一. 設計思想
圓的標準方程處於數學必修2中的最後一章的第一節，是本章的核心概念,也是解析幾何中的基本概念。圓的方程是在第三章直線方程結束後進行的，所以本節課從溫故知新入手，以直線方程為背景，按照「溫故---知新---練習---應用---小結」的順序結構，引導學生通過聯絡以前的知識，數學地提出、分析、解決新知識，在應用時以生活中的例項為背景，進一步讓學生理解數學是有用的。
二．教學目標：
1．知識與技能
通過本節知識的學習，我們將通過圓的本身特性，用代數的語言描述它，用代數的工具解決它的問題。進一步體現解析幾何的思想和待定係數法的應用。
2．過程與方法
本節內容通過對直線的方程的回憶基礎上，引導我們用方程語言刻畫圓的特徵，然後通過具體例題，思考、**、練習中的問題，再用所學的知識解決乙個實際問題。做到學以致用。
3．情感、態度與價值觀
通過本節知識的學習，將培養我們聯絡舊知識、提出問題、解決問題的**能力，進一步培養我們學習數學的興趣。
三．重點難點
重點：1.對圓的方程的理解；
2.待定係數法求圓的方程。
難點：待定係數法的掌握和應用。
四．教學過程
1、溫故：
前一章我們主要學習了直線的方程，它的各種形式，以及直線處於不同位置時直線方程所滿足的條件。那我們首先來回憶一下，我們是怎樣將直線和方程建立起聯絡的，乙個方程滿足什麼條件時，我們稱之為這個直線的方程？
學生答：直線上的點的座標（x,y）都滿足這個方程；且滿足這個方程的（x,y）都在這個直線上，這時我們稱這個方程為這個直線的方程。
那麼，我們今天的任務是學習圓的方程，你在學習圓的方程之前能否說出，什麼樣的方程才能稱之為圓的方程嗎？
學生答：圓上的點的座標（x,y）都滿足這個方程；且滿足這個方程的（x,y）都在這個圓上。
那我們就可以從這兩點出發，找出圓的方程。
2、知新
首先第一步圓上的點的座標都要滿足這個方程，也就是說這個方程就是圓上任一點座標都滿足的式子。
那我們首先要給出乙個圓，我們想得到乙個圓，要知道哪些條件？（圓心和半徑）
（1）先看乙個特殊情況：已知圓心在原點，半徑為2的圓，那麼它上面的點的座標都滿足什麼條件？
任一點（x,y）到圓心的距離都等於2也就是：
或者（2）再一般點，已知圓心在(a,b)，半徑為r的圓上的座標滿足什麼條件？
（x,y）到（a,b）的距離等於r 寫成式子就是：
或者這個式子具有代表性，任乙個圓上的點的座標都可以表示成這種形式。
其次再來考慮第二個條件，滿足這個方程的（x,y）是否一定在這個圓上呢？
答：只要（x,y）滿足這個方程，則(x,y)到（a,b）的距離就等於r，則這個點就一定在該圓上。
通過以上兩點的考證，我們非常順利地得出了圓的方程：圓心在(a,b)，半徑為r的圓的方程：
這種形式的圓的方程我們稱之為圓的標準方程。
與直線方程類似，我們接下來還要學習圓的其他形式的方程。
觀察這個標準方程，總結一下它的特點：
（1）有兩個變數x,y，形式都是與某個實數差的平方；
（2）兩個變數的係數都是1；
（3）方程的右邊是某個實數的平方，也就是一定為正數。
3、練習
我們對於剛才的結論做一些相應的練習，加深影響：練習1：根據已知條件寫出下列圓的方程：
（1） 圓心座標為（-2，1），半徑為3；
（2） 圓心為（2，-1），且過點（3，3）；
（3） 圓心為（3，1），且與直線3x-4y-6=0相切。
練習2：根據下列方程，指出圓的圓心位置以及半徑：
（1）（2）
注意：這裡的a，並不一定是半徑，半徑應該是|a|.
練習3：判斷下列點是否在圓上：
（1）a（3，0） （2）b（1,1） (3)c(2,-2)
再問：不在圓上的點是在圓內還是圓外？如何判定？
要時刻注意圓的標準方程的形式是有其重要的幾何意義的，它的左邊就表示到圓心距離的平方，所以，將點的座標代入圓的方程，如果座標等於右邊，則在圓上，若左邊大於右邊，則說明距離原點的距離大於半徑，一定是在圓外，若左邊小於右邊，則在圓內，即：
點（x,y）在圓上；
點（x,y）在圓外；
點（x,y）在圓內。
4、思考
如何確定乙個圓？除了剛才所說的乙個圓心和半徑，還有什麼？幾個點可以確定乙個圓？三個不在同一條直線上的點可以確定乙個圓。那麼給出三個點的座標：
例1：已知a(5,1),b(7,-3)，c(2,8)，則寫出過這三個點的圓的方程。
分析：相當於求三角形abc的外接圓的方程。要想寫出方程，必須知道圓心和半徑。
如何求圓心和半徑呢？根據外接圓的性質，圓心應該是三條邊的垂直平分線的交點，所以可以根據頂點座標求出垂直平分線的方程，在求出平分線的交點座標即圓心座標，在根據兩點間距離公式求半徑的長度。當然這樣做雖然很麻煩，但畢竟我們用我們以前所學的知識找到了解決問題的辦法。
那麼現在再想想，有沒有別的出路？
要求圓的方程，不如先設出它的方程來，再解出未知數。設該圓的方程為：，根據條件，三個點的座標都滿足該方程，列出式子，解出未知數：a,b,r即可。
解：設該圓的方程為，則
解出：a=2,b=-3,r=5
所以：圓的標準方程為：
這種方法在數學中很常見，叫做待定係數法。就是要求什麼就把未知數先設出來，然後根據條件列方程解出未知數來。總結就是三步：
設、列、解。這種方法易於思考，易於列式子，難點就是解未知數時，有時會遇到困難，這就需要同學們有紮實的計算和觀察能力，也需要同學們平時多多練習，數學總是熟能生巧的。
再來思考一道更加複雜一些的題目：
例2：已知圓心為c的圓經過點a(1,1)和b(2,-2)且圓心c在直線l:x-y+1=0上，求圓心為c的圓的標準方程。
分析：1、利用影象的性質，圓心一定**段ab的垂直平分線上，又已知在直線l上，所以先求出ab的垂直平分線方程，和直線l的方程聯立，解出圓心座標，在計算出半徑，即可寫出圓的標準方程。這叫數形結合法。
2、那麼利用我們剛才所學的待定係數法可以解決問題嗎？設出圓的方程，已知兩點座標代入得到兩個方程，又將圓心代入直線l的方程列乙個方程，三個方程，三個未知數，解出即可。
5、應用
下面我們來看乙個實際的問題，大家都知道我國著名的趙州橋，建於2023年，單圓拱石橋，全長64.4公尺，最大圓拱跨徑37.4公尺，拱高7.
2公尺。設計思想和建造工藝事世界石拱橋的卓越典範，它的建造是中國古代數學、物理學、工程學的結晶，體現了中國古代勞動人民的智慧型和力量。你能確定圓拱所屬圓的圓心和半徑嗎？
我們把它抽象成簡單的數學模型：
在此基礎上建立座標系，根據已知條件可以得到a,b,c,d點的座標，則利用待定係數法便可解出未知數，求出圓心座標以及半徑。
6、小結
我們今天主要學習了圓的標準方程，以及如何判斷點與圓的位置關係，如何根據已知條件求出圓的方程，在練習過程中我們還學習到了一種常用的數學方法：待定係數法，並通過練習感受到了它的作用。
五．作業設計
課本134頁習題4.1中a組題的2，3，4，6。
六．教後反思
通過本節課的學習，學生們對圓的標準方程的掌握還是達到目標的，對於待定係數法的應用，還需要進一步的練習才能熟練掌握，另外對於含字母的標準方程，描述它的圓心和半徑時還有一部分同學忘記半徑為正數的特點，在以後的教學過程中需要再次強調。
1、劉紹學主編，《普通高中課程標準實驗教科書－數學必修2》，人民教育出版社，2023年第二版；
2、劉紹學主編，《高中數學教師教學用書－數學必修2》，人民教育出版社，2023年第二版；
設計者：王琦
圓的標準方程學案
2.2圓的方程 2.2.1圓的標準方程 教學目標 1 了解確定圓的幾何要素，結合兩點間距離公式，掌握圓的標準方程的推導方法 2 可根據方程寫出圓的座標和圓的半徑 3 會用幾何法或代數法求出圓的標準方程.教學重點 結合兩點間距離公式，掌握圓的標準方程的推導方法 教學難點 會用幾何法或代數法求出圓的標準...
圓的標準方程教學設計
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