2023年全國統一高考數學試卷（文科）（新課標版）
一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）
1．（5分）（2011新課標）已知集合m=，n=，p=m∩n，則p的子集共有（ ）
a．2個 b．4個 c．6個 d．8個
2．（5分）（2011新課標）複數=（ ）
a．2﹣i b．1﹣2i c．﹣2+i d．﹣1+2i
3．（5分）（2011新課標）下列函式中，既是偶函式又在（0，+∞）上單調遞增的函式是（ ）
a．y=2x3 b．y=|x|+1 c．y=﹣x2+4 d．y=2﹣|x|
4．（5分）（2011新課標）橢圓=1的離心率為（ ）
a． b． c． d．
5．（5分）（2011新課標）執行程式框圖，如果輸入的n是6，那麼輸出的p是（ ）
a．120 b．720 c．1440 d．5040
6．（5分）（2011新課標）有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中乙個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同乙個興趣小組的概率為（ ）
a． b． c． d．
7．（5分）（2011新課標）已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則cos2θ=（ ）
a．﹣ b．﹣ c． d．
8．（5分）（2011新課標）在乙個幾何體的三檢視中，正檢視和俯檢視如圖所示，則相應的側檢視可以為（ ）
a． b． c． d．
9．（5分）（2011新課標）已知直線l過拋物線c的焦點，且與c的對稱軸垂直．l與c交於a，b兩點，|ab|=12，p為c的準線上一點，則△abp的面積為（ ）
a．18 b．24 c．36 d．48
10．（5分）（2011新課標）在下列區間中，函式f（x）=ex+4x﹣3的零點所在的區間為（ ）
a．（，） b．（﹣，0） c．（0，） d．（，）
11．（5分）（2011新課標）設函式，則f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），則（ ）
a．y=f（x）在（0，）單調遞增，其圖象關於直線x=對稱
b．y=f（x）在（0，）單調遞增，其圖象關於直線x=對稱
c．y=f（x）在（0，）單調遞減，其圖象關於直線x=對稱
d．y=f（x）在（0，）單調遞減，其圖象關於直線x=對稱
12．（5分）（2011新課標）已知函式y=f（x）的週期為2，當x∈[﹣1，1]時 f（x）=x2，那麼函式y=f（x）的圖象與函式y=|lgx|的圖象的交點共有（ ）
a．10個 b．9個 c．8個 d．1個
二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）
13．（5分）（2011新課標）已知a與b為兩個垂直的單位向量，k為實數，若向量+與向量k﹣垂直，則k= ．
14．（5分）（2011新課標）若變數x，y滿足約束條件則z=x+2y的最小值為 ．
15．（5分）（2011新課標）△abc中，∠b=120°，ac=7，ab=5，則△abc的面積為 ．
16．（5分）（2011新課標）已知兩個圓錐有公共底面，且兩個圓錐的頂點和底面的圓周都在同乙個球面上，若圓錐底面面積是這個球面面積的，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為 ．
三、解答題（共8小題，滿分70分）
17．（12分）（2011新課標）已知等比數列中，a1=，公比q=．
（ⅰ）sn為的前n項和，證明：sn=
（ⅱ）設bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求數列的通項公式．
18．（12分）（2011新課標）如圖，四稜錐p﹣abcd中，底面abcd為平行四邊形．∠dab=60°，ab=2ad，pd⊥底面abcd．
（ⅰ）證明：pa⊥bd
（ⅱ）設pd=ad=1，求稜錐d﹣pbc的高．
19．（12分）（2011新課標）某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標值越大表明質量越好，且質量指標值大於或等於102的產品為優質品，現用兩種新配方（分別稱為a配方和b配方）做試驗，各生產了100件這種產品，並測量了每件產品的質量指標值，得到下面試驗結果：
a配方的頻數分布表
b配方的頻數分布表
（ⅰ）分別估計用a配方，b配方生產的產品的優質品率；
（ⅱ）已知用b配方生成的一件產品的利潤y（單位：元）與其質量指標值t的關係式為y=
從用b配方生產的產品中任取一件，其利潤記為x（單位：元），求x的分布列及數學期望．（以試驗結果中質量指標值落入各組的頻率作為一件產品的質量指標值落入相應組的概率）
20．（12分）（2011新課標）在平面直角座標系xoy中，曲線y=x2﹣6x+1與座標軸的交點都在圓c上．
（ⅰ）求圓c的方程；
（ⅱ）若圓c與直線x﹣y+a=0交與a，b兩點，且oa⊥ob，求a的值．
21．（12分）（2011新課標）已知函式f（x）=+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y﹣3=0．
（ⅰ）求a、b的值；
（ⅱ）證明：當x＞0，且x≠1時，f（x）＞．
22．（10分）（2011新課標）如圖，d，e分別為△abc的邊ab，ac上的點，且不與△abc的頂點重合．已知ae的長為m，ac的長為n，ad，ab的長是關於x的方程x2﹣14x+mn=0的兩個根．
（ⅰ）證明：c，b，d，e四點共圓；
（ⅱ）若∠a=90°，且m=4，n=6，求c，b，d，e所在圓的半徑．
23．（2011新課標）在直角座標系xoy中，曲線c1的引數方程為（α為引數）m是c1上的動點，p點滿足=2，p點的軌跡為曲線c2
（ⅰ）求c2的方程；
（ⅱ）在以o為極點，x軸的正半軸為極軸的極座標系中，射線θ=與c1的異於極點的交點為a，與c2的異於極點的交點為b，求|ab|．
24．（2011新課標）設函式f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．
（ⅰ）當a=1時，求不等式f（x）≥3x+2的解集
（ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集為，求a的值．
2023年全國統一高考數學試卷（文科）（新課標版）
參***與試題解析
一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）
1．（5分）（2011新課標）已知集合m=，n=，p=m∩n，則p的子集共有（ ）
a．2個 b．4個 c．6個 d．8個
【分析】利用集合的交集的定義求出集合p；利用集合的子集的個數公式求出p的子集個數．
【解答】解：∵m=，n=，
∴p=m∩n=
∴p的子集共有22=4
故選：b
【點評】本題考查利用集合的交集的定義求交集、考查乙個集合含n個元素，則其子集的個數是2n．
2．（5分）（2011新課標）複數=（ ）
a．2﹣i b．1﹣2i c．﹣2+i d．﹣1+2i
【分析】將分子、分母同時乘以1+2i，再利用多項式的乘法展開，將i2用﹣1 代替即可．
【解答】解：=﹣2+i
故選c【點評】本題考查複數的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛複數．
3．（5分）（2011新課標）下列函式中，既是偶函式又在（0，+∞）上單調遞增的函式是（ ）
a．y=2x3 b．y=|x|+1 c．y=﹣x2+4 d．y=2﹣|x|
【分析】由函式的奇偶性和單調性的定義和性質，對選項一一加以判斷，即可得到既是偶函式又在（0，+∞）上單調遞增的函式．
【解答】解：對於a．y=2x3，由f（﹣x）=﹣2x3=﹣f（x），為奇函式，故排除a；
對於b．y=|x|+1，由f（﹣x）=|﹣x|+1=f（x），為偶函式，當x＞0時，y=x+1，是增函式，故b正確；
對於c．y=﹣x2+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函式，但x＞0時為減函式，故排除c；
對於d．y=2﹣|x|，有f（﹣x）=f（x），是偶函式，當x＞0時，y=2﹣x，為減函式，故排除d．
故選b．
【點評】本題考查函式的性質和運用，考查函式的奇偶性和單調性及運用，注意定義的運用，以及函式的定義域，屬於基礎題和易錯題．
4．（5分）（2011新課標）橢圓=1的離心率為（ ）
a． b． c． d．
【分析】根據橢圓的方程，可得a、b的值，結合橢圓的性質，可得c的值，有橢圓的離心率公式，計算可得答案．
【解答】解：根據橢圓的方程=1，可得a=4，b=2，
則c==2；
則橢圓的離心率為e==，
故選d．
【點評】本題考查橢圓的基本性質：a2=b2+c2，以及離心率的計算公式，注意與雙曲線的對應性質的區分．
5．（5分）（2011新課標）執行程式框圖，如果輸入的n是6，那麼輸出的p是（ ）
a．120 b．720 c．1440 d．5040
【分析】通過程式框圖，按照框圖中的要求將幾次的迴圈結果寫出，得到輸出的結果．
【解答】解：經過第一次迴圈得到經過第二次迴圈得到
經過第三次迴圈得到； 經過第四次迴圈得
經過第五次迴圈得； 輸出結果
此時執行輸出720，
故選b【點評】本題考查解決程式框圖中的迴圈結構的輸出結果問題時，常採用寫出幾次的結果找規律．
6．（5分）（2011新課標）有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中乙個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同乙個興趣小組的概率為（ ）
a． b． c． d．
【分析】本題是乙個古典概型，試驗發生包含的事件數是3×3種結果，滿足條件的事件是這兩位同學參加同乙個興趣小組有3種結果，根據古典概型概率公式得到結果．
【解答】解：由題意知本題是乙個古典概型，
試驗發生包含的事件數是3×3=9種結果，
滿足條件的事件是這兩位同學參加同乙個興趣小組，
由於共有三個小組，則有3種結果，
根據古典概型概率公式得到p=，
故選a．
【點評】本題考查古典概型概率公式，是乙個基礎題，題目使用列舉法來得到試驗發生包含的事件數和滿足條件的事件數，出現這種問題一定是乙個必得分題目．
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