2023年普通高等學校招生全國統一考試（北京卷文）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1.（2017北京卷文）已知全集，集合或，則（）
ab.cd.
【答案】：
【解析】：或，，故選.
【考點】：集合的基本運算
【難度】：易
2.（2017北京卷文）若複數在復平面內對應的點在第二象限，則實數的取值範圍是（）
abcd.
【答案】：b
【解析】：，因為對應的點在第二象限，所以，解得：，故選b．
【考點】：複數代數形式的四則運算
【難度】：易
3.（2017北京卷文）執行如圖所示的程式框圖，輸出的值為（）
a.2 bcd.
【答案】：c
【解析】：時，成立，第一次進入迴圈，成立，第二次進入迴圈, ，成立，第三次進入迴圈，否，輸出，故選c．
【考點】：程式框圖
【難度】：易
4.（2017北京卷文）若，滿足則的最大值為（）
a.1b.3c.5d.9
【答案】：d
【解析】：如圖，畫出可行域，表示斜率為的一組平行線，當過點時，目標函式取得最大值，故選d．
【考點】：二元一次不等式組與簡單的線性規劃
【難度】：易
5.（2017北京卷文）已知函式，則（）
a.是偶函式，且在r上是增函式b.是奇函式，且在r上是增函式
c.是偶函式，且在r上是減函式 d.是奇函式，且在r上是減函式
【答案】：b
【解析】：，所以函式是奇函式，並且是增函式, 是減函式，根據增函式-減函式=增函式，所以函式是增函式故選b．
【考點】：函式奇偶性和單調性
【難度】：易
6.（2017北京卷文）某三稜錐的三檢視如圖所示，則該三稜錐的體積為（）
a.b.
c.d.
【答案】：d
【解析】：由三檢視可知三稜錐的直觀圖如下：,，故選d.
【考點】：三檢視
【難度】：易
7.（2017北京卷文）設m，n為非零向量，則「存在負數，使得」是「」的（）
a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件
c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件
【答案】：a
【解析】：若，使，即兩向量反向，夾角是，那麼，反過來，若，那麼兩向量的夾角為，並不一定反向，即不一定存在負數，使得，所以是充分不必要條件，故選a．
【考點】：向量、不等式、邏輯運算
【難度】：易
8．（2023年北京文）根據有關資料，圍棋狀態空間複雜度的上限約為，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數約為.則下列各數中與最接近的是（）
（參考資料：）
abcd.
【答案】d
【解析】， , 兩邊取對數，所以
【考點】：對數運算
【難度】：易
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.
9.（2023年北京文）在平面直角座標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關於軸對稱.若，則
【答案】
【解析】根據題意得
所以【考點】：三角函式定義+差角公式
【難度】：易
10.（2023年北京文）若雙曲線的離心率為，則實數
【答案】
【解析】根據題意得
且，解得
【考點】：雙曲線離心率
【難度】：易
11.（2023年北京文）已知，且，則的取值範圍是
【答案】
【解析】
當時，取得最小值為
當或時，取得最大值為
的取值範圍為
【考點】：函式求最值
【難度】：易
12.（2023年北京文）已知點在圓上，點的座標為，為原點，則的最大值為_______.
【答案】
【解析】點在圓上
設點座標，滿足
，， ，
的最大值為
【考點】：圓的方程+向量+求最值
【難度】：中
13.（2023年北京文）能夠說明「設是任意實數.若，則」是假命題的一組整數的值依次為_______.
【答案】
【解析】取分別為不滿足，故此命題為假命題
（此題答案不唯一）
【考點】：簡易邏輯命題真假判斷
【難度】：易
14.（2023年北京文）某學習小組由學生和教師組成，人員構成同時滿足以下三個條件：
()男學生人數多於女學生人數；
() 女學生人數多於教師人數；
() 教師人數的兩倍多於男學生人數.
若教師人數為，則女學生人數的最大值為_______；
該小組人數的最小值為_______.
【答案】
【解析】若教師人數為人，則男生人數小於人，則男生人數最多為人，女生最多為人。
若教師人數為人，則男生人數少於人，與已知矛盾
若教師人數為人，則男生人數少於人，與已知矛盾
若教師人數為人，則男生人數少於人，則男生為人，女生人。
所以小組人數最小值為人
【考點】：推理與證明
【難度】：易
15.（本小題13分）
已知等差數列和等比數列滿足，，.
（ⅰ）求的通項公式；
（ⅱ）求和：.
【答案】（1）（2）
【解析】（ⅰ）設公差為，公比為.
則，即.
故，即.
.（ⅱ）由（ⅰ）知，即，則，.
為公比為的等比數列.
構成首項為，公比為的等比數列.
.【考點】：等差等比數列+等比數列求和
【難度】：易
16.（本小題13分）
已知函式.
（ⅰ）求的最小正週期；
（ⅱ）求證：當時，.
【答案】（1）（2）見解析
【解析】（ⅰ）
所以最小正週期.
（ⅱ）證明：由（ⅰ）知.
當，即時，取得最小值.
得證.【考點】：三角函式恒等變化+正弦影象
【難度】：易
17.（本小題13分）
某大學藝術專業名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了名學生，記錄他們的分數，將資料分成組：，，…，，並整理得到如下頻率分布直方圖：
（）從總體的名學生中隨機抽取一人，估計其分數小於的概率；
（）已知樣本中分數小於的學生有人，試估計總體中分數在區間內的人數；
（）已知樣本中有一半男生的分數不小於，且樣本中分數不小於的男女生人數相等.試估計總體中男生和女生人數的比例.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
（）由頻率分布直方圖得：
分數大於等於的頻率為分數在和的頻率之和，
即，由頻率估計概率
分數小於的概率為.
（）設樣本中分數在區間內的人數為，則由頻率和為得
解之得總體中分數在區間內的人數為（人）.
（）設樣本中男生人數為，女生人數為
樣本中分數不小於的人數共有（人）
分數不小於的人中男生，女生各占人
樣本中男生人數為（人）
女生人數為（人）
總體中男生和女生的比例為.
【考點】：統計+概率
【難度】：易
18.（本小題14分）
如圖，在三稜錐中，，，，
，為線段的中點，為線段上一點.
（）求證：；
（）求證：平面平面；
（）當平面時，求三稜錐的體積.
【答案】（1）見解析（2）見解析（3）
【解析】
（），，
又平面，平面
平面又平面
（）在中，為中點
又由（）知，而，，平面
平面又平面且平面
平面平面
（）由題知平面
平面，平面平面
平面平面
又為中點
為中點，
在中，且【考點】：立體幾何+三稜錐體積
【難度】：易
19．（本小題14分）
已知橢圓的兩個頂點分別為，，焦點在軸上，離心率為.
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）點為軸上一點，過作軸的垂線交橢圓於不同的兩點，，過作的垂線交於點.求證：與的面積之比為.
【答案】（1）（2）見解析
【解析】（ⅰ）焦點在軸上且頂點為
橢圓的方程為：
（ⅱ）設且，，則
直線:直線:由得
得證【考點】：橢圓的性質+直線與橢圓關係
【難度】：中
20．（本小題13分）
已知函式．
（）求曲線在點處的切線方程；
（）求函式在區間上的最大值和最小值.
【答案】（1）（2）最大值為，最小值為
【解析】（）
又在點處的切線方程為
（）令，
而在區間上單調遞減
在區間上單調遞減
當時，有最小值
當時，有最大值
【考點】：導數的計算+導數的運用
【難度】：中
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