絕密★啟用前試卷型別：b
2023年普通高等學校招生全國統一考試（廣東卷）
數學（文科）
本試題共4頁，21小題，滿分150分，考試用時120分鐘。
注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2b鉛筆將試卷型別（a）填塗在答題卡相應位置上。
將條形碼橫貼在答題卡右上角「條形碼貼上處」。
2．選擇題每小題選出答案後，用2b鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案資訊點塗黑。如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案，答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然後再寫上新的答案；不准使用鉛筆和塗改液。不按以上要求作答的答案無效。
4．作答選做題時，請先用2b鉛筆填塗選做題的題號對應的資訊點，再作答。漏塗、錯塗、多塗的，答案無效。
5．考生必須保持答題卡的整潔。考試結束後，將試卷和答題卡一併交回。
參考公式：錐體體積公式，其中為錐體的底面積，為錐體的高．
線性回歸方程中係數計算公式，，
樣本資料的標準差，，
其中，表示樣本均值．
是正整數，則．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設複數滿足，其中為虛數單位，則
abcd．
1．（a）．
2．已知集合為實數，且，為實數，且，則的元素個數為
a．4b．3c．2d．1
2．（c）．的元素個數等價於圓與直線的交點個數，顯然有2個交點
3．已知向量．若為實數，∥，則
abc．1d．2
3．（b）．，由∥，得，解得
4．函式的定義域是
a． b． c． d．
4．（c）．且，則的定義域是
5．不等式的解集是
a． b． c． d．
5．（d）．或，則不等式的解集為
6．已知平面直角座標系上的區域由不等式組給定．若為上的動點，點的座標為，則的最大值為
a．3b．4cd．
6．（b）．，即，畫出不等式組表示的平面區域，易知當直線經過點時，取得最大值，
7．正五稜柱中，不同在任何側面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那麼乙個正五稜柱對角線的條數共有
a．20b．15c．12d．10
7．（d）．正五稜柱中，上底面中的每乙個頂點均可與下底面中的兩個頂點構成對角線，所以乙個正五稜柱對角線的條數共有條
8．設圓與圓外切，與直線相切，則的圓心軌跡為
a．拋物線 b．雙曲線 c．橢圓d．圓
8．（a）．依題意得，的圓心到點的距離與它到直線的距離相等，則的圓心軌跡為拋物線
9．如圖1 ~ 3，某幾何體的正檢視（主檢視），側檢視（左檢視）和俯檢視分別是等邊三角形，等腰三角形和菱形，則該幾何體的體積為
ab．cd．9．（c）．該幾何體是乙個底面為菱形的四稜錐，菱形的面積，四稜錐的高為，
則該幾何體的體積
10．設是上的任意實值函式，如下定義兩個函式和：對任意， ； ，則下列等式恆成立的是
a． b．
c． d．
10．（b）．對a選項
，故排除a
對b選項
，故選b
對c選項
，故排除c
對d選項
，故排除d
二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．
（一）必做題（9 ~ 13題）
11．已知是遞增的等比數列，若，，則此數列的公比
11．2．
或∵是遞增的等比數列，∴
12．設函式．若，則
12．，即，則
13．為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關係，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間（單位：小時）與當天投籃命中率之間的關係：
小李這5天的平均投籃命中率為用線性回歸分析的方法，**小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為
13．；
小李這5天的平均投籃命中率
，， ∴線性回歸方程，則當時，
∴**小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為
（二）選做題（14 ~ 15題，考生只能從中選做一題）
14．（座標系與引數方程選做題）已知兩曲線引數方程分別為和，它們的交點座標為
14．．
表示橢圓，表示拋物線
或（捨去），
又因為，所以它們的交點座標為
15．（幾何證明選講選做題）如圖4，在梯形中，∥，
，，分別為上的點，且，
∥，則梯形與梯形的面積比為________．
15．如圖，延長，
∵，∴∵，∴∴三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知函式， ．（1）求的值；
（2）設，，，求的值．
16．解：（1）
（2），即
，即∵，∴，
∴17．（本小題滿分13分）
在某次測驗中，有6位同學的平均成績為75分．用表示編號為的同學所得成績，且前5位同學的成績如下：
（1）求第6位同學的成績，及這6位同學成績的標準差；
（2）從前5位同學中，隨機地選2位同學，求恰有1位同學成績在區間（68，75）中的概率．
17．解：（1），解得
標準差（2）前5位同學中隨機選出的2位同學記為，且
則基本事件有，，，，，，，，，共10種
這5位同學中，編號為1、3、4、5號的同學成績在區間（68，75）中
設a表示隨機事件「從前5位同學中隨機選出2位同學，恰有1位同學成績在區間（68，75）中」
則a中的基本事件有、、、共4種，則
18．（本小題滿分13分）
圖5所示的幾何體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過軸的平面切開後，將其中一半沿切面向右水平平移後得到的．分別為, , ,的中點，分別為, ,
,的中點．
（1）證明：四點共面；
（2）設為中點，延長到，使得．證明：平面．
18．證明：（1）連線依題意得是圓柱底面圓的圓心
∴是圓柱底面圓的直徑
∵分別為, ,的中點
∴,∴∥
∵，四邊形是平行四邊形
∴∥,∴∥
∴四點共面
（2）延長到，使得，連線, ∵
∴，四邊形是平行四邊形,∴∥
∵，，, ∴面
∴面，面, ∴
易知四邊形是正方形，且邊長
∵， ∴, ∴
∴, 易知，四邊形是平行四邊形
平面．19．（本小題滿分14分）
設，討論函式的單調性．
19．解：函式的定義域為
令 ① 當時，，令，解得
則當或時，
當時，則在，上單調遞增，
在上單調遞減
② 當時，，，則在上單調遞增
③ 當時，，令，解得
∵，∴ 則當時，
當時，則在上單調遞增，在上單調遞減
20．（本小題滿分14分）
設，數列滿足， ≥．（1）求數列的通項公式；
（2）證明：對於一切正整數，≤．
20．（1）解
① 當時，，則是以1為首項，1為公差的等差數列
∴，即② 當且時，
當時，∴是以為首項，為公比的等比數列
∴ ∴
∴ 綜上所述
（2）證明：① 當時，；
② 當且時，
要證，只需證， 即證
即證即證即證∵
，∴原不等式成立
∴對於一切正整數，≤．
21．（本小題滿分14分）
在平面直角座標系上，直線：交軸於點．設是上一點，是線段的垂直平分線上一點，且滿足．
（1）當點在上運動時，求點的軌跡的方程；
（2）已知，設是上動點，求的最小值，並給出此時點的座標；
（3）過點且不平行於軸的直線與軌跡有且只有兩個不同的交點，求直線的斜率的取值範圍．
21．解：（1）如圖所示，連線，則
∵，∴動點滿足或在的負半軸上，設
① 當時，， ，化簡得
② 當在的負半軸上時，
綜上所述，點的軌跡的方程為或
（2）由（1）知的軌跡是頂點為，焦點為原點的拋物線和的負半軸
① 若是拋物線上的動點，過作於
由於是拋物線的準線，根據拋物線的定義有
則當三點共線時，有最小值
求得此時的座標為
② 若是的負半軸上的動點
顯然有綜上所述，的最小值為3，此時點的座標為
（3）如圖，設拋物線頂點，則直線的斜率
∵點在拋物線內部，
∴過點且不平行於軸的直線必與拋物線有兩個交點
則直線與軌跡的交點個數分以下四種情況討論：
① 當時，直線與軌跡有且只有兩個不同的交點
② 當時，直線與軌跡有且只有三個不同的交點
③ 當時，直線與軌跡有且只有乙個交點
④ 當時，直線與軌跡有且只有兩個不同的交點
綜上所述，直線的斜率的取值範圍是
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