第一講數學模型和數學建模
一、 數學模型
數學模型就是使用數字、字母以及其它符號來體現和描述現實原型的各種因素形式以及數量關係的一種數學結構。它通常表現為定律、定理、公式、演算法、以及圖表等。
馬克思曾說過：「一門科學只有成功地運用數學時，才算達到了完善的地步」。可以認為，數學在各門科學中被應用的水平標誌著這門科學發展的水平。
隨著科學技術的進步，特別是電子計算機技術的迅速發展，數學已經滲透到從自然科學、技術到工農業生產建設，從經濟到社會的各個領域。一般的說，當實際問題需要我們對所研究的現實物件提供分析、預報、決策、控制等方面的定量結果時，往往都離不開數學的應用，而如何將已有的數學成果應用於實際問題，就需要建立數學模型來解決。
二、數學建模
簡單來說，就是用數學的語言和方法通過抽象、簡化去近似地刻劃實際問題，進而通過計算機分析得出結果，再回到實際中接受檢驗，逐步完善，最終解決實際問題，以求得更高的經濟、社會效益。
三、建立數學模型的一般步驟和原則
建立數學模型是一種十分複雜的創造性勞動，因此不可能用一些條條框框規定出每種模型如何建立，這裡所說的步驟只是一種大體上的規劃，具體問題具體分析，靈活應用，邊乾邊創造。
1、模型準備
當我們得到或接受乙個現實原型，或者說乙個實際問題要建立數學模型時，首先要對原型進行仔細的分析，明確建模的目的，特別是對生產實際問題，要到原型所處的環境中進行深入的調查研究，了解使用者對問題的各種要求，蒐集已有的各種資料和資料，為建立數學模型提供可靠的依據。
2、模型假設
根據原型的特徵和建模的目的，對問題進行必要的、合理的簡化、並用精確的語言做出假設。一般的說，乙個實際問題不經過簡化假設就很難翻譯成數學問題，即使可能，也難求解。不同的簡化假設會得到不同的數學模型。
假設做得太少，試圖把複雜的原型的各方面因素都考慮得很周全，則或者模型無法建立，或者建立的模型在數學上取法求解；假設做得太多，把本應當考慮的因素都忽略掉，模型固然好建立並容易求解，但這時模型可能反映不了原型，也是失敗。總之，模型假設要根據問題的要求，本著抓主要矛盾的方針合理的做出。
3、模型構成
根據所作的假設分析原型各環節之間的因果關係，利用其內在規律和適當的數學工具，建立各個量（常量與變數）之間的等式（或不等式）關係或其他數學結構。這裡除需要一些相關學科的專門知識外，數學方面必要的知識是必需的。如果遇到所用工具不夠，就要進行大膽的創造，這是建立數學模型最重要的一步。
4、模型求解
採用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值計算等各種傳統的和近代的數學方法得到模型的結果，就是模型求解。這裡需要特別提出的是，隨著數學模型這門學科的不斷發展，計算機技術成為了重要的甚至是必不可少的工具。
5、模型分析
對模型的結果進行數學上的分析，有時要根據問題的性質分析變數間的依賴關係或穩定狀況，有事實根據所得結果給出數學上的預報，有時則可能要給出數學上的最優決策或控制。不論哪種情況還常常需要進行誤差分析，模型對資料的穩定性或靈敏性分析等。
6、模型檢驗
把數學上分析的結果翻譯回到實際問題中去，並和實際的現象、資料進行比較，以檢驗模型的合理性和實用性，模型檢驗的結果如果不符合或部分不符合實際，問題通常處在模型假設上，應該修改、補充假設、重新建模。有時模型要經過幾次反覆，不斷完善，直到檢驗結果獲得某種程度上的滿意。
四、建立數學模型的邏輯思維方法
建立數學模型是一種創造性的思維活動,沒有統一模式和固定的方法.建立數學模型需要較強的抽象概括能力,數學語言的翻譯能力,善於抓住本質的洞察能力，聯想及綜合分析能力，掌握和使用當代科技成果的能力等。從邏輯思維的角度看，抽象、歸納、演繹、模擬、模擬等方法被大量的採用，這些方法在數學建模的過程中起到重要的作用。
抽象就是忽略每個具體事物的特殊性，尋找事物發展變化的共性和一般規律。
歸納就是在觀察、經驗或實驗的基礎上，依據若干已知的不完全的現象推斷尚屬未知的現象，即從特殊的、具體的認識推進到一般認識的一種思維方式。
演繹是由一般性的命題推出具體命題的推理方法，演繹法可以把特殊情況明晰化，把蘊涵的性質揭示出來，有助於科學的理論化和體系化。
模擬是在兩類不同的事物間進行對比，找出若干相同或相似點之後，推測在其他方面也可能存在相同或相似處的一種思維方式，。模擬是從人們已經掌握了的事物的屬性推測被正在研究中的其他事物的屬性，模擬的結果只是猜測性的，不一定可靠，但它有發現的功能，是創造性思維的重要方法。
模擬是人們仿照事物發展變化的機理和過程去描述和研究其變化情況的一種方法，一般是用乙個簡化、迅速、經濟、安全的系統對原系統的結構和行為進行動態演示，以評價或**乙個系統的行為效果，這是解決複雜實際問題的一條有效途徑。
值得指出的是，數學建模是一種創造性的勞動，除了以上提出的各方面的能力之外，直覺和靈感有時在建模過程中會產生意想不到的效果。歷史上不乏在科學家的直覺和靈感的火花中誕生的假說、論證和定律。所以在建模過程中，相互討論和思想交鋒，特別是不同專業的成員之間的**，藉以激發直覺和靈感是非常必要的，有時起著決定性的作用。
第二講初等模型建模的一些例子
例1四個工廠a、b、c、d，且ab=a（公里）、bc= (公里)、cd= (公里)、、，現在要找乙個**站h的位置，使它到四個工廠距離和ha+hb+hc+hd為最小，說明理由，並求出最小值。
解、根據題意，作圖有兩種情況：
（1） 凸多邊形2）凹多邊形
練習題1
有一截面為直角梯形的稜柱形液體容器，其尺寸如下圖所示，內有體積為的液體，現為減少液體蒸發，需將底面繞柱體的一條稜旋轉乙個角度使液面面積最小，試求出θ（要求寫出解題過程）
例2擲骰子遊戲
你必須為學校的遊園會組織乙個碰運氣的遊戲，參賽者付10便士參加費，可搖動3個骰子。記錄下點數，對高點數有現金獎賞。問題是要決定這些獎金是否足以刺激人們參與此遊戲，而對學校來說，遊戲收入起碼要與付出的獎金相抵，學校不要賺很多錢。
遊戲設計：只付10便士便可擲3次骰子！
總點數18 贏1磅
總點數16，17 贏50便士
總點數13，14，15 贏20便士
這裡用的模型是直截了當的，你可以聯想到每搖動一下骰子得到任一點數為1，2，3，……，6的概率都是1/6，
對乙個參賽者來說，數學問題是確定預期贏或輸。為找到預期的贏，你必須首先求出得到總點數18，17，……，13的概率，因為只有這些點數才能贏的獎賞。
得到各點數的概率
用這些概率，現在能確定對乙個參賽者能期望的贏或輸了。
贏一鎊的概率為1/216
贏50便士的概率為9/216
贏20便士的概率為46/216
這樣參賽者有乙個期望的獎賞（按便士記）為
便士因為平均而言每個參賽者將輸3便士，如果遊園會上有100個人參加了這種遊戲，學校期望得到收益大約是：
100×3便士=3鎊
沒有多少盈利!
練習題2
輪盤賭 輪盤邊緣分成57等份，分別標上1，2，5，10，20，j，k七種數字或字母，輪盤轉動後，慢慢停下，最後被擋釘卡住的一格就是結果。盤面上數字或字母個數如下：（在盤面無規則分布）
遊戲規則：押在1上的賭客，如果結果為1，那麼他1：1獲賠，如果結果不是1，他就輸了賭資。
押在2上的賭客，如果結果是2，那麼他2：1獲賠，如果結果不是2，他就輸了賭資，……，以此類推。j，k分別作45處理。
請問：1． 押2好呢還是押1好呢？
2． 同時押1個1，1個2，比押2好嗎？
3． 是否存在一種組合，使你在期望的意義下獲利？
討論：澳大利亞墨爾本賭場的輪盤賭的數字（字母）有些不同，個數如下：
試回答上面的問題1~3的類似問題，你覺得現在這個方案有什麼特點？
練習題3
長方體形狀物品的包裝問題
市場上一包火柴內裝10盒火柴，一條香菸內裝10包香菸……，它們打包作外包裝的形式一樣嗎？那一種包裝形式更能節省外包裝材料呢？為了討論方便，我們先來定義一種「規則打包法」，這就是指打包時要求包內相鄰兩物必須以全等的兩個側面來對接，打包後的結果仍是乙個長方體。
我們可以更數學化的提問：火柴、香菸或其他長方體的物體，按「規則打包」的形式將10包打成乙個打包，怎樣打包可使表面積最小？
可以用香菸盒的外形尺寸a=88mm，b=58mm，c=22mm來驗證你的結論，但需得到一般的結論，另外也可以考慮將6包或8包打包成乙個大包的情況。
例4雨中行走問題
人在雨中沿直線從一處向另一處行進。當雨的速度已知時，問人行走的速度多大才能使淋雨量最少？
假設將人視為長方柱體，其前、側、頂的面積之比為1：b：c，進去如下的直角座標系，是人的速度為（u,0,0）,又設雨的速度為（vx,vy,vz）。
再記行走距離為，則行走的時間為 。
在上述假定下，由高等數學曲面積分中的通量概念，顯然單位時間內的淋雨量正比於
從而總淋雨量正比於
由於這個模型的特殊性，容易用**法求解。
（1）當vx>a時，易知r(u)的圖形如圖所示
由圖可知，u=vx時r（u）取最小值為
當vx由圖可知，當u盡可能大時，r（u）才盡可能小（接近於l）。
（2）當vx<0時
不論vx為何值，r（u）都無最小值。或者說，只有當u盡可能大時，r（u）才盡可能小，如圖所示。
（3）vx=a及vx=0的情況，分別是（1）和（2）的特款。
綜上所述，當vx>a>0時，只要u=vx，就可是前後不淋雨，從而總淋雨量最少；其他情況，都應使u盡可能大，才能使淋浴量盡可能小。這是符合生活常識的。
例5公平的席位分配
某學校有3個系共200名學生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名，若學生代表會議設20個席位，公平而又簡單的席位分配辦法是按學生人數的比例分配，顯然甲乙丙三系分別應占有10、6、、4個席位。
現在丙系有6名學生轉入甲乙兩系個系人數，各系人數如表2—2的2列所示。仍按比例（表中第3列）分配席位時出現了小數（表中第四列），在將取得整數的19席分配完畢後，三系同意剩下乙系參照所謂慣例分配給比例中小數最大的丙系，於是三系仍分別占有10、6、4席（表中的五列）。
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