略解：∵,故選b.
例5在數列中，，，,其中為常數，則安徽卷第15題）
答案：－1．
例6 在數列中，，，則（ ）
a． b．
c． d．（江西卷第5題）
答案：a．
例7 設數列中，，則通項四川卷第16題）
此題重點考查由數列的遞推公式求數列的通項公式，抓住中係數相同是找到方法的突破口．
略解將以上各式相加，得，故應填+1．
例8 若(x+)n的展開式中前三項的係數成等差數列，則展開式中x4項的係數為( )
a．6 b．7 c．8 d．9 (重慶卷第10題)
答案：b．
使用選擇題、填空題形式考查的文科數列試題，充分考慮到文、理科考生在能力上的差異，側重於基礎知識和基本方法的考查，命題設計時以教材中學習的等差數列、等比數列的公式應用為主，如，例4以前的例題．例5考查考生對於等差數列作為自變數離散變化的一種特殊函式的理解；例6、例7考查由給出的一般數列的遞推公式求出數列的通項公式的能力；例8則考查二項展開式係數、等差數列等概念的綜合運用．重慶卷第1題，浙江卷第4題，陝西卷第4題，天津卷第4題，上海卷第14題，全國ⅱ卷第19題等，都是關於數列的客觀題，可供大家作為練習．
例9 已知｛an｝是正數組成的數列，a1=1，且點（）（nn*）在函式y=x2+1的圖象上. (ⅰ)求數列｛an｝的通項公式； (ⅱ)若數列｛bn｝滿足b1=1，bn+1=bn+，求證：bn·bn+2＜b2n+1.
（福建卷第20題）
略解：（ⅰ）由已知，得an+1-an=1，又a1=1,所以數列｛an｝是以1為首項，公差為1的等差數列．故an=1+(n-1)×1=n.
(ⅱ)由（ⅰ）知，an=n，從而bn+1-bn=2n，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1．∵. bnbn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2= -2n＜0, ∴ bn·bn+2＜b．
對於第（ⅱ）小題，我們也可以作如下的證明：
∵ b2=1,bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b=2n+1·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n -2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n<0，∴ bn-bn+2例10 在數列中，，．（ⅰ）設．證明：數列是等差數列；（ⅱ）求數列的前項和．（全國ⅰ卷第19題）
略解：（ⅰ）====1，則為等差數列，，，．
（ⅱ），．兩式相減，得=．
對於例10第（ⅰ）小題，基本的思路不外乎推出後項減前項差相等，即差是乙個常數．可以用迭代法，但不可由b2-b1=1，b-b=1等有限個的驗證歸納得到為等差數列的結論，犯「以偏蓋全」的錯誤．第（ⅱ）小題的「等比差數列」，在高考數列考題中出現的頻率很高，求和中運用的「錯項相減」的方法，在教材中求等比數列前n項和時給出，是「等比差數列」求和時最重要的方法．一般地，數學學習中最為重要的內容常常並不在結論本身，而在於獲得這一結論的路徑給予人們的有益啟示．
例9、例10是高考數學試卷中數列試題的一種常見的重要題型，類似的題目還有浙江卷第18題，江蘇卷第19題，遼寧卷第20題等，其共同特徵就是以等差數列或等比數列為依託構造新的數列．主要考查等差數列、等比數列等基本知識，考查轉化與化歸思想，考查推理與運算能力．考慮到文、理科考生在能力上的差異，與理科試卷側重於理性思維，命題設計時以一般數列為主，以抽象思維和邏輯思維為主的特點不同；文科試卷則側重於基礎知識和基本方法的考查，以考查具體思維、演繹思維為主．
例11 等差數列的各項均為正數，，前項和為，為等比數列,，且．(ⅰ)求與； (ⅱ)求和：．（江西卷第19題）
略解：(ⅰ)設的公差為，的公比為，依題意有解之，得或(捨去，為什麼？)故．
（ⅱ），∴ ．
「裂項相消」是一些特殊數列求和時常用的方法．
使用解答題形式考查數列的試題，其內容還往往是一般數列的內容，其方法是研究數列通項及前n項和的一般方法，並且往往不單一考查數列，而是與其他內容相綜合，以體現出對解決綜合問題的考查力度．數列綜合題對能力有較高的要求，有一定的難度，對合理區分較高能力的考生起到重要的作用．
例12 設數列的前項和為，（ⅰ）求；（ⅱ）證明：是等比數列；（ⅲ）求的通項公式．（四川卷第21題）
略解：（ⅰ）∵，所以．由知， 得， ①，，．
（ⅱ）由題設和①式知， ， 是首項為2，公比為2的等比數列．
（ⅲ）此題重點考查數列的遞推公式，利用遞推公式求數列的特定項，通項公式等．推移腳標，兩式相減是解決含有的遞推公式的重要手段，使其轉化為不含的遞推公式，從而有針對性地解決問題．在由遞推公式求通項公式時，首項是否可以被吸收是易錯點．同時，還應注意到題目設問的層層深入，前一問常為解決後一問的關鍵環節，為求解下一問指明方向．
例13 數列滿足（i）求，並求數列的通項公式；（ii）設，， ，求使的所有k的值，並說明理由．（湖南卷第20題）
略解：（i）
一般地, 當時，
即所以數列是首項為0、公差為4的等差數列，因此當時，所以數列是首項為2、公比為2的等比數列，因此故數列的通項公式為
（ii）由（i）知，
=於是， .
下面證明: 當時，事實上, 當時，即又所以當時，故滿足的所有k的值為3,4,5.
例12、例13代表了另一種重要的題型，從比較抽象的數列入手，給定數列的一些性質，要求考生進行嚴格的邏輯推證，找到數列的通項公式，或證明數列的其他一些性質．這些試題對恒等證明能力提出了很高的要求，要求考生首先明確變形目標，然後根據變形目標進行恒等變形．在變形過程中，不同的變形方法也可能簡化原來的式子，也可能使其更加複雜，所以還存在變形路徑的選擇問題．
從以上例子不難看出，在考查相關知識內容的基礎上，高考對數列的考查把重點放在對數學思想和方法的考查，放在對思維能力以及創新意識和實踐能力的考查上．往往突出考查函式與方程的思想、數形結合的思想、特殊與一般的思想、有限與無限的思想等數學思想和方法，除了考查教材中學習的等差數列與等比數列外，也考查一般數列，考查由一般數列入手，構造等差數列與等比數列的推理和論證方法．
數列高考真題經典題例 文科
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