《圓的標準方程》課例（第一課時）
林永強蔡恆錄伏景祥
一、 設計背景
圓作為常見的簡單幾何圖形，在實際生活和生產實踐中有著廣泛的應用.《圓的方程》安排在高中數學第二冊（上）第七章第六節. 是前面學習了直線方程、兩條直線的位置關係、曲線和方程的基礎上，讓學生學會在平面直角座標系中建立圓的代數方程，運用代數方法研究直線與圓，圓與圓的位置關係，在這個過程中進一步體會數形結合的思想，形成用代數方法解決幾何問題的能力。
圓的方程屬於解析幾何學的基礎知識，是研究二次曲線的開始，對後續直線與圓的位置關係、圓錐曲線等內容的學習，無論在知識上還是方法上都有著積極的意義，所以本節內容在整個解析幾何中起著承前啟後的作用.
另外，圓的方程是學生在初中學習了圓的概念和基本性質後，又掌握了求曲線方程的一般方法的基礎上進行研究的. 但由於學生學習解析幾何的時間還不長、學習程度較淺，且對座標法的運用還不夠熟練，在學習過程中難免會出現困難，另外學生在**問題的能力,合作交流的意識等方面有待加強.
二、課堂實錄與教學設計
(一)、複習引入
1、引入
師：一提到圓，可能很多同學腦海裡都會浮現出許多圓形物體，比如自行車輪子、水桶底、摩天輪等，可以說圓與我們的生活息息相關。在小學和初中我們都學過圓的知識，當時所關注的是圓的形狀大小等幾何特徵，而今天我們將要從乙個新的角度繼續來學習。
2、明確思想
師：在上一章內容中，我們通過用座標表示點，把曲線和二元方程聯絡起來。這樣通過座標法把幾何圖形和代數方程聯絡起來，就實現了數與形的統一。在這一章我們繼續用這個思路來展開研究。
二、講授新課
1、建立圓的標準方程
師：在初中，圓的定義如何？
生：在平面內到定點的距離等於定長的點的集合(軌跡)叫做圓，定點就是圓心，定長就是半徑．
師：在平面直角座標系中，確定乙個圓需要哪些條件？
生：乙個圓的圓心位置和半徑一旦給定，這個圓就被確定下來了。
（使學生明確確定乙個圓需要的條件是圓心與半徑，為求圓的方程做好鋪墊。）
師：當我們建立了平面直角座標系之後，圓心有了座標，這時要建立圓的方程不妨先解決這個問題：如圖，若某圓圓心是a(a,b)，半徑為r，則圓上的點的座標應滿足怎樣的關係式？
設m(x,y)是圓上任意一點，則︱am︱=r，
由兩點間的距離公式得，
兩邊平方得 ①
（圓的標準方程的推導具有一般性，引導學生經歷這一過程，可以提高學生利用代數知識解決幾何問題的能力。）
師：這條關係式是圓的方程嗎？應怎樣說明呢？
師：利用上一節課的做法，我們可以從兩方面來說明。首先從推導過程我們知道若任意點m在圓上，則點m的座標適合方程（1）；反之，若點m(x,y)適合方程，開方得，這意味著點m與圓心a的距離為r，即點m在圓a上。
所以我們說這條關係式為圓的方程，我們將它稱為圓的標準方程。
（培養學生思維的嚴謹性，鞏固直線方程的概念，滲透曲線方程的概念。）
2、延伸
(1) 圓的標準方程圓心為c(a,b)，半徑為r，這呈現了圓的幾何特徵。
師：從圓的標準方程很快可以得到圓心和半徑，反之，有了圓心和半徑，圓方程就可以寫出，換句話，知道了a，b，r就可以寫出圓的標準方程。
（闡明圓的幾何特徵，為後續練習的順利解答做好了鋪墊。指出要確定圓的方程就是要確定a，b，r，為講待定係數法打好基礎。）
(2)如果圓心在座標原點，則a=b=0，圓的方程為．
三、應用舉例，鞏固提高
1、直接應用
練習1寫出下列方程表示的圓的圓心和半徑．
(1)； (2)
(3（由學生口答，老師及時點撥和糾錯，幫助學生熟悉圓的標準方程的特點。在練習中涉及到許多學生易錯的環節，可以培養學生思維的嚴密性。）
練習2．(1)圓心在原點，半徑是的圓的方程是
(2)圓心為點(3，4)且過點(0，0)的圓的方程是（ ）
（a）x2+y2=25 （b）x2+y2=5 （c）(x－3)2+(y－4)2=25 （d）(x－3)2 +(y－4)2=5
（練習2涉及了簡單的求圓方程，其中（2）為接下來的**點與圓位置關係做好了鋪墊，同時為練習4 的解決提供了方向。讓學生思考後回答，對於（2）讓學生說明選擇的辦法。）
2、**點與圓的位置關係
練習3寫出以點a(2,)為圓心，5為半徑的圓的標準方程，並判斷點m(5,)，n(2,)，p(10,)在不在圓上？
（由學生自己思考感知，然後提問：怎麼判斷點在不在圓上）
師：我們在初中已學習過點與圓的位置關係，大家還記得有幾種嗎？
生：有三種。
師：那麼這裡的點 n、p到底在圓內還是圓外呢？
（讓學生思考後提問，並幫助學生提煉總結判斷點與圓位置關係的方法。）
提煉總結：
師：點與圓的位置關係有三種情形：點在圓內、點在圓上、點在圓外。我們可以從幾何的角度去處理，即看點到圓心的距離d與圓半徑r的關係。dr時點在圓外．
同時還可以通過方程去進行比較：
點在圓上；
點在圓內；
點在圓外．
即討論點與圓的位置關係可以從代數特徵（點的座標是否滿足圓的方程）或幾何特徵（點與圓心的距離與半徑的關係）去考慮。
（通過具體例子讓學生層層遞進地**點與圓的位置關係，便於學生接受。在總結的時候指出討論點與圓的位置關係可以從代數和幾何兩方面去考慮，貼合解析幾何的特點，並為後續問題的解決提供了方向。）
練習4求經過點p(5,1)，圓心在點c(8,)的圓的方程。
（由學生思考後讓學生板書，教師要引導學生從兩個角度去思考。通過這個練習讓學生初步感知如何從代數和幾何兩個角度去求圓的方程。）
3.靈活應用,提公升能力
例1、已知圓心為c的圓經過點a（1，1）和b（2，－2），且圓心在直線上，求此圓的標準方程．
（學生之間交流討論，確立解題思路。教師巡視指導，適當啟發，可以引導學生從圓的幾何性質出發尋找解題途徑，也可以引導學生從構成圓的要素入手應用方程的思想解決．）
教師提問學生，然後點評學生的思路，確立答題策略一是從標準方程的特徵分析，圓的方程由a，b，r三個量確定，因此要確定圓的方程從方程的角度只需確定a，b，r三個方程聯立方程組即可求得，也就是用待定係數法來解決。答題策略二是應用圓的幾何性質確定出圓心即直線ａｂ的垂直平分線和直線l的交點即為該圓的圓心，圓心確定了，即可求得相應的半徑。
（這裡要幫助學生進行方法的提煉，提高學生獲取知識能力和歸納概括能力，幫助學生構建知識模組，起到做一題會一類的作用。對於解答策略一教師寫出詳細規範的解答過程，起到示範作用；同時，要演示計算過程幫助學生克服懼怕計算三元二次方程組的心理。對於解答策略二則和學生一起寫出解答的流程，並複習相應步驟中要使用的公式。
）三、教學反思
圓作為常見的簡單幾何圖形，在實際生活和生產實踐中有著廣泛的應用.本課時是《圓的方程》的第一課時，是前面學習了直線方程、兩條直線的位置關係、曲線和方程的基礎知識後的一節課。由於學生是在初中學習的圓的相關知識，知識的遺忘較多，再加上學生學習解析幾何的時間還不長、學習程度較淺，且對座標法的運用還不夠熟練，因此在教學設計時，我選擇由「特殊到一般」、由「具體到抽象」的設計模式，在學生學習了乙個新知識後立即進行練習，從而來達到讓學生牢固掌握所學知識並能用所學知識來解決一些實際問題。
具體的講，在學生推導出圓的標準方程，引導學生分析圓的標準方程的結構特徵後，選擇了3道直接運用圓的標準方程的練習題，目的是讓學生熟練掌握圓心座標、半徑與圓的標準方程之間的關係，這些練習題都採取從易到難的梯度進行的，通過這樣的訓練來達到讓學生充分掌握圓的標準方程的形式。例1我直接選用教材中的例1，沒有做改動。在學生自主交流合作學習了例1後，立即對教材後配的練習題進行練習，從而鞏固所學的知識和運用**出的求法；在講解例2時，我採取先用乙個具體的問題來求出圓的切線方程後，從特殊的例子入手，為推導一般的圓的切線方程打下知識和方法的鋪墊，體現了「從特殊到一般」的思想。
並且為了讓不同層次的學生都有提高，我布置了3個課外思考題,以擴充學生的知識面。
由於平時所教學的班級和授課的班級在學生層次和學習方法上存在差異，在授課時就難免帶有平時上課的風格：要求學生做到書寫規範，步步有理，做數學題不能只有式子，而沒有必要的文字敘述。儘管在授課時注重學生的矯正和反饋，但在引導學生深入方面做得不夠好，譬如：
在教學例2求過具體的圓上一點作圓的切線方程時，學生的思想和方法、解決方式的多樣性方面沒有留足夠的時間進行深入展開，從而失去了一次訓練學生的發散思維的機會。在縱向挖掘知識深度，橫向加強知識間的聯絡，培養了學生的創新精神，訓練學生的有效思維量方面還做得不夠好。
我這節課我認為的不足之處就在於：1、沒有從生活實際出發創設問題情境，讓學生感受到問題**於實際，並能應用於實際，從而激發學生的學習興趣和學習慾望，我個人認為通過這樣學生獲取的知識，易於保持，易於遷移；2、沒有隨時讓學生對所學知識和方法產生有意注意，也就是對學生的引導方面還做得不夠.
圓的標準方程說課
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付彬課例及教學設計 圓的方程
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