2023年考研數學（三）真題
一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題後的括號內.
（1）設函式在區間上連續，則是函式的（ ）
跳躍間斷點可去間斷點.
無窮間斷點振盪間斷點.
（2）曲線段方程為，函式在區間上有連續的導數，則定積分等於（ ）
曲邊梯形面積梯形面積.
曲邊三角形面積三角形面積.
（3）已知，則
（a），都存在 （b）不存在，存在
（c）不存在，不存在 （d），都不存在
（4）設函式連續，若，其中為圖中陰影部分，則（ ）
（a） （b） （c） （d）
（5）設為階非0矩陣為階單位矩陣若，則（ ）
不可逆，不可逆不可逆，可逆.
可逆，可逆可逆，不可逆.
（6）設則在實數域上域與合同矩陣為（ ）
（7）隨機變數獨立同分布且分布函式為，則分布函式為（ ）
（8）隨機變數，且相關係數，則（ ）
二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.
（9）設函式在內連續，則 .
（10）設，則.
（11）設，則.
（12）微分方程滿足條件的解.
（13）設3階矩陣的特徵值為1，2，2，e為3階單位矩陣，則.
（14）設隨機變數服從引數為1的泊松分布，則.
三、解答題：15－23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
(15) （本題滿分10分）
求極限.
(16) （本題滿分10分）
設是由方程所確定的函式，其中具有2階導數且時.
（1）求
（2）記，求.
(17) （本題滿分11分）
計算其中.
(18) （本題滿分10分）
設是週期為2的連續函式，
（1）證明對任意實數，有；
（2）證明是週期為2的週期函式．
(19) （本題滿分10分）
設銀行存款的年利率為，並依年複利計算，某**會希望通過存款a萬元，實現第一年提取19萬元，第二年提取28萬元，…，第n年提取（10+9n）萬元，並能按此規律一直提取下去，問a至少應為多少萬元？
(20) （本題滿分12分）
設矩陣，現矩陣滿足方程，其中，，
（1）求證;
（2）為何值，方程組有唯一解;
（3）為何值，方程組有無窮多解.
（21）（本題滿分10分）
設為3階矩陣，為的分別屬於特徵值特徵向量，向量滿足，
證明（1）線性無關；
（2）令，求.
（22）（本題滿分11分）
設隨機變數與相互獨立，的概率分布為，的概率密度為，記
（1）求；
（2）求的概率密度．
（23） （本題滿分11分）
是總體為的簡單隨機樣本.記，，.
（1）證是的無偏估計量.
（2）當時 ，求.
2023年考研數學（三）真題解析
一、選擇題
(1)【答案】
【詳解】 ，
所以是函式的可去間斷點．
(2)【答案】
【詳解】
其中是矩形aboc面積，為曲邊梯形abod的面積，所以為曲邊三角形的面積．
(3)【答案】
【詳解】
， 故不存在．
所以存在．故選.
(4)【答案】
【詳解】用極座標得
所以 .
(5)【答案】
【詳解】，.
故均可逆．
(6)【答案】
【詳解】記，則，
又，所以和有相同的特徵多項式，所以和有相同的特徵值.
又和為同階實對稱矩陣，所以和相似．由於實對稱矩陣相似必合同，故正確.
(7)【答案】
【詳解】.
(8)【答案】
【詳解】 用排除法. 設，由，知道正相關，得，排除、
由，得所以所以. 排除. 故選擇.
二、填空題
(9)【答案】1
【詳解】由題設知，所以
因為 ，
又因為在內連續，必在處連續
所以 ，即.
(10)【答案】
【詳解】，令，得
所以 .
(11)【答案】
【詳解】
.(12)【答案】
【詳解】由，兩端積分得，所以，又，所以.
(13)【答案】3
【詳解】的特徵值為，所以的特徵值為，
所以的特徵值為，，
所以.(14)【答案】
【詳解】由，得，又因為服從引數為1的泊松分布，所以，所以，所以.
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