數學研究結題報告：數列在分期付款中的應用.txt16生活，就是面對現實微笑，就是越過障礙注視未來；生活，就是用心靈之剪，在人生之路上裁出葉綠的枝頭；生活，就是面對困惑或黑暗時，靈魂深處燃起豆大卻明亮且微笑的燈展。
17過去與未來，都離自己很遙遠，關鍵是抓住現在，抓住當前。
研究單位：雞西市實驗中學高一十九班
研究背景：
隨著科學文化知識的進步，數學學科在我們的生活中扮演著乙個不可忽視的重要角色，作為跨世紀的中學生，我們不僅要學會數學知識，而且要會應用數學知識去分析、解決生活中遇到的問題．這樣才能更好地適應社會的發展和需要。隨著經濟的不斷發展，中國人的消費意識不斷在更新，改變。「分期付款」就是最具代表性的體現。
分期付款在今天的消費活動中應用日益廣泛，為越來越多的人所接受，一方面是因為很多人一次性支付較高的款額有一定的困難，另一方面也是不少的商家和機構不斷改進營銷策略，方便人民付款和消費，促進市場發展。所以「分期付款」與每個家庭和每個人的日常生活密切相關，於是，如何利用數學知識來解決「分期付款」的問題有著非常現實和有意義的研究價值。讓數學在我們的生活中給予我們更多、更廣、更全面的幫助。
研究方法：
1．在分期付款中，每月的利息均按複利計算；（月利率是0.4575％）
2． 分期付款中規定每期所付款額相同；這些規定簡單記為月均等額還本付息；
3．在分期付款中，一般乙個月為一期。
4. 分期付款時，每一期所還的款相當於存在銀行裡，所以每期還給銀行的款額如同本金也會隨著時間推移而不斷增值；
5. 從貸款之日起，到最後一期還款付清時，貸款總額本息與每期所還款本息和是相等的。
我們先理解一下這些規定：
（1）什麼叫利息？向銀行貸款20萬元，乙個月後就還給銀行20萬元，銀行樂意嗎？當然還的錢比20萬要多，這裡的20萬元叫本金，多出來的部分，就叫利息，如果月利率按0.
4575％計算，乙個月後利息是多少？
（2）什麼叫複利？複利是個和單利相對應的經濟概念，單利的計算不用把利息計入本金計算；而複利恰恰相反，它的利息要併入本金中重複計息。
比如你現在往銀行存入100元錢，年利率是10%，那麼一年後無論您用單利還是複利計算利息，本息合計是一樣的，全是110元；
但到了第二年差別就出來了，如果用單利計算利息，第二年的計息基礎仍是100元，利息也仍是10元，本息合計就是120元。
可複利就不一樣了，第二年的計息基礎是110元（注
意！），一年下來利息就變成了11元，本息合計就成了121元，已比單利計算的多了1元錢，如果本金數字較大，年限較長，差距之大可想而知。厲害吧！
它的計算公式是本金×（1+年利率），其中n等於你的計息期數。
我們知道在分期付款中，規定每月的利息均按複利計算；我想請同學們算一算，向銀行貸款20萬元，兩個月後，本金和利息的總和是多少？我們將乙個月稱為一期，3期後，本金和利息的總和是多少？20期呢？
可見貸款總額會隨著時間的推移而不斷增值；請以本金為a元,月利率為0.4575％,說明複利計算的含義。
在日常生活中同學們常聽說分期付款，下面用數列對這一經濟現象分類說明。 1. 分期付款中的單、複利例1.
某人從銀行貸款a萬元，分五期等額還清，期利率為r。 （1）按複利（本期的利息計入下期的本金生息）計算，每期須還多少萬元？ （2）按單利（本期的利息不計入下斯的本金生息）計算，每期須還多少萬元？
法1： 設每期須還x萬元，則第一期還x萬元，到結賬時相當於萬元；
第二期還x萬元，到結賬時相當於萬元；
…… 第五期還x萬元，到結賬時仍是x萬元。
因為五期總和=a萬元在銀行存五期的本息之和法2：設每期還款x萬元，則第一期償還的x萬元相當於貸款時的萬元； 第二期償還的x萬元相當於貸款時的萬元； 第五期償還的x萬元相當於貸款時的萬元。（2）設每期須還x萬元，則第一期還x萬元，到結賬時相當於萬元； 第二其還x萬元，到結賬時相當於萬元； …… 第五期還x萬元，到結賬時仍為x萬元。
因為五期總和=a萬元在銀行存五期由上述推算可知：若從銀行貸款a元，分n期等額還清，期利率為r，每期須還x元。2.
在銀行中存款例2. 某同學若將每月省下的零花錢5元，在月末存入銀行，月利按複利計算，月利率為0.2%，每夠一年就將一年的本和利改存為年利按複利計算，年利為6%，問三年取出本和利共多少元（保留到個位）。
分析：先分析每一年存款的本利和（單位：元）。
按月分開算第乙個月： ；
第二個月： ； ……
第十二個月：。 第一年的a元，改存為年利按複利計算，兩年後到期的本利和為： 第二年的a元，同理一年後到期的本利和為：
第三年的a元，由於全部取出，這一年的存款沒有利息，三年後取出的本利和為： 解：設每存一年的本利和為a，則設三年後取出的本利為y 答：
三年後取出本利共193元。 3. 分期付款中的收益比較例3.
某商店為了促進商品銷售，特定優惠方式，即購買某種家用電器有兩種付款方式可供顧客選擇，家用電器價值2150元。 第一種付款方式：購買當天先付150元，以
以後每月這一天都交付200元，並加付欠款利息，每月按複利計算，月利率1%。 第二種付款方式：購買當天先付150元，以後每個月付款一次，10個月付清，每月付款金額相同，每月利息按複利計算，月利率1%。
試比較兩種付款方式，計算每月所付金額及購買這件家電總共所付金額。 解：第一種付款方式：
購買時付出150元，則欠款2000元，按要求需10次付清，則以後第一次應付： 第二次應付：
…… 第n次應付： 每次所付的款額順次構成數列 ， 是以220為首項， 為公差的等差數列。 10次付款總和為：
所以，實際共付2260元。 第二種付款方式：購買時付出150元，餘款10個月後增值為：
設每月付款x元，則各月所付的款額連同到最後一次付款時所生的利息之和分別為： 這構成等比數列，其和為： 每月應付211.
2元，10次付款總和為2112元，實際共付2262元，兩者比較前者更實惠。 例4. 在一次人才招聘會上，有a、b兩家公司分別開出它的工資標準：
a公司允諾第一年月工資數為1500元，以後每年月工資比上一年月工資增加230元；b公司允諾第一年月工資數為2000元，以後每年月工資在上一年的月工資基礎上遞增5%，設某人年初被a、b兩家公司同時錄取，試問： （1）若該人分別在a公司或b公司連續工作n年，則他在第n年的月工資收入分別多少？ （2）該人打算連續在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應聘的標準（不計其它因素），該人應該選擇哪家公司，為什麼？
解：（1）設該人在a、b兩家公司第n年的月工資數分別為 ，由已知得構成以1500為首項，公差為230的等差數列， 是以2000為首項，公比為的等比數列，所以 （2）若該人在a公司連續工作10年，則他的工資收入總量為： 若該人在b公司連續工作10年，則他的工資收入總量為：
因為在a公司收入的總量高些，因此該人應該選擇a公司下面讓我們來看另乙個例子：
小明同學準備購買膝上型電腦，向銀行貸款1萬元，其中規定一年期以上貸款月均等額還本付息（即利息按月以複利計算，每期付款數額相同，乙個月為一期，購買後乙個月付款一次，以後每月付款一次），共付24期，月利率為0.4575％，我設計的問題是：小明每月應還多少錢？
分析一：本例可通過逐月計算欠款來處理，根據題意，第24個月的欠款數為零，據此可得等量關係。
解法一：設每月還款x元，
購買1個月後的欠款數為：10000×(1＋0.4575%)－x
購買2個月後的欠款數為：[10000×(1＋0.4575%)－x]×(1＋0.4575%)－x
即：購買3個月後的欠款數為：
購買24個月後的欠款數為：
由題意：
即： 觀察一下，上述等式有什麼特點？
可以發現，上述等式是乙個關於x的一次方程，且等號左邊是乙個首項為x，公比為1.004575的等比數列的前24項的和。
思考：還有其它的處理方法嗎？
對等式進行思考？
這個等式說明了：分期付款，各次（期）所付的款以及各次（期）所付款到最後一次付款時所生的利息之和，等於商品的售價及從購買到最後一次付款時的利息之和。實際上這是分期付款中的規定，從上面的過程中我們可看出這種規定是合理可行的。
於是我們有了解法2，利用分期付款的有關規定直接列出方程。
分析二：每期所還款在接下來的月份中都會產生利息。這部分的本利和與貸款所產生的本利和相等。
解法二：設每月應付款x元.
各月所付款額到貸款付清時也會產生利息（同樣按月以複利計算）。各月所付款額與它的利息之和是多少呢？
各月所付款與它的利息之和
1個月後還元 1.00457523x元
2個月後還元 1.00457522x元
3個月後還元 1.00457521x元23個月後還元 1.004575x元
24個月後還元 x元各月所付款與它的利息之和
1個月後還元 1.00457523x元
2個月後還元 1.00457522x元
3個月後還元 1.00457521x元23個月後還元 1.004575x元
24個月後還元 x元最後根據到期償還還貸款的含義，即各月所付款額連同到貸款付清時所生利息之和，等於貸款本金及到貸款付清時的利息之和，計算每月應付款額。
解法1通過逐月計算欠款來處理，由第24個月後的欠款為零可得等量關係，這種解法思路自然，容易想到，但過程較長。解法2從最後一次付款（即款全部付清時）的角度上來看問題，即按分期付款中的規定直接列出等式，過程較簡潔。
研究結果：
我們對例子中提出的分期付款進行了一般性的**，明白了分期付款是怎麼一回事，弄清了複利計算的含義，理解了售價及每期付款的增值規律，掌握了利用等比數列解決分期付款中求每期付款額的計算方法，分期付款的單、複利問題；銀行中的存、貸款問題以及分期付款中的收益比較問題與人們的生活息息相關。解決這類問題時，要認真分析，理順問題中各種數量之間的關係，然後用學過的數學知識去解決問題，並作出正確合理的解答。
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