圓是學生比較熟悉的曲線，在初中幾何課中就已學過圓的定義及性質．這節主要是用座標的方法畫圓———建立圓的方程．首先是根據圓的定義，建立圓的標準方程，進而研究圓的一般方程，並在此基礎上，運用座標法，**直線與圓、圓與圓的位置關係．由於圓是一種對稱、和諧的圖形，有很多優美的幾何性質，因此，在運用座標法解決問題的同時，充分利用了圓的幾何性質．這節課的重點是圓的兩種方程的求法及互化，直線與圓位置關係、數量關係的判定與求解．難點是對待定係數法、數形結合等方法的理解及靈活應用．
知識與技能： 理解和掌握圓的標準方程和一般方程，並會熟練地進行方程的互化，能根據條件靈活選用適當的方法建立圓的方程．
過程與方法：在直線的方程、圓的方程的基礎上，用代數、幾何兩種方法研究直線與圓的位置關係，初步學會用待定係數法、數形結合法解決與圓有關的一些簡單問題．
情感態度與價值觀：能應用圓的方程解決一些簡單的實際問題，培養學生應用數學分析、解決實際問題的能力．
圓是學生比較熟悉的一種曲線，建立圓的方程也比較容易．學習時，應根據問題條件，靈活適當地選取方程形式，否則，可能導致解題過程過於煩鎖．在解決直線與圓、圓與圓位置關係問題時，要盡可能挖掘、應用關於圓的隱含條件，要注意數形結合、待定係數法的應用．
圓是最完美的曲線，它是平面內到一定點的距離等於定長的點的集合．定點是圓心，定長是半徑．在平面直角座標系中，怎樣用座標的方法刻畫圓呢？
［問題］
河北省趙縣的趙州橋，是世界著名的古代石拱橋，也是造成後一直使用到現在的最古老的石橋．趙州橋的跨度是37.02m，圓拱高約為7.2m．建立適當的平面直角座標系，寫出這個圓拱所在的圓的方程．
解析：要求圓的方程，只要確定圓心的位置和半徑的大小．
第一步：以圓拱對的弦所在的直線為ｘ軸、弦的垂直平分線為y軸建立直角座標系．根據平面幾何知識可知，圓拱所在圓的圓心o必在y軸上，故可設o1（0，b）．
第二步：設圓拱所在圓的半徑為r，則圓上任意一點p（x，y）應滿足o1p＝r，即
因此，只須確定b和r的值，就能寫出圓的方程．
第三步：將點b（18.51，0），c（0，7.2）分別代入①，得解得
故趙州橋圓拱所在的圓的方程為x2＋（y＋20.19）2＝750.21．
（1）一般地，設點p（x，y）是以c（a，b）為圓心、r為半徑的圓上的任意一點，則cp＝r．
由兩點間的距離公式，得
即（x－a）2＋（y－b）2＝r2．
反過來，若點p1的座標（x1，y1）是方程①的解，
則（x1－a）2＋（y1－b）2＝r2，即
這說明點p1（x1，y1）在以c（a，b）為圓心、r為半徑的圓上．
結論：方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2叫作以（a，b）為圓心、r為半徑的圓的標準方程．
特別地，當圓心為原點o（0，0）時，圓的方程為x2＋y2＝r2．
［例題］
1. 已知兩點m（4，9），n（2，6），求以mn為直徑的圓的方程．
分析：先利用兩點間距離公式求出半徑r，然後分別將兩點的座標代入圓的標準方程，解方程組求出a，b．
2. 已知動點m（x，y）與兩個定點o（0，0），a（3，0）的距離之比為1∶2，那麼點m的座標應滿足什麼關係？請你根據這個關係，猜想動點m的軌跡方程．
解：根據題意，得
即x2－2x＋y2－3＝0
變形，得（x－1）2＋y2＝4
由方程①通過配方化為②，可知動點m的軌跡是以（1，0）為圓心、2為半徑的圓．
思考：方程x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0是否都表示圓呢？
［練習］
寫出滿足下列條件的圓的方程．
（1）圓心在原點，半徑為５．
（2）圓心在c（6，－2），經過點p（5，1）．
思考：點p（x0，y0）與（x－a）2＋（y－b）2＝r2位置關係的判斷方法是什麼？
將方程x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0配方，得，與圓的標準方程比較，可知
（1）當d2＋e2－4f＞0時，方程x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0表示以（－，－）為圓心、以為半徑的圓．
（2）當d2＋e2－4f＝0時，方程x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0只有乙個解，表示乙個點（－，－）.
（3）當d2＋e2－4f＜0時，方程x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0無實數解，不表示任何圖形．
結論：方程x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0，（d2＋e2－4f＞0）叫作圓的一般方程．
思考：（1）圓的標準方程與一般方程的特點．
圓的標準方程的優點在於它明確地指出了圓心及半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點：x2，y2的係數相同且不等於0，沒有xy這樣的項，是特殊的二元一次方程．
（2）**一般的二元一次方程：ax2＋cy2＋bxy＋dx＋ey＋f＝0表示圓的充要條件．
ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f＝0表示圓的充要條件為a＝c≠0，b＝0且d2＋e2－4f＞0．
［例題］
1. 求過三點o（0，0），m1（1，1），m2（4，2）的圓的方程，並求這個圓的半徑和圓心座標．
分析：確定圓的一般方程，只要確定方程中三個常數d，e，f，為此，用待定係數法．
解：設所求的圓的方程為x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0．
因為o，m1，m2在圓上，所以它們的座標是方程的解．把它們的座標依次代入上面的方程，得
於是，得到所求圓的方程：x2＋y2－8x＋6y＝0．
由前面的討論可知，所求的圓的半徑，圓心座標是（4，－3）．
思考：本題能否利用圓的標準方程求解？有無其他方法？
2. 已知隧道的截面是半徑為4m的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛．問：一輛寬為2.7m、高為3m的貨運車能不能駛入這個隧道？
解：以某一截面半圓的圓心為座標原點，半圓的直徑ab所在的直線為x軸，建立直角座標系如圖25.2，那麼半圓的方程為x2＋y2＝16，（y≥0）．
將x＝2.7代入，得
即離中心線2.7m處，隧道的高度低於貨車的高度．
因此，貨車不能駛入這個隧道．
思考：假設貨車的最大寬度為am，那麼貨車要駛入該隧道，限高至少為多少公尺？
［練習］
1. 求經過三點a（－1，5），b（5，5），c（6，2）的圓的方程．
2. 求過兩點a（3，1），b（－1，3）且圓心在直線3x－y－2＝0上的圓的方程．
1. 自點a（－1，4）作圓（x－2）2＋（y－3）2＝1的切線，求切線l的方程．
思考：（1）當點ａ的座標為（2，2）或（1，1）時，討論該切線l與圓的位置關係分別有什麼變化？
（2）如何判定直線與圓的位置關係的判定方法．
直線與圓的位置關係的判定常用兩種方法：
幾何法和代數法．若直線l的方程為ax＋by＋c＝0，圓c的方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2．
①幾何法
設圓心（a，b）到直線l的距離為d，則
d＞ｒl與c相離；
d＝rl與c相切；
d＜rl與c相交．
②代數法
δ＞0方程有兩個不同解方程組有兩個不同解l與c有兩個不同交點相交；δ＝0相切；δ＜０相離．
2. 若圓x2＋y2＝m與圓x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共點，求ｍ的取值範圍．
思考：如何判定圓與圓的位置關係．
圓與圓的位置關係的判定主要就是幾何法．
已知，則
d＞r1＋r2c1與c2外離；
d＝r1＋r2c1與c2相外切；
d＝｜r1－r2｜c1與c2相內切；
｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2c1與c2相交；
d＜｜r1－r2｜c1與c2內含．
3. 畫出方程：｜x｜－1＝表示的曲線．
4. 已知圓c：x2＋y2＝r2，直線l：ax＋by＝r2．當點p（a，b）在圓c上、圓c內和圓c外時，分別研究直線l與c具有怎樣的位置關係．
5. 已知：圓滿足：①截y軸所得的弦長為2；②被x軸分成兩段弧，其弧長的比為3∶1；③圓心到直線l：x－2y＝0的距離為．求該圓的方程．
這節課重點研究了圓方程的兩種表示形式，突出了利用待定係數法、幾何法來確定圓的方程，及利用圓的方程解決簡單的實際問題，對圓與直線、圓與圓位置關係稍作涉列．由於初中幾何中研究這些知識較多，所以對這些內容的**放手於學生，對學生能力的培養與鍛鍊大有好處．此外，例題和練習的選取配置較好，突出了與實際問題的聯絡，易激發學生的學習興趣．這篇案例在繼承中國傳統的「雙基」同時，著眼於在體現課程新理念上（尤其是體現新的**、自主學習理念）有所突破．
《圓的標準方程》課例
圓的標準方程 課例 第一課時 林永強蔡恆錄伏景祥 一 設計背景 圓作為常見的簡單幾何圖形，在實際生活和生產實踐中有著廣泛的應用.圓的方程 安排在高中數學第二冊 上 第七章第六節.是前面學習了直線方程 兩條直線的位置關係 曲線和方程的基礎上，讓學生學會在平面直角座標系中建立圓的代數方程，運用代數方法研...
圓的標準方程教學設計
馮芮一 教材分析 1 教學內容 普通高中課程標準實驗教科書 數學 必修2第二章平面解析幾何初步中2 2節圓與方程。本節主要研究圓的方程，直線與圓的位置關係，圓與圓的位置關係，以及他們在生活中的簡單運用。2 教材的地位與作用 圓是最簡單的曲線之一，這節教材安排在學習了直線之後，學習三大圓錐曲線之前，旨...
圓的標準方程教學設計
無錫市洛社高階中學陸莉麗郵編 214187 一 教材分析 1 教學內容 普通高中課程標準實驗教科書 數學 必修2第二章平面解析幾何初步中2 2節圓與方程。本節主要研究圓的方程，直線與圓的位置關係，圓與圓的位置關係，以及他們在生活中的簡單運用。2 教材的地位與作用 圓是最簡單的曲線之一，這節教材安排在...