曹江泉使學生學會學習、學會研究是現代最根本的教育觀念，數學作為一門主要學科無疑也承擔著這一任務。因此在數學知識的傳授過程之中重視引導學生去發現、去研究，培養學生分析問題解決問題的能力。但解題作為數學的主要任務和目的，對解題過程的反思以及包括題目在內的探索則更應成為學生學習的良好品質。
作為一名學生也只有在解題的過程之中不斷地注意反思和探索，才能學會學習、學會研究。
那麼，應該如何引導學生在解題之後進行反思和探索呢？下面筆者謹以教學中的乙個案例，進行分析、**。
【問題】：在數列中，，（），試探索，，…，是什麼數列?
一、適當引導，讓學生根據已有的知識和方法進行求解。
解決問題，老師不能簡單地演示，更多的應是點燃學生思維的火花，讓學生在自己動手的過程之中，鞏固知識、鍛鍊思維、培養能力。因此，我在給出上述問題之後，只是向學生提出了乙個簡單的問題：「我們探索，，…，是什麼數列一般採用什麼方法呢？
」。學生在經過短暫的思考和交流之後，一致認為採用由「特殊到一般」的方法，並且很快就找到了結論：
根據題目的條件可以依次求得
…………………
因此可以推測，，…，是乙個公比為4的等比數列。
學生並沒有想到對上述結論進行證明，此時教師再次進行引導：上述結論是大家根據數列的前3項歸納得出的，那麼對於後面的各項來講，結論是否一定成立呢？我們可以採用什麼方法來說明？
學生發現不可能列出所有的項，因此想到了證明的方法：
證明：當時，。
所以數列，，…，是等比數列。
本題的求解，至少有三點已經給學生留下了深刻的印象，一是研究問題可以採用「由特殊到一般」的方法；二是推測的結論還需要進行證明；三是證明數列為等比數列通常是依據等比數列的定義。
二、及時點撥，讓學生對照問題和求解進行反思。
解決問題是數學的靈魂，但如果對一道問題僅滿足於完整的求解，那我們就會失去許多寶貴的東西，而且也不利於學生自我學習、自我研究能力的培養。因此，按照慣例在解題結束之後，我又向學生提出了要求：請大家對照本題及其求解過程進行反思。
學生在初步回顧解題過程之後發現：證明數列，，…，是等比數列，並沒有用到條件。
此時，及時的點撥應該是：這是否預示著我們可以把條件去掉呢？
學生立即陷入了沉思，並且積極地進行了**與交流：
「用和代替了條件之後，數列，，…，還是乙個公比為4的等比數列。」
「好象可以把條件去掉。」
「那為什麼題目又要寫出條件呢？」
「沒有條件，怎能求出，，…？」
「可是在證明的時候，我們確實沒有用到條件啊！」
…………………
這時，再進行必要的提示：我們要注意，等比數列中的各項是不能為0的！
學生恍然大悟，並且很快得出：當時，。至此，大家認識到：只有當時，數列，，…，才是等比數列。
學生理解了為什麼要寫，也懂得了可以把換成，但卻沒有想到上面的證明過程不夠嚴謹。這時我再次進行點撥：既然不能簡單地把去掉，既然必須為非零實數，那麼在解題的過程之中，我們就應當首先說明當時，數列，，…，的各項均不為0，這是解題嚴謹性的要求。
同學們能說明在時，數列，，…，的各項不等於0嗎？
學生經過一番討論思考之後，終於找到了反證法：
假設在，，…，中存在某一項（）
因為，所以。
當時，。顯然矛盾，所以。
當時，因為有，從而就得到。
又因為，所以。
依此類推，最終可推到，這又與矛盾。
所以在，，…，中，所有的項均不為0。
通過上面的點撥反思，學生至少又有了三點收穫：第一，養成了解題反思的習慣；第二，注意到等比數列各項不能為0這個關鍵要求；第三，懂得了解題要嚴謹。
三、順勢利導，讓學生在解題和反思之後再行探索
數學教學就在於調動學生的思維，在學生思維活躍的時候再設情境，使學生更進一步。對上述問題的求解和反思，不能讓學生就此收兵，而是就著學生的思維再行引導：剛才，我們對問題的條件進行了非常完整的反思，我們知道只要為非零實數，當時，數列，，…，就是乙個公比為4的等比數列。
這裡，為什麼公比是4呢？它與題中的哪乙個因素有關係呢？
這麼一導，學生自然就注意到題中的條件，並且意識到公比4與3有很大的關係。因此，大家又按照先前的方法展開了探索：
首先，用2和-2代替了條件中的3，發現公比變為3和-1。因此，大家就得到結論：當時，公比。並且進行了證明（思維的嚴密性加強了）：
其次，大家又研究發現。因為當時，。
最終，又從，得出了。
這時，再向學生丟擲乙個問題：同學們能編出一道更具一般性的習題，並給出完整的解答嗎？
這對學生來講已是水到渠成的事啦：
【習題】：在數列中，已知，且，其中且。求證：數列，，…，是乙個公比為的等比數列。
證明：首先證明在數列，，…，中各項均不為0。
假設在，，…，中存在某一項（）
因為，且，所以。
當時，。顯然矛盾，所以。
當時，因為有，從而就得到。
又因為，且，所以。
依此類推，最終可推到，這又與矛盾。
所以在，，…，中，所有的項均不為0。
其次證明數列，，…，是等比數列。
因為，所以
當時，又因為，所以
所以，數列，，…，是個公比為的等比數列。
至此，學生的思維就在解題以及解題後的反思、探索過程之中得到了很好的培養和鍛鍊。學生既深刻認識到等比數列的有關性質，又學會了在解題之後如何反思、如何探索，學會了學習、學會了研究，同時也體驗到數學的魅力！
注：曹江泉，學校副校長，中學一級教師，如皋市級骨幹教師，曾獲南通市教學比武一等獎，南通市德育先進工作者，江蘇省德育科研先進個人，為我校德育管理工作作出重大貢獻。本文於2023年4月獲南通市職教學會**評比三等獎。
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