銳角三角函式與特殊角
一、填空題
1.(2014廣西來賓,第17題3分)如圖,rt△abc中,∠c=90°,∠b=30°,bc=6,則ab的長為 4 .
2.(2023年貴州安順,第9題3分)如圖,在rt△abc中,∠c=90°,∠a=30°,e為ab上一點且ae:eb=4:1,ef⊥ac於f,連線fb,則tan∠cfb的值等於( )
a. a b. c. d.
考點: 銳角三角函式的定義..
分析: tan∠cfb的值就是直角△bcf中,bc與cf的比值,設bc=x,則bc與cf就可以用x表示出來.就可以求解.
解答: 解:根據題意:在rt△abc中,∠c=90°,∠a=30°,
∵ef⊥ac,
∴ef∥bc,
∴∵ae:eb=4:1,
∴=5,
∴=,設ab=2x,則bc=x,ac=x.
∴在rt△cfb中有cf=x,bc=x.
則tan∠cfb==.
故選c.
點評: 本題考查銳角三角函式的概念:在直角三角形中,正弦等於對比斜;余弦等於鄰邊比斜邊;正切等於對邊比鄰邊.3.
二、填空題
1.(2023年廣西南寧,第17題3分)如圖,一漁船由西往東航行,在a點測得海島c位於北偏東40°的方向,前進20海浬到達b點,此時,測得海島c位於北偏東30°的方向,則海島c到航線ab的距離cd等於 10 海浬.
考點: 解直角三角形的應用-方向角問題..
分析: 根據方向角的定義及餘角的性質求出∠cad=30°,∠cbd=60°,再由三角形外角的性質得到∠cad=30°=∠acb,根據等角對等邊得出ab=bc=20,然後解rt△bcd,求出cd即可.
解答: 解:根據題意可知∠cad=30°,∠cbd=60°,
∵∠cbd=∠cad+∠acb,
∴∠cad=30°=∠acb,
∴ab=bc=20海浬,
在rt△cbd中,∠bdc=90°,∠dbc=60°,sin∠dbc=,
∴sin60°=,
∴cd=12×sin60°=20×=10海浬,
故答案為:10.
點評: 本題考查了解直角三角形的應用,難度適中.解一般三角形,求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題,解決的方法就是作高線.
2.(2014攀枝花,第14題4分)在△abc中,如果∠a、∠b滿足|tana﹣1|+(cosb﹣)2=0,那麼∠c= 75° .3.
三、解答題
1.(2023年廣西欽州,第24題9分)如圖,在電線桿cd上的c處引拉線ce、cf固定電線桿,拉線ce和地面所成的角∠ced=60°,在離電線桿6公尺的b處安置高為1.5公尺的測角儀ab,在a處測得電線桿上c處的仰角為30°,求拉線ce的長(結果保留小數點後一位,參考資料:≈1.
41,≈1.73).
考點: 解直角三角形的應用-仰角俯角問題.
分析: 由題意可先過點a作ah⊥cd於h.在rt△ach中,可求出ch,進而cd=ch+hd=ch+ab,再在rt△ced中,求出ce的長.
解答: 解:過點a作ah⊥cd,垂足為h,
由題意可知四邊形abdh為矩形,∠cah=30°,
∴ab=dh=1.5,bd=ah=6,
在rt△ach中,tan∠cah=,
∴ch=ahtan∠cah,
∴ch=ahtan∠cah=6tan30°=6×(公尺),
∵dh=1.5,∴cd=2+1.5,
在rt△cde中,
∵∠ced=60°,sin∠ced=,
∴ce==4+≈5.7(公尺),
答:拉線ce的長約為5.7公尺.
點評: 此題主要考查解直角三角形的應用.要求學生借助仰角關係構造直角三角形,並結合圖形利用三角函式解直角三角形.
2.(2014貴州黔西南州, 第21題6分)(1)計算:()﹣2+(π﹣2014)0+sin60°+|﹣2|.
3.(2014四川成都,第15題6分)(1)計算:﹣4sin30°+(2014﹣π)0﹣22.
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