老師們更多關注要不要花那麼長時間去經歷這個過程，現在老師們開始關注更深刻的問題了，怎麼讓學生願意經歷這個過程？學生在這個過程中有沒有收穫？包括我們怎麼去評價這個過程？
包括到底什麼是統計與概率，課程的整體設計等更深層次的問題。
二、統計
對於統計與概率，在小學階段無需質疑，「統計」的分量應該是大於概率。所以我們首先來看統計。
1．「平均數」教學的討論
吳正憲老師曾經對平均數一課的反思：平均數教學，我原來也教過而且教的非常好，怎麼教的呢？無非就是出示例題，然後分析一下條件和結論，引導學生開始列式計算，通過列式就總結出一些規律：
平均數等於總數除以總份數。數量關係來了以後，吳老師用了這麼乙個詞：就像一根救命稻草一樣，就可以反覆的練習了。
有一次她上完課以後，老師們握著她的手說：說吳老師說像您這樣上課，學生學的太紮實了，考試成績準保高。
但是，吳正憲老師不滿足於此，很善於反思。有一次她做了乙個測試，想看看我們學生成績那麼高，我們來看看孩子對平均數理解不理解：說某乙個公司招工，告訴月平均工資是800元，有一位員工，在開工資的時候只拿到600塊錢，這個員工就不服，不是說平均工資是800元嘛？
那麼請問學生，這個員工如果去狀告這個老闆的話，會不會贏？對於這個問題，全班的正確率只有28％，學生顯然沒有明白平均數是什麼？它的意義是什麼？
所以，吳老師說她經過了痛苦的反思，癥結是什麼？癥結不在於孩子癥結在於教師。她用這段話描述她的心情：
我們天真的以為孩子只要掌握了這個數量關係就能夠解決平均數的所有的問題，或者平均數的實際問題了。所以她提出乙個問題：我們的樁，到底該打在哪？
是打在對數量關係的反覆的演練上，還是對平均數的價值、平均數的意義的理解上？正是這個思考，吳老師就進行了鑽研，形成了一節我們認為還是很具有借鑑意義的一節平均數的課（見拓展資源）。
進一步，我們還想對平均數教學提出一些思考，看下面的乙個案例：
[案例]：在教學平均數時，課前教師以組為單位統計了這個班同學一分鐘踢毽子的情況，並從中引用了以下兩組資料在課上討論：
第三小組：25、23、34、30、47、25、26
第五小組：25、31、40、33、29、31
然後提出問題：請你來評判一下，哪個小組踢的好？
我們以為學生肯定會想到用第三小組平均數和第五小組的平均數來比較，然而學生卻出現了很多想法，下面列舉出來：
（1）我可以比較兩個隊中踢的最高的，也就是拿第三小組最多的那個和第五小組踢最多的去比，所以第三個小組踢得好。
（2）比較總數，這個觀點很容易就被其他同學反對，覺得不公平。
（3）我可以乙個乙個的比，把最高的比完了，比第二高的。就是第三小組的第一名和第五小組的第一名倆倆比，然後第二名兩兩比，就是乙個乙個的對應的去比。
（4）既然人數不一樣，就把第五小組再增加乙個或者是把第三小組去掉乙個。
（5）跟前面那個乙個乙個比差不多，比完了以後發現第三小組只有前兩名比第五小組的好，其他的都不如第五小組的好。
（6）當然其中也有一部分孩子提到要用總數除以每個組的人數，也就是用平均數來比
孩子們的想法還是挺多的，而且似乎都挺有道理的，但是在平均數這節課上到底該怎麼辦？所以，提出以下三個問題作為老師們的思考：
問題1：學生這麼多方法都有道理嗎？
問題2：有老師說這節課的目標還是要講平均數，而且平均數確實在統計中是非常重要的乙個統計量，孩子也不存在困難，那麼我們是不是有必要來花那麼長時間，反而會沖淡了對平均數的理解，也就是你對這節課的教學目標的乙個理解？換句話說就是這節課的教學目標的定位到底是什麼？
問題3：假設你的學生確實有這些想法，我們怎麼辦？怎麼讓他心悅誠服的進入到對平均數的學習？
說到平均數，我就特別想提到乙個案例：平均數、中位數、眾數的學習。這節課出現了乙個有趣的現象：
我們總覺得平均數簡單，但是學生是不是真的理解了平均數？所以我還是想把這個案例說一說。
[案例]五年級一節中位數和眾數的案例，老師同樣是呈現了乙個情境，有一些很極端的資料：
某公司工作人員月工資表
顯然經理和副經理的錢比較多，剩下的人都在一千塊錢以下。如果你去貼乙個招聘廣告來說一下你們這個公司的工資的平均水平，你準備怎麼說？
孩子很自然用平均數，算出來是1000。有的學生一看覺得不行，說只有經理和副經理比一千塊錢多，其餘所有的人都比一千塊錢少，不能夠真實的反映這個公司的工資水平。老師就提出乙個問題：
你們覺得平均數不行，你能不能換乙個數來反映工資的平均水平？前幾個孩子的想法都是一樣的，他們很自然的就把經理、副經理那個極端值去掉，剩下的人求平均數，好像是666.66，約等於667這個結果。
老師提出那我們用這個數來代表它的平均水平行不行？這時候很多孩子就提到這麼乙個問題，為什麼不能用667？學生說，你想誰發工資發667塊錢，發667塊錢太不符合實際，從實際這個角度我不會取這個數的，老師也覺得挺有道理。
當時我覺得孩子的想法好像有道理，但是也覺得有點彆扭，現在不知道你們發現沒有，平均數不見得非要發這個錢，只要反映平均水平就可以了。平均數是667 ， 不是所有人都要拿667，所以它不是真實要發的那個數。因此，我就在思考，為什麼在三年級反覆強調的孩子似乎都已經明白的問題（平均數不一定是實際發生的資料），反而到五年級處理乙個實際問題的時候它暴露出來。
這就說明人的認識的階段性或者複雜性，不是說什麼東西學會了它就一定是會了，它有乙個不穩定性，所以說統計它看起來簡單，實際難就難在面對乙個真實的問題的時候，你怎麼來解決問題。
進一步，案例中的教學內容是中位數，那麼什麼是中位數？什麼是眾數？為什麼我們有了平均數以後還要再引進另外兩個來刻劃平均水平？
它們之間有沒有聯絡？舉乙個最簡單的例子，去掉極端值的想法，一堆資料最高值最低值去掉，又剩一堆資料再把最高值最低值去掉，不斷的去掉，剩下的不就是中位數嗎，所以所有的孩子的想法，其實跟中位數還是有聯絡的，學生有一種對極端值的敏感，關鍵老師怎麼去引導。因此，提出下面兩個問題：
問題1：作為老師，對於這個問題您打算怎麼引導學生？
問題2：中位數、眾數、平均數它們各自的意義以及的聯絡是什麼？
2．「統計圖」教學的研討
（1）如何讀圖的討論
小學階段還有乙個非常重要的內容，就是統計圖。現在實驗教材，基本上從一年級就有統計圖，到六年級還有統計圖。於是老師們就有了疑問，從一年級咱們就讀圖，到六年級還讀圖，說來說去似乎都是「從圖中你發現了什麼資訊」，到底我們應該從哪些角度來分析統計圖呢？
就這個問題，我們採訪了一些數學的專業工作者和中學老師和小學老師，給了如下的乙個統計圖：
一年級、五年級學生睡眠情況統計圖
面對上面的統計圖，看看他們都關注什麼？
看了他們的回答，對我們還是非常有啟發的。比如張思明老師，他是這麼讀圖的：首先，是關注圖中最大的差別，這個圖中最大的差別就是中眠和深眠，尤其深眠差別是最大的，很讓人關注。
然後，他就想這個差別是不是反映了真實情況，為什麼會有這樣的差別，合理不合理。一想到這個合理不合理，就要看一看剛才那個圖中定義的深眠、中眠指的是什麼。他發現深眠是從來不醒，中眠呢是有很大的聲音才醒，就提出個疑問，這個統計圖的目的是什麼？
目的好像是調查學生的睡眠質量，如果只有非常大的聲音才醒，他認為也是睡眠質量比較高的表現，所以兩項應該合併。但是合併以後發現五年級反倒比一年級要多了，睡眠質量更高了，但咱們總覺得孩子小的時候睡眠質量高一些。這時候，無非有兩種情況，一是我們原來的生活經驗有誤，還有一種就是他提到是不是這個統計的資料本身有點問題，能不能進一步收集一下人均的睡眠時間去衡量睡眠質量。
第二個採訪的老師呢是東北師範大學的史寧中校長，他是我們國家一位非常有名的統計學家。他在觀察這個圖的時候，很有意思，他首先就問到了你的目標是什麼？所以他簡單的論述一下，如果是來刻劃數量之間比較的話，我們用條形統計圖；如果是刻劃一種變化的話用折線；如果是刻劃部分與整體的關係的時候，用扇形統計圖。
實際上這就是我們小學說的三種統計圖的特點，當然他不是說有了統計圖之後講這個特點，而是首先就是詢問統計的目的，就是你刻劃的角度是什麼，再思考到底用什麼圖。給出了統計圖，他比較關心的是乙個變化情況。還有乙個特別有意思的現象，就是史校長拿到這個圖很快就發現了一年級是19人，五年級是20個人，人數並不相等。
我覺得挺奇怪，就問他怎麼這麼快就關注到了人數的不同。他說，這個條形統計圖的縱座標是絕對數量，那麼絕對數量進行比較的時候，我自然就要思考總的人數，而如果你刻劃的是相對數量，就是百分比的話呢，我就不用思考這方面的問題了。史校長的話讓我思考教學中的乙個很有意思的事情，就是我們在講統計圖的時候老師會幫助學生去分析，（這一條多少？
那一條多少？一共有多少？）似乎合計有多少是一種程式化的讓學生去算算，很少從這個角度來思考，就是我們需要考慮總人數。
所以學生能很快的說出總數，但是他不能夠在實際問題中想到需要去計算總數，尤其不會像史校長那麼敏感，所以我想史校長對我們兩個方面的啟發：（1）要解決的問題是什麼，你統計的目標是什麼？（2）對統計圖的乙個敏感。
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