課題：線性規劃在實際生活中的應用
教材：全日制普通高階中學教科書（必修） 數學第二冊（上）
授課教師：江西省新余市第四中學聶清平
教學目標：
1．知識目標：會用線性規劃的理論和方法解決一些較簡單的實際問題；
2．能力目標：培養學生觀察、分析、聯想、以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想，培養學生自主**意識，提高學生「建模」和解決實際問題的能力；
3．情感目標：培養學生學習數學的興趣和「用數學」的意識，激勵學生創新，鼓勵學生討論，學會溝通，培養團結協作精神．
教學重、難點：
教學重點：把實際問題轉化成線性規劃問題，即建模，並給出解答．
教學難點：1．建立數學模型．把實際問題轉化為線性規劃問題；
2．尋找整點最優解的方法．
教具：多**、實物投影儀、印好的習題紙和直尺（習題紙附後）
教學方法：講練結合、分組討論法
教學過程：
（一）講解新課
1．例項1講解
引入：李詠主持的《非常6＋1》是大家很喜歡的娛樂節目．
（****：李詠首支個人單曲mv《你是我們的大明星》）
當娛樂大哥大李詠把《非常6＋1》裡的金蛋砸得金花四濺時，央視總編卻在思考著另外乙個問題：
例1：央視為改版後的《非常6＋1》欄目**兩套宣傳片．其中宣傳片甲播映時間為3分30秒，廣告時間為30秒，收視觀眾為60萬，宣傳片乙播映時間為1分鐘，廣告時間為1分鐘，收視觀眾為20萬．廣告公司規定每週至少有3.5分鐘廣告，而電視台每週只能為該欄目宣傳片提供不多於16分鐘的節目時間．電視台每週應播映兩套宣傳片各多少次，才能使得收視觀眾最多？
應用題是同學們最頭痛的題型之一，它的特點是文字多、資料多，條件複雜，要看懂題目意思，理清題目中的資料，可以採用什麼方式？請學生回答．
分析：將已知資料列成下表
解：設電視台每週應播映片甲x次， 片乙y次，總收視觀眾為z萬人．
列約束條件時，要注意講清xn.yn，這是學生容易忽略的問題．
列出了約束條件和目標函式後，應用問題轉化為線性規劃問題，用**法求解．
先請學生回憶**法求線性規劃問題的一般步驟，然後教師用多**課件展示畫圖、平移過程：
①畫出了可行域後用閃動的方式加以強調；
②拖動直線l平移，平移過程中可以顯示z值的大小變化．
由**法可得：當x=3， y=2時，zmax=220．
答：電視台每週應播映甲種片集3次，乙種片集2次才能使得收視觀眾最多．
例題小結：
簡單線性規劃應用問題的求解步驟：
（教師示意學生**板書，並給予適當的提示）
1． 將已知資料列成**的形式，設出變數x，y和z;
2． 找出約束條件和目標函式;
3． 作出可行域，並結合圖象求出最優解;
4． 按題意作答．
2．例項2講解 (課本例題修改，資料基本不變，改了題目的實際背景)
引入： 「中國結」是中國特有的民間手工編結裝飾品，「中國結」經過幾千年的結藝演變，現已成為廣大群眾喜愛的具有中國特色的藝術品：
（展示中國結的**，及其它相關**，配有背景**）
例2：某校高二(1)班舉行元旦文藝晚會，布置會場要製作「中國結」，班長購買了甲、乙兩種顏色不同的彩繩，把它們截成a、b、c三種規格．甲種彩繩每根8元，乙種彩繩每根6元，已知每根彩繩可同時截得三種規格彩繩的根數如下表所示：
今需要a、b、c三種規格的彩繩各15、18、27根，問各截這兩種彩繩多少根，可得所需三種規格彩繩且花費最少？
分析：將已知資料列成下表
解：設需購買甲種彩繩x根、乙種彩繩y根，共花費z元；
z=8x+6y
在用**法求解的過程中，學生發現：
直線l最先經過可行域內的點a(3.6,7.8)並不是最優解,學生馬上想到最優解可能是（4，8），引導學生計算花費，花費為80元，有沒有更優的選擇?
進一步激發學生興趣：可能是（3，9）嗎? 此時花費為78元，可能是（2，10）嗎？此時花費為76元，可能是……，如何尋找最優解？
滿足題意的點是可行域內的整點，首先要找整點，引導學生採用打網格或利用座標紙的方法；根據線性規劃知識，平移直線l,最先經過的整點座標是整數最優解．
由網格法可得：當x=3，y=9時，zmin=78．
答：班長應購買3根甲種彩繩、9根乙種彩繩，可使花費最少！
例題小結：
確定最優整數解的方法：
1．若可行域的「頂點」處恰好為整點，那麼它就是最優解；（在包括邊界的情況下）
2．若可行域的「頂點」不是整點或不包括邊界時，一般採用網格法，即先在可行域內打網格、描整點、平移直線l、最先經過或最後經過的整點座標是整數最優解；這種方法依賴作圖，所以作圖應盡可能精確，圖上操作盡可能規範．
（結合例題1、例題2，可以歸納出以上兩點）
（二）課堂練習
引入：2023年9月，歷4載風雨，國家體育場「鳥巢」從圖紙變成現實．××中學想組織學生去參觀：
（動畫演示到國家體育場行進路線，展示「鳥巢」效果圖，配上背景**）
練習：××中學準備組織學生去國家體育場「鳥巢」參觀．參觀期間，校車每天至少要運送480名學生．該中學後勤集團有7輛小巴、4輛大巴，其中小巴能載16人、大巴能載32人． 已知每輛客車每天往返次數小巴為5次、大巴為3次，每次運輸成本小巴為48元，大巴為60元．請問每天應派出小巴、大巴各多少輛，能使總費用最少？
學生練習分為三部分，引導學生動手，分解難點：
（每個學生發一張習題紙和一把直尺，在習題紙上作答、畫圖）
1．練習填表理解題意（習題紙上課堂練習題下印有下表）
思考片刻，請學生回答．
2．練習列約束條件和目標函式；
將學生分為三組，分組討論，各組競爭，教師巡視，對學生列式中出現的錯誤及時糾正；
從三組中選出一位完成的好的同學的習題紙，用投影儀展示，教師講解、點評，提醒學生注意解題的規範性；
3． 練習畫圖，尋找整數最優解；
習題紙上的課堂練習已畫好網格和座標系，學生在習題紙上練習畫圖，教師巡視，對學生畫圖中出現的錯誤及時糾正；
把最先找出整點最優解的同學的習題紙用投影儀展示，教師講解、點評．
解：設每天派出小巴x輛、大巴y輛，總運費為z元；
z=240x+180y
由網格法可得：x=2，y=4時，zmin=1200．
答：派4輛小巴、2輛大巴費用最少．
（三）回顧與小結
請同學們相互討論交流：
1．本節課你學習到了哪些知識？
2．本節課滲透了些什麼數學思想方法？
（引導學生從知識和思想方法兩個方面進行小結）
知識：1．把實際問題轉化成線性規劃問題即建立數學模型的方法．建模主要分清已知條件中，哪些屬於約束條件，哪些與目標函式有關，如例題1．（鏈結到例題1，進行具體例項回顧）
2．求解整點最優解的解法：網格法．網格法主要依賴作圖，要規範地作出精確圖形．（鏈結到例題2，進行具體例項回顧）
思想方法：數形結合思想、化歸思想，用幾何方法處理代數問題．
（四）布置作業
課本65頁習題7．4 第3、5題
教學設計說明
1．課時分析
在組織社會化生產、經營管理活動中，我們經常會碰到最優決策的實際問題．而解決這類問題的現代管理科學以線性規劃作為其重要的理論基礎，為此，試驗教材高二(上)編進了簡單的線性規劃知識．這不僅給傳統的高中數學注入了新鮮的血液，而且給學生提供了學數學、用數學的實踐機會．
本課時講線性規劃在實際生活中的應用．為了激發學生學習數學的興趣，養成學數學、用數學的意識並進一步提高解決實際問題的能力．在教材例題的框架下，我本著貼近時代、貼近生活、貼近學生為原則．以學生的日常學習、生活為背景，設計了兩道例題、一道練習題，讓學生感受到數學**於實踐，服務於生活．使學生在掌握數學知識和方法的同時，享受學習數學帶來的情感體驗和成功的喜悅．
2．重、難點解析
本節的重點是把實際問題轉化成線性規劃問題，即建模，並給出解答．難點是建立數學模型和整點最優解的尋找．
建模是解決線性規劃問題的極為重要的環節與技術．乙個正確數學模型的建立要求建模者熟悉規劃問題的生產和管理內容，明確目標要求和錯綜複雜的約束條件．這對初學者來說，有相當的難度．解決這個難點的關鍵是根據問題中的已知條件，各種資料，依據條件在表中列出，從而找出約束條件和目標函式，並從數學角度有條理地表述出來．
線性規劃中尋找整點最優解的問題，教材中提供了利用作**決問題的方法，這種方法簡單方便，學生容易掌握，體現了數形結合的數學思想。教師要引導學生規範地作出精確圖形，並從圖形中觀察出整點最優解．另外，教師在本課後還可介紹其它一些代數求解方法．
3．教學思路說明
本節課通過兩道例題的講解和一道習題的練習，使學生掌握解決線性規劃在實際生活中應用的方法。每道題題前都以實際背景引入，提高學生學習興趣．例題1的設計意圖是讓學生學會如何通過列表對複雜的條件進行整理，從而找出約束條件和目標函式；例題2的設計意圖在於講解如何運用網格法處理整數最優解問題；課堂練習題的目的是讓學生動手操作，熟悉數學建模和用網格法尋找整點最優解的方法，提高學生動手作圖能力。為了提高課堂效率，我把本節課的例題和課堂練習，及完成課堂練習要列的空表，畫圖要用的網格都列印在一張習題紙上，課前連同一把直尺發給學生．
4．多**的使用
利用多**手段，化靜為動，動靜結合，輕鬆觀察求解，增加教學容量，激發學生學習興趣，增強教學的條理性、形象性．
將學生的練習結果用投影儀展示給大家，通過老師的講解與點評，糾正學生在解題過程中可能出現的錯誤，規範解題過程，使得課堂上學生的練習和老師的講解更加緊密結合．
線性規劃教案
主講人 安陸一中孫慶波 知識目標 1 了解線性規劃的意義及線性約束條件 線性目標函式 可行解 可行域 最優解等概念 2 了解線性規劃問題的 法，並會用 法求線性目標函式的最大值 最小值。能力目標 滲透數形結合 化歸的思想，培養學生用 數學 的意識及創新意識。教學重點 線性規劃問題的 法。教學難點 確...
數學線性規劃教案
簡單的線性規劃及其應用 的教學設計 班級 81 科目 數學任課教師 課題 簡單的線性規劃及其應用上課時間 2010 10 28 一 教學目標 1 知識目標 1 在應用 法解題的過程中培養學生的觀察能力 理解能力 2 在變式訓練的過程中，培養學生的分析能力 探索能力 3 會用線性規劃的理論和方法解決一...
線性規劃專題教案
線性規劃 積儲知識 一 1.點p x0,y0 在直線ax by c 0上，則點p座標適合方程，即ax0 by0 c 0 2.點p x0,y0 在直線ax by c 0上方 左上或右上 則當b 0時，ax0 by0 c 0 當b 0時，ax0 by0 c 0 3.點p x0,y0 在直線ax by c...