解反比例應用題的反思

用反比例解應用題一課有這樣的例題：「一艘輪船每小時航行20千公尺，6小時可以到達目的地。如果要5小時到達，每小時應該航行多少千公尺?」

思考：速度×時間=路程，兩地間的路程一定，所以輪船航行時間與速度成反比例。

解：設每小時應航行z千公尺。

5x=20×6

5x=120

x=24

答：每小時應航行24千公尺。

學習這個例題後，幾名學生向我提出疑問：「這樣解題我們早就會了，為什麼叫『用反比例解應用題』?列方程的依據不就是左右兩邊都是速度×時間，也就是到達目的地的路程，這裡看不出比例的存在呀?

」我仔細思考他們的話，覺得也有一定道理。是呀，這個方程的列式依據很好解釋，也不一定要用反比例來解釋呀。這裡好像有點故弄玄虛，用反比例解應用題是否欠妥?

站在學生的立場，我進行了反思。

一、比例的實質是什麼?

比例的實質是兩種量之間存在著一種變化關係，在變化中又存在某種量不變。因此，正反比例的概念有兩個值得關注的地方：一是關注「變化」；二是關注「不變」。

首先看「變化」：成正比例關係的兩種量，一種量擴大(或縮小)幾倍，另一種量也擴大(或縮小)相同的倍數，因為這兩種量的變化方向相同，所以稱之為正比例。如單價一定時，件數與總價成正比，那麼若件數之比為a：

b，總價之比也是a：b，即件數甲：件數乙=總價甲：

總價乙。成反比例關係的兩種量，一種量擴大(或縮小)幾倍，另一種量反而縮小(或擴大)相同的倍數，因為這兩種量的變化方向正好相反，所以稱之為反比例。從名稱中的「反比」來考慮，反比例不就是「反過來，顛倒」的比嗎?

即在路程相同的情況下，速度比與時間比正好相反。如速度的比為a：b，時間比為b：

a，即速度甲：速度乙=時間乙：時間甲。

再看「不變」：成正比例關係的兩種量的比值(商)不變，成反比例關係的兩種量的積不變。

二、教材關注什麼?

書本似乎更關注「不變」。書本正比例用比值(商)一定來定義正比例的兩種量。如「總價/數量＝單價(一定)」，說明單價一定時，總價與數量成正比例，在解正比例應用題時自然也用了「總價甲：

件數甲=總價乙：件數乙」這個比例式。而反比例卻用積一定來定義，如速度×時間=路程(一定)表示路程一定時，速度與時間成反比例，解反比例也用了速度甲×時間甲=速度乙×時間乙：

這個式子。

三、學生關注什麼?

從學生「這裡看不出比例的存在」的話中，可以看出學生不接受書本這種表示方法，他們關注的是比例式的存在，更接受「反過來，顛倒」的比。學生認為正比例、反比例應該是比例的兩種表現形式，比例和正比例用a：b=c：

d表示，那麼反比例也應該用a：b=c：d的形式表示。

建構主義認為：「學習不是由教師把知識簡單地傳遞給學生，而是由學生自己建構知識的過程。」用比例式來表示反比例，更有利於學生建立反比例的概念。

否則，從小學生的角度看，正比例是比例，而反比例就不是比例了。

四、比例的價值是什麼?

學習比例的價值何在?我認為根據比例關係中兩個量的三個資料來求出第四個資料，是低層次思維，更主要的是根據一種量的變化**另一種量的變化。而反用「乘積」的形式，只侷限於已知兩個量中的三個資料，求出另乙個未知的資料(如上面例題)。

對於根據一種量的變化**另一種量的變化規律，有一定難度，但若用「反過來，顛倒」的比來表示，則變得得心應手。

如：「一艘輪船沿長江往返於武漢——九江兩地，從武漢到九江順水而下，每小時行駛36千公尺；從九江到武漢逆水而上，每小時行駛24千公尺。這艘輪船往返一次共用了小時，武漢——九江的水上航程共多少千公尺？

思考：路程一定，速度與時間成反比例。因此，往返速度比為36：24即3：2，往返所用時間比就是2：3，由此，再用按比例分配就可求出往返各用的時間。

×﹦（小時）

36×﹦264（千公尺）

答：武漢——九江的水上航程共264千公尺。

基於以上幾點，我認為，站在學生理解的角度和比例的價值上考慮，反比例還是用「反過來，顛倒」的比例式來表示為好。