例說用判別式解其它問題
我們知道，一元二次方程的判別式是一元二次方程根的「檢測器」，即可判定一元二次方程實根的各種情形，除此之外，它在其它許多方面有著廣泛的應用：如建立等式、不等式，求方程中引數值或取值範圍，證明與方程相關的代數問題，構造一元二次方程必定有解的代數模型，**幾何存在性問題等等，一些看起來與一元二次方程無關的問題，有時也能用一元二次方程的判別式來解決．
一、判定兩圖象交點的個數
例1 已知函式y＝和y＝kx＋1(k≠0)，當k取何值時，這兩個函式圖象總有：
(1)兩個公共點？
(2)乙個公共點？
(3)沒有公共點？
解聯立消去y，整理得kx2＋x－2＝0，
考慮△＝1＋8k.
(1)當k>－且k≠0時，兩函式圖象有兩個公共點；
(2)當k＝－時，兩函式圖象有乙個公共點；
(3)當k<－時，兩函式圖象沒有公共點．
二、求方程中的引數值
例2 設方程＝4只有3個不相等的實數根，求a的值．
解方程等價於兩個方程：
x2＋ax－4＝0， ①
x2＋ax＋4＝0． ②
因為兩方程無相同的根，但原方程只有3個不相等的實數根，故必有且只有方程①或②有重根．
∵△1＝a2＋16≥0，
△2＝a2－16≥0．
由於△1>△2，故只可能是△2＝0，
即a＝±4．
三、求完全平方數
例3 求自然數n，使4n2＋5n為完全平方數
解設4n2＋5n＝k2（k≥0且為正整數）．
∵方程的解為正整數，
∴方程4n2＋5n－k2＝0的判別式△＝25＋16k2應為完全平方數．
又設25 ＋16k2＝m2（m為非負整數），
∴（m＋4k）（m－4k)＝25.
∴解得k＝3，從而n＝1．
四、求方程的整數根
例4 設m為整數，且關於x的方程mx2＋2（m－5）x＋m－4＝0有整數根，求m的值．
解顯然m≠0，原方程是關於x的一元二次方程，且
△＝[2(m－5)]2－4m（m－4)
＝4(25－6m)．
設25－6m＝k2（k為自然數），
∴k可能的取值有1，2，3，4，6，7，8，11．
分別代入m＝知，只有當k的值為1，7，11時，m為整數，此時m的值為4，－4，－16．
五、證明代數不等式
例5 已知a、b、c、x、y、z均為非零實數，且滿足條件a＋x＝b＋y＝c＋z＝k．
求證：ax＋by＋cx 證明由a＋x＝k，得a－k＋x＝0．
顯然a·12－k．1＋x＝0，則1是關於t的一元二次方程at2－kt＋x ＝0的乙個根，
∴△＝(－k)2－4ax≥0，
即ax≤．
同理by≤，cz≤．
∴ax＋by＋cz≤
六、證明幾何不等式
例6 如圖1，過正方形abcd的頂點c任作一條直線，與ab、ad的延長線分別交於e、f．求證：ae＋af≥4ab.
證明設ab＝a，ae＝x，af＝y．
七、求代數式的最值
例7 若abc＝2，a＋b＋c ＝0，試求的最小值．
解易知a、b、c中必有兩個負數，不妨設b為正數，
∵a＋b＋c＝0．
∴a·12＋b·1＋c＝0．
即1是關於x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的乙個根，
∴b2－4ac≥0．
即b2≥4ac，b3≥4abc.
又∵abc＝2，b3≥8，
∴b≥2，bmin＝2．
當b＝2時，ac＝1，a＋c＝－2，
此時a＝－1，c＝－1．
∴的最小值為4．
八、求幾何最值
例8 如圖2，平行四邊形pqrs的一邊sr在△abc的邊bc上，另兩個頂點p、q分別在ab、ac上．**平行四邊形pqrs面積的最大值．
解如圖2，過點4作ad⊥bc，垂足為d，交pq於點e．
根據根與係數的關係，可把、看成關於x的一元二次方程x2－x＋＝0的兩個根，則有判別式△≥0，得s2≤，即平行四邊形的面積不大於原三角形面積的一半，也就是內接平行四邊形的最大面積等於原三角形面積的一半．
九、**幾何存在性問題
例9 如圖3，在正方形abcd中，∠fae＝45°，兩邊與bc、cd分別交於點e、f，連線ef.
設ef＝b，ab＝a，**rt△ecf存在的條件．
解如圖3，設be＝x，由旋轉構造全等三角形可知：
df＝b－x．
於是cf＝a－b＋x，ce＝a－x，
在rt△ecf中，由勾股定理可得b2＝(a－x)2＋（a－b＋x）2．
整理得到關於x的一元二次方程x2－bx＋a2－ab＝0．
若be存在，則該方程必有實數解，於是△≥0，解得≥2－2；
同時，該方程的兩個根滿足x1＋x2＝b>0，
且x1、x2＝a2－ab>0，
於是<1．
綜上所述，rt△ecf存在的條件是：2－2≤<1．
特別地，當＝2－2時，rt△ecf是等腰三角形．
十、求分式有理函式值的範圍
例10 求函式y＝的值的範圍．
解原函式式變為(y－2)x2－(y－2)x＋y－3＝0.
(1)當y＝2時，則0·x2＋0·x＋2－3＝0，矛盾，不成立；
(2)當y≠2時，因為x為實數，
∴△＝(y－2)2－4(y－2)(y－3)≥0，
即－（3y－10）（y－2）≥0，
解得2≤y≤．
綜合(1)(2)，所求函式的值的範圍是：2 1 某商亭十月份營業額為5000元，十二月份上公升到7200元，平均每月增長的百分率是 2 某商品連續兩次降價10 後的 為a元，該商品的原價應為 3 某工廠第一季度生產機器a臺，第二季度生產機器b臺，第二季度比第一季度增長的百分率是 4 某工廠今年利潤為a萬元，比去年增長10 去年的利潤為萬元。5... 分式方程應用 1 若關於x的方程 0有增根，則m的值是 a 3 b 2 c 1 d 1 2 有兩塊面積相同的小麥試驗田，分別收穫小麥9000kg 和15000kg 已知第一塊試驗田每公頃的產量比第二塊少3000kg，若設第一塊試驗田每公頃的產量為xkg，根據題意，可得方程 3 已知方程有增根，則這個... 一元二次方程及相關的概念 一元二次方程定義中的三個條件 是整式方程 含有乙個未知數 未知數的最高次數是 三個條件缺一不可。2 一般地，任何乙個關於x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式這種形式叫做一元二次方程的一般形式 其中ax2是是二次項係數 bx是是一次項係數 是常數項。注意 二次項 係數...一元二次方程的應用
一元二次方程的應用
一元二次方程