線性規劃
積儲知識：
一． 1.點p(x0,y0)在直線ax+by+c=0上，則點p座標適合方程，即ax0+by0+c=0
2. 點p(x0,y0)在直線ax+by+c=0上方（左上或右上），則當b>0時，ax0+by0+c>0;當b<0時，ax0+by0+c<0
3. 點p(x0,y0)在直線ax+by+c=0下方（左下或右下），當b>0時，ax0+by0+c<0;當b<0時，ax0+by0+c>0
注意：（1）在直線ax+by+c=0同一側的所有點，把它的座標(x,y)代入ax+by+c,所得實數的符號都相同,
（2）在直線ax+by+c=0的兩側的兩點，把它的座標代入ax+by+c,所得到實數的符號相反,
即：1.點p(x1,y1)和點q(x2,y2)在直線 ax+by+c=0的同側，則有（ax1+by1+c）( ax2+by2+c)>0
2.點p(x1,y1)和點q(x2,y2)在直線 ax+by+c=0的兩側，則有（ax1+by1+c）( ax2+by2+c)<0
二.二元一次不等式表示平面區域:
①二元一次不等式ax+by+c>0（或<0）在平面直角座標系中表示直線ax+by+c=0某一側所有點組成的平面區域. 不包括邊界;
②二元一次不等式ax+by+c≥0（或≤0）在平面直角座標系中表示直線ax+by+c=0某一側所有點組成的平面區域且包括邊界;
注意：作圖時,不包括邊界畫成虛線;包括邊界畫成實線.
三、判斷二元一次不等式表示哪一側平面區域的方法:
方法一:取特殊點檢驗; 「直線定界、特殊點定域
原因:由於對在直線ax+by+c=0的同一側的所有點(x,y),把它的座標(x,y)代入ax+by+c,所得到的實數的符號都相同,所以只需在此直線的某一側取乙個特殊點(x0,y0),從ax0+by0+c的正負即可判斷ax+by+c>0表示直線哪一側的平面區域.特殊地, 當c≠0時，常把原點作為特殊點，當c=0時，可用（0，1）或（1，0）當特殊點，若點座標代入適合不等式則此點所在的區域為需畫的區域，否則是另一側區域為需畫區域。
方法二：利用規律：
>0,當b>0時表示直線ax+by+c=0上方（左上或右上），
當b<0時表示直線ax+by+c=0下方（左下或右下）;
<0,當b>0時表示直線ax+by+c=0下方（左下或右下）
當b<0時表示直線ax+by+c=0上方（左上或右上）。
四、線性規劃的有關概念：
①線性約束條件線性目標函式：
③線性規劃問題可行解、可行域和最優解：
典型例題一--------畫區域
1. 用不等式表示以，，為頂點的三角形內部的平面區域．
分析：首先要將三點中的任意兩點所確定的直線方程寫出，然後結合圖形考慮三角形內部區域應怎樣表示。
解：直線的斜率為：，其方程為．
可求得直線的方程為．直線的方程為．
的內部在不等式所表示平面區域內，同時在不等式所表示的平面區域內，同時又在不等式所表示的平面區域內（如圖）．
所以已知三角形內部的平面區域可由不等式組表示．
說明：用不等式組可以用來平面內的一定區域，注意三角形區域內部不包括邊界線．
2 畫出表示的區域，並求所有的正整數解．
解：原不等式等價於而求正整數解則意味著，還有限制條件，即求．
依照二元一次不等式表示的平面區域，
知表示的區域如下圖：
對於的正整數解，容易求
得，在其區域內的整數解為
、、、、．
典型例題三------求最值
一、與直線的截距有關的最值問題
1.如圖1所示，已知中的三頂
點，點在內部及邊界運
動，請你**並討論以下問題：
①在點a 處有最大值 6 ，
在邊界bc處有最小值 1 ；
②在點c 處有最大值 1 ，在
點b 處有最小值
2若、滿足條件求的最大值和最小值．
分析：畫出可行域，平移直線找最優解．
解：作出約束條件所表示的平面區域，即可行域，如圖所示．
作直線，即，它表示斜率為，縱截距為的平行直線系，當它在可行域內滑動時，由圖可知，直線過點a時，取得最大值，當過點時，取得最小值．
注：可化為表示與直線平行的一組平行線，其中為截距，特別注意：斜率範圍及截距符號。即注意平移直線的傾斜度和平移方向。
變式：設x,y滿足約束條件
分別求：(1)z=6x+10y，(2)z=2x-y,(3)z=2x-y，的最大值，最小值。
二、與直線的斜率有關的最值問題
表示定點p（x0,y0)與可行域內的動點m(x,y)連線的斜率.
例2 設實數滿足，則的最大值是
解析：畫出不等式組所確定的三角形區域abc，表示兩點確定的直線的斜率，要求z的最大值，即求可行域內的點與原點連線的斜率的最大值．
可以看出直線op的斜率最大，故p為與的交點，
即a點．∴．故答案為．
3.如圖1所示，已知中的三頂點，
點在內部及邊界運動，請你**並討論以下問題：
若目標函式是或，你知道其幾何意義嗎？你能否借助其幾何意義求得和？
練習1.若變數滿足約束條件的最大值和最小值分別為m和m，則m-m
a．8 b.7 c.6 d.5
2.已知滿足的約束條件當目標函式在該約束條件下取得最小值時，則a與b的關係為
3.若非負數變數滿足約束條件，則的最大值為______
4.若滿足且的最小值為，則值為（ ）
a．2b． cd．
5若變數 x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最小值為 _______
6若變數滿足約束條件且的最小值為-6，則_______
7設x、y滿足約束條件，則的最大值為
課後練習
1當實數x，y滿足時，1≤ax+y≤4恆成立，則實數a的取值範圍是
2設變數，滿足約束條件則目標函式的最小值為（ ）
（a）2 （b）3 （c）4 （d）5
3若變數滿足約束條件且的最大值為，最小值為，則的值是（ ）
（a） （b） （c） （d）
4設x，y滿足約束條件：，則z＝3x＋2y的最大值是＿＿
5若點(x, y)位於曲線與y＝2所圍成的封閉區域則2x－y的最小值為
6.設變數x、y滿足約束條件,則目標函式z=3x－4y的最大值和最小值分別為
（a）3，－11b) －3, －11
(c)11, －3d)11,3
7.設x,y滿足
（a）有最小值2，最大值3 （b）有最小值2，無最大值
（c）有最大值3，無最小值 （d）既無最小值，也無最大值
8.若x，y滿足約束條件，目標函式僅在點（1，0）處取得最小值，則a的取值範圍是
(a) （，2b) （，2cd)
9.若實數，滿足不等式組且的最大值為9，則實數
（abc）1d）2
10.設滿足約束條件，若目標函式的最大值為8，則的最小值為________。
11.設x，y滿足約束條件，若目標函式z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值為12，則的最小值為
a. bcd. 4
12.設不等式組表示的平面區域為d，若指數函式y=的影象上存在區域d上的點，則a 的取值範圍是
（a）(1,3b )[2,3c ) (1,2d )[ 3, ]
13.若不等式組所表示的平面區域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是
（a） （b） （c） （d）
線性規劃教案
課題 線性規劃在實際生活中的應用 教材 全日制普通高階中學教科書 必修 數學第二冊 上 授課教師 江西省新余市第四中學聶清平 教學目標 1 知識目標 會用線性規劃的理論和方法解決一些較簡單的實際問題 2 能力目標 培養學生觀察 分析 聯想 以及作圖的能力，滲透集合 化歸 數形結合的數學思想，培養學生...
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