簡單線性規劃是高中數學教學的新內容之一，是解決一些**性約束條件下的線性目標函式的最值（最大值或最小值）的問題。它是運籌學的乙個重要內容，對於形成最優化思想有著重要的作用，並且在實際生產活動中也有著廣泛的應用，可以實現對資源的最佳利用。簡單線性規劃只能解決一些二元線性約束下條件下的二元函式的最值問題，但它的思想可以延伸到其他的數學最值問題的求解過程中。
簡單線性規劃的基本思想即在一定的約束條件下，通過數形結合求函式的最值。解決問題時主要是借助平面圖形，運用這一思想能夠比較有效地解決一些二元函式的最值問題。本文將從規劃思想出發來**一些高中數學中一些常見的函式最值問題。
一、 線性約束條件下線性函式的最值問題
線性約束條件下線性函式的最值問題即簡單線性規劃問題，它的線性約束條件是乙個二元一次不等式組，目標函式是乙個二元一次函式，可行域就是線性約束條件中不等式所對應的方程所表示的直線所圍成的區域，區域內的各點的點座標即簡單線性規劃的可行解，在可行解中的使得目標函式取得最大值和最小值的點的座標即簡單線性規劃的最優解。
例1 已知，，求的最大值和最小值
約束條件： ，是關於的乙個二元一次不等式組；
目標函式：，是關於的乙個二元一次函式；
可行域：是指由直線，和所圍成的乙個三角形區域（包括邊界）（如圖1）；
可行解：所有滿足（即三角形區域內（包括邊界）的點的座標）實數都是可行解；
最優解：，即可行域內一點，使得一組平行線（為引數）中的取得最大值和最小值時，所對應的點的座標就是線性規劃的最優解。
當線性約束條件中的二元一次不等式組中出現乙個二元一次方程（或一元一次方程）時，則可行域就轉變成一條線段（或一條直線，或一條射線）。
例2 已知滿足，求的最大值和最小值
約束條件：，是關於的乙個二元一次不等式組；
目標函式：，是關於的乙個二元一次函式；
可行域：是指由直線被直線和所夾的一條線段（如圖1）；
可行解：所有滿足（即線段上的點的座標）實數都是可行解；
最優解：，即可行域內一點，使得一組平行線（為引數）中的取得最大值和最小值時，所對應的點的座標就是線性規劃的最優解。
這類問題的解決，關鍵在於能夠正確理解線性約束條件所表示的幾何意義，並畫出其圖形，利用簡單線性規劃求最優解方法求出最優解及目標函式的最大值或最小值。
二、 非線性約束條件下線性函式的最值問題
高中數學中的最值問題很多可以轉化為非線性約束條件下線性函式的最值問題。它們的約束條件是乙個二元不等式組，目標函式是乙個二元一次函式，可行域是直線或曲線所圍成的圖形（或一條曲線段），區域內的各點的點座標即可行解，在可行解中的使得目標函式取得最大值和最小值的點的座標即最優解。
例3 已知滿足，，求的最大值和最小值
約束條件：，是關於的乙個二元二次方程；
目標函式：，是關於的乙個二元一次函式；
可行域：是圓上的圓周（如圖3）
可行解：所有滿足（即圓周上的點的座標）實數都是可行解；
最優解：，即可行域內一點，使得一組平行線（為引數）中的取得最大值和最小值時，所對應的點的座標就是線性規劃的最優解。
給定區間內的函式最值問題也可以看作是這類問題。
例4 求函式的最大值和最小值。
約束條件：是關於的乙個二元不等式組；
目標函式：是關於的乙個二元一次函式；
可行域：函式的圖象在直線和之間（包括端點）的部分曲線（如圖4）
可行解：所有滿足（即曲線段上的點的座標）實數都是可行解；
最優解：，即可行域內一點，使得一組平行線（為引數）中的取得最大值和最小值時，所對應的點的座標就是線性規劃的最優解。
這類問題的解決，關鍵在於能夠正確理解非線性約束條件所表達的幾何意義，並畫出其圖形，利用簡單線性規劃求最優解方法求出最優解及目標函式的最大值或最小值。
三、 線性約束條件下非線性函式的最值問題
這類問題也是高中數學中常見的問題，它也可以用線性規劃的思想來進行解決。它的約束條件是乙個二元一次不等式組，目標函式是乙個二元函式，可行域是直線所圍成的圖形（或一條線段），區域內的各點的點座標即可行解，在可行解中的使得目標函式取得最大值和最小值的點的座標即最優解。
例5 已知實數滿足不等式組，求的最小值。
約束條件：是乙個關於的乙個二元一次不等式組；
目標函式：是乙個關於的乙個二元二次函式，可以看作是一點到點的距離的平方；
可行域：是指由直線，和所圍成的乙個三角形區域（包括邊界）（如圖5）；
可行解：所有滿足（即三角形區域（包括邊界）內的點的座標）實數都是可行解；
最優解：，即可行域內一點，使得它到點的距離最小，則其距離的平方也取得最小值，此時所對應的點的座標就是最優解。
例6 實數滿足不等式組，求的最小值
約束條件：是乙個關於的乙個二元一次不等式組；
目標函式：是乙個關於的乙個二元函式，可以看作是一點與點的斜率；
可行域：是指由直線，和所圍成的乙個三角形區域（包括邊界）（如圖6）；
可行解：所有滿足（即三角形區域（包括邊界）內的點的座標）實數都是可行解；
最優解：，即可行域內一點，使得它與點的斜率取得最小值，此時所對應的點的座標就是最優解。
這類問題的解決，關鍵在於能夠正確理解非線性目標函式所表示的幾何意義，並利用圖形及非線性目標函式所表示的幾何意義求出最優解及目標函式的最大值或最小值。
四、 非線性約束條件下非線性函式的最值問題
在高中數學中還有一些常見的問題也可以用線性規劃的思想來解決，它的約束條件是乙個二元不等式組，目標函式也是乙個二元函式，可行域是由曲線或直線所圍成的圖形（或一條曲線段），區域內的各點的點座標即可行解，在可行解中的使得目標函式取得最大值和最小值的點的座標即最優解。
例7 已知滿足，求的最大值和最小值
約束條件：是乙個關於的乙個二元方程；
目標函式：是乙個關於的乙個二元函式，可以看作是一點與點的斜率；
可行域：以原點為圓心，1為半徑的在軸上方的半圓及與軸的交點（如圖7）；
可行解：所有滿足（即半圓（包括交點）上的點的座標）實數都是可行解；
最優解：，即可行域內一點，使得它與點的斜率取得最大值和最小值，此時所對應的點的座標就是最優解。
這類問題的解決，關鍵在於能夠正確理解非線性約束條件與非線性目標函式所表示的幾何意義，利用非線性約束條件作出圖形並利用非線性目標函式所表示的幾何意義求出最優解及目標函式的最大值或最小值。
利用線性規劃思想去理解高中數學中一些求最值問題，實際上是對數學形結合思想的提公升，利用線性或非線性函式的幾何意義，通過作**決最值問題。是從乙個新的角度對求最值問題的理解，對於學生最優化思想的形成是非常有益的。
應用線性規劃思想求最值
求最值問題是中學數學的重要課題，解法也多種多樣，線性規劃問題納入新教材後，有的最值問題可以用線性規劃來解決，主要體現在以下三個方面 一轉化為直線的截距的最值問題 例1 點p x,y 在橢圓上，求2x y的最值。解 令m 2x y 即目標函式 則y 2x m，它是斜率為 2，在y軸上截距為m的一組直線...
簡單線性規劃
典型例題一 例1 畫出不等式組表示的平面區域 分析 採用 法 確定不等式組每一不等式所表示的平面區域，然後求其公共部分 解 把，代入中得 不等式表示直線下方的區域 包括邊界 即位於原點的一側，同理可畫出其他兩部分，不等式組所表示的區域如圖所示 說明 法 是判別二元一次不等式所表示的區域行之有效的一種...
簡單線性規劃
第3課時 教學目標教學重點教學難點教學方法 簡單線性規劃 一 知識與技能會從實際情景中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，並能加以解決。過程與方法經歷從實際情景中抽象出不等式模型的過程，體會不等式 方程之間的關係。情感 態度體會線性規劃的基本思想，借助幾何直觀解決一些線性規劃問題。與價值觀 線性規劃問...