線性規劃
一、基礎訓練
1、若點在直線的下方區域，則實數的取值範圍是1、答案：
2、已知點和點在直線的異側，則實數的取值範圍是 。2、答案：
3、如果不等式組表示的平面區域是乙個直角三角形，則該三角形的面積為 。3、答案：
4、在平面直角座標系xoy中，已知平面區域a＝，則平面區域b＝的面積為4、答案：1
5.已知由不等式組，確定的平面區域的面積為7，定點m的座標為，若，o為座標原點，則
的最小值是
5、答案：. 依題意：畫出不等式組所表示的平面區域（如右圖所示）可知其圍成的區域是等腰直角三角形面積為，由直線恆過點，且原點的座標恆滿足
當時，，此時平面區域的面積為，由於，
由此可得.
由可得，依題意應有，因此（，捨去）
故有，設，故由，可化為，所以當直線過點時，截距最大，即取得最小值，．
二、例題精講
例1、畫出不等式組表示的平面區域，並回答下列問題：
(1)指出x，y的取值範圍；
(2)平面區域內有多少個整點？
例1、解題導引在封閉區域內找整點數目時，若數目較小時，可畫網格逐一數出；若數目較大，則可分x＝m逐條分段統計．
解 (1)不等式x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0上及右下方的點的集合．x＋y≥0表示直線x＋y＝0上及右上方的點的集合，x≤3表示直線x＝3上及左方的點的集合．
所以，不等式組
表示的平面區域如圖所示．
結合圖中可行域得x∈，y∈[－3,8]．
(2)由圖形及不等式組知
當x＝3時，－3≤y≤8，有12個整點；
當x＝2時，－2≤y≤7，有10個整點；
當x＝1時，－1≤y≤6，有8個整點；
當x＝0時，0≤y≤5，有6個整點；
當x＝－1時，1≤y≤4，有4個整點；
當x＝－2時，2≤y≤3，有2個整點；
∴平面區域內的整點共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(個)．
例2、已知
求：(1)z＝x＋2y－4的最大值；
(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(3)z＝的範圍．
解：作出可行域如圖所示，並求出頂點的座標a(1,3)、b(3,1)、c(7,9)．
(1)易知可行域內各點均在直線x＋2y－4＝0的上方，故x＋2y－4>0，將點c(7,9)代入z得最大值為21.(4分)
(2)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域內任一點(x，y)到定點m(0,5)的距離的平方，過m作直線ac的垂線，易知垂足n**段ac上，
故z的最小值是|mn|2＝.(8分)
(3)z＝2×表示可行域內任一點(x，y)與定點q連線的斜率的兩倍，
因此kqa＝，kqb＝，
故z的範圍為.(12分)
例3、某公司計畫2023年在甲、乙兩個電視台做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元．甲、乙電視台的廣告收費標準分別為500元/分和200元/分．假定甲、乙兩個電視台為該公司所做的每分鐘廣告能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問：
該公司如何分配在甲、乙兩個電視台的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？
解題導引解線性規劃應用問題的一般步驟是：(1)分析題意，設出未知量；
(2)列出線性約束條件和目標函式；(3)作出可行域並利用數形結合求解；(4)作答．
解設公司在甲電視台和乙電視台做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，
由題意得
目標函式為z＝3 000x＋2 000y.
二元一次不等式組等價於
作出二元一次不等式組所表示的平面區域，即可行域，如圖所示．
作直線l：3 000x＋2 000y＝0，即3x＋2y＝0.
平移直線l，從圖中可知，當直線l過點m時，目標函式取得最大值．
由方程解得x＝100，y＝200.
所以點m的座標為(100,200)．
所以zmax＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)．
答該公司在甲電視台做100分鐘廣告，在乙電視台做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．
三、鞏固練習
1、 已知的三邊長滿足，求的取值範圍。1、答案：
2、某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車．某天需送往a地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運送一次可得利潤350元．該公司合理計畫當天派用兩類卡車的車輛數，可得最大利潤z等於2、答案：4 900元
3、已知實數滿足如果目標函式的最小值為，則實數等於
3、答案：5解：畫出滿足的可行域，可得直線與直線的交點使目標函式取得最小
值，故，解得，
代入得4、設不等式組表示的平面區域為m，若函式y＝k(x＋1)＋1的圖象經過區域m，則實數k的取值範圍是
4、答案：.
解析 作可行域，如圖．
因為函式y＝k(x＋1)＋1的圖象是過點p(－1,1)，且斜率為k的直線l，由圖知，當直線l過點a(1,2)時，k取最大值，當直線l過點b(3,0)時，k取最小值－，故k∈.
課時練習
1．已知x，y滿足不等式組則2x－y的最大值是________．
1．答案：8，解析：令z＝2x－y，畫出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，當函式z＝2x－y過點a(4,0)時，(2x－y)max＝8.
2．已知變數x，y滿足約束條件則目標函式z＝－2x＋y的取值範圍是________．
2．答案：[－4,2] 解析：畫出可行域，可知目標函式的取值範圍是[－4,2]．
3．若函式f(x)＝ax＋b－1(0＜a≤1)在[0,1]上有零點，則b－2a的最小值為________．
3．答案：－2解析：因為0＜a≤1，所以f(x)在[0,1]上有零點，只需即又0＜a≤1，從而有在直角座標系aob平面內畫出可行域可知，當a＝1，b＝0時，b－2a的最小值為－2.
4．已知實數x，y滿足則z＝x·y的最小值為________．
4．答案：解析：z＝x·y＝2x＋y，令u＝2x＋y，則z＝u.
作出不等式組表示的可行域(如圖陰影部分)，則當目標函式u＝2x＋y過點a(1,2)時，有umax＝4，此時zmin＝4＝.
5．已知實數x，y滿足則x2＋y2－2x的最小值是________．
5．答案：1
解析：不等式組滿足的平面區域如圖陰影部分所示．記目標函式為z＝x2＋y2－2x＝(x－1)2＋y2－1.因為點(1,0)到直線x＝－1的距離為2，到直線y＝3的距離為3，到直線x－y＋1＝0的距離為＝，故目標函式的最小值為()2－1＝1.
6．若不等式組的平面區域的面積為3，則實數a的值是________．
6答案：2．解析：作出可行域，如圖中陰影部分所示，區域面積s＝××2＝3，解得a＝2.
7．給定區域d：令點集t＝，則t中的點共確定________條不同的直線．
7．答案：6解析：解決本題的關鍵是要讀懂數學語言，x0，y0∈z，說明x0，y0是整數，作出圖形可知，△abf所圍成的區域即為區域d，其中a(0,1)是z在d上取得最小值的點，b，c，d，e，f是z在d上取得最大值的點，則t中的點共確定ab，ac，ad，ae，af，bf共6條不同的直線．
8．若x，y滿足條件當且僅當x＝y＝3時，z＝ax－y取得最小值，則實數a的取值範圍是________．
8．解析：畫出可行域，如圖，直線3x－5y＋6＝0與2x＋3y－15＝0交於點m(3,3)，由目標函式z＝ax－y，得y＝ax－z，縱截距為－z，當z最小時，－z最
大．欲使縱截距－z最大，則－9．(2014·南通三模)已知點p在直線x＋2y－1＝0上，點q在直線x＋2y＋3＝0上，pq的中點m(x0，y0)，且y0＞x0＋2，則的取值範圍是________．
9．解析：答案：由於m(x0，y0)是線段pq的中點，故＝，化簡得x0＋2y0＋1＝0.
又y0＞x0＋2，故點m的軌跡是直線x＋2y＋1＝0在直線y＝x＋2上方的部分．由直線方程x＋2y＋1＝0與y＝x＋2聯立可得n，而表示點m與o(0,0)連線的斜率，
故－＜＜kon＝－，從而∈.
10．已知點(x，y)在約束條件表示的平面區域m上，若－4≤a≤t時，動直線x＋y＝a所經過的平面區域m的面積為7，則實數t
10．答案：2解析：平面區域m如圖陰影部分所示．當t＝0時，動直線x＋y＝a與y＝x＋4的交點a(－2,2)，則(s△aob)max＝×4×2＝4，故t＞0，此時動直線x＋y＝a所經過的平面區域的面積為×4×4－×(4－t)×＝7，解得t＝2(t＝6捨去)．
11．已知實數x，y滿足線性約束條件則的取值範圍是________．
11．解析：由條件知，可行域是由點(3,6)，
(3,1)，為頂點組成的三角形及其內部(如圖陰影部分所示)，而目標函式可化為z＝＋2，其中min＝， max＝2，而函式f(t)＝t2＋中，f′(t)＝2t－＝，其中t∈，故當t＝1時，f(t)min＝3.又f＝，f(2)＝5，故f(t)max＝，即所求取值範圍是.答案：
12.設實數滿足
(1)畫出此二一元次不等式組表示的平面區域;
線性規劃 老師用
簡單的線性規劃 問題生成解決 評價單 設計人 王利軍審稿人 翟廷珍簽印人序號 010 班級小組姓名時間 2010年11月2日 一 課標要求 1 使學生了解並會用二元一次不等式表示平面區域以及用二元一次不等式組表示平面區域 2 了解線性規化的意義以及線性約束條件 線性目標函式 線性規化問題 可行解 可...
線性規劃專題教案
線性規劃 積儲知識 一 1.點p x0,y0 在直線ax by c 0上，則點p座標適合方程，即ax0 by0 c 0 2.點p x0,y0 在直線ax by c 0上方 左上或右上 則當b 0時，ax0 by0 c 0 當b 0時，ax0 by0 c 0 3.點p x0,y0 在直線ax by c...
線性規劃專題小練
1 若變數x，y滿足約束條件則z 3x 2y的最小值為 2 若x，y滿足約束條件則z 3x y的最大值為 3 若x，y滿足約束條件則的最大值為 4 若x，y滿足約束條件則z x y的最大值為 2 已知正數x，y滿足則z 2 x 的最小值為 5 若不等式組表示的平面區域為三角形，且其面積等於，則m的值...