——深圳市寶安區西鄉中心小學基地專題研討學習資料
程廣文1 宋乃慶2
（1. 泉州師範學院教務處，福建泉州 362000；2. 西南師範大學基礎教育研究中心，重慶北碚 400715）
「案例是教學理論的故鄉。」［1］這個觀點從兩個方面得來：第一，教學理論應該是一種「形而下」的理論，教學理論是為教學實踐服務的，離開了這個前提的「理論」不能稱之為「教學理論」；第二，教學理論**於教學實踐，實踐是教學理論的唯一**，而案例則是數學教學實踐的摹寫，摹寫案例的目的在於把數學教學實踐中的教育學問題突出出來，以便更清楚地認識問題本質。
不難明白，這兩個方面是乙個雙向建構的過程。數學課堂教學活動主要包括教學主體、教學內容、教學方式和教學結果。以下四個案例分別從上述四個方面反映了數學課堂教學實踐層次上的特徵，同時也從一定的角度提出了研究者關於這四個階段的觀點和思考。
我們對它們進行反思，目的在於從中可以得到一些啟示。舒爾曼說過，「案例並非是簡單地對乙個教學事件的報告，稱其為案例是因為在於提出一項理論主張……」［2］四個案例中有三個是從數學課堂第一線收集來的，另乙個則來自課堂實錄。這些案例雖然是個別的，但是它們所反映出的數學教學特徵在數學教學實踐中仍然具有一定的代表性，可以說只要走進數學課堂就可以看到案例中的情境。
一、教學主體：以教師思維代替學生思維而忘卻學生的存在
案例1：「分式」概念教學
［開始上課之前］
t：［板書］根據題目意思列出代數式：
甲2小時做x個零件，乙每小時比甲少做6個零件。
1． 乙每小時做個零件；
2． 甲乙合作小時共做個零件；
3． 甲用m小時可做個零件；
4． 甲做60個零件需小時；
5． 甲乙合作y個零件需小時。
§ 9．1 分式
例1 x取什麼值時，下列分式有意義。
（1）；（2）。
［開始上課］
t：我們看填空題。（全班一起回答。）
（1）x－6；（2）；（3）mx；
（4）；（5）。
t：觀察這五個答案，上述五個答案中（4）、（5）與前三個答案有什麼不一樣？
s1：（4）、（5）中有分數線。
t：中也有分數線。
s2：分母中含有字母。
t：對了，主要是分母含有字母。
t：像這樣的式子，我們叫做分式。
（板書：分式定義）。
t：在課堂本子上，舉幾個分式的例子。
s：（開始做作業）
（注：t表示教師；s表示學生；sk表示第ｋ個學生；s表示全班學生。）
這節課主要是對分式概念進行教學。在教學進行之前，教師精心地設計了乙個工程問題為分式教學進行鋪墊。這個鋪墊對分式的學習是有很大幫助的，具有較高的教學價值。
鋪墊後的教學有兩個關鍵之處：第一是教師的提問，「t：觀察這五個答案，上述五個答案中（4）、（5）與前三個答案有什麼不一樣」；第二是教師對s2的回答「分母中含有字母」的後繼處理（教學）。
而恰恰在這兩個關鍵之處教師都「忘記了學生」。例如，教師的第乙個提問，試圖讓學生從「（1）x－6；（2）；（3）mx；（4）；
（5）」這樣五個代數式中區別出分式來，但是教師所提出的問題中已經「不由自主」地區別了，說（4）、（5）「與前三個答案有什麼不一樣」，這樣提出問題使得提問的價值大為降低。首先要求學生從形式上辨別出「分式」，並且是採取比較的方式，有比較才有鑑別，教師出發點非常好，但是作為以區別分式為出發點的比較應讓學生自己採用分類的方法區別開來。換句話說，如果教師讓學生先觀察這五個代數式然後進行分類緊接著做比較從而讓學生把分式的根本特徵概括出來，這樣分式概念的教學前的鋪墊就發揮了充分作用。
把本該由學生思考的東西卻由教師代為思考了，那麼教師為誰而教？學生在**？其次，在實際教學中，當s2把教師希望提的問題的答案「分母中含有字母」說出之後，教師立即給出分式的定義並在黑板上板書。
乙個學生知道了教師的問題的答案並不意味著大部分學生都清楚了問題所在。更何況，還不能真正清楚s2的答案是否表明s2對問題的認識，從s1的回答足以看出這一點，更不能斷定整個班級的其他60多個學生的情況了。此處，足見教師在提出問題後已經「迫不及待」等候著學生的答案了，似乎顯得教師提出問題就是為了這個答案而已，而忘記了作為教學過程的目的在於使得全班學生都達到理解和認同。
二、教學內容：數學教學中以數學操作代替數學理解
案例2：「表示式」例題教學
例：已知x＝，y＝3－2t，用含x的表示式表示y。
教師這樣開始教學：題目要求我們用含x的表示式表示y，那麼，第一步，我們可以從式子x＝中得到（1＋t）x＝1－t。整理，得t（1＋x）＝1－x。
從中求出t，得t＝。第二步，將這個t＝代入y＝3－2t中，得y＝3－2×。整理，得y＝。
這樣這個題目就算講解完了。
上述數學解題教學，教師是直接「講解」「數學理解的表達形式」，而不是「講解」「數學理解」本身。這種形式的教學是一種「數學操作」，是一種操作性教學，不是真正意義上的教學。真正意義上的教學是具有生成意義的，沒有生成意義的教學充其量算是一種「訓練」。
不可否認，數學教學首要的是對數學知識的掌握，但是知識的掌握並非絕對地要通過「訓練」方式才能掌握，何況數學是思而至知的學問，它的學習和掌握需要理解，沒有理解的「訓練」不能從真正意義上獲得數學知識。如果教師從問題的結論開始和學生一起分析，從什麼是「用含x的表示式表示y」這一問題開始，讓學生對這句話的數學語義理解了，學生就比較容易找到問題的解決思路和途徑。懂了「用含x的表示式表示y」就可以理解「x＝」和「y＝3－2t」，進而理解「t＝」，問題也就解決了。
三、教學方式：數學課堂上出現形式化教學
案例3：「三角形中位線」課錄節選［3］
t：同學們，今天上第36節課──三角形的中位線（邊講邊板書，學生記在作業本上）。1． 什麼叫做三角形的中位線？
（教師板書學生記。）請同學們先看書，再齊讀。（全班齊讀三角形的中位線定義，師在黑板上畫△abc，如圖1）
圖1t：請指出△abc的中位線。
s1：在ab上找到中點d，在ac上找到中點e，連線de。de就是△abc的中位線。
t：同學們，s1說得對嗎？
s（齊答）：對！
t：三角形的中位線是直線，是射線，還是線段呢？請s2回答。
s2：線段。
t：是一條什麼樣的線段？
s2：是一條連線三角形兩邊的中點的線段。
t：講得好。三角形的中位線是一條線段，它的兩個端點是三角形兩邊的中點。除了de，還有哪些線段是三角形的中位線呢？請s3回答。
s3：有。還有bc的中點與其他任一邊上的中點的連線。
（師在圖1上作ef，df。）
t：對了，df、ef也是三角形的中位線。請同學們看課本第155頁上的第一行，這裡說三角形的中位線和三角形的中線不同，請問：不同在**？（見s4舉手。）請s4回答。
s4：中線是連線三角形乙個頂點和它的對邊的中點的線段。
t：對了，雖然它們都是線段，但它們連線的點不同。中位線是連線兩邊中點的線段，而中線是連線乙個頂點和它的對邊的中點的線段。（邊畫圖2，邊說明。）
圖2這是一節概念課教學。如果說概念的認知順序是先「過程」再「物件」的話，那麼在這節課中，「中位線」概念的教學順序則只有「物件」沒有「過程」。概念的認知順序需要有過程性，原因在於「概念在過程階段表現為一系列的固定步驟，具有操作性，相對直觀，容易仿效學會」。
［4］從教學片段看，教學僅僅停留在「物件」──中位線的定義上，而缺乏「過程」。關於中位線定義，教師教學有這樣三個階段，第一階段是「讀」，讓學生「讀」中位線的定義，在教學中教師提出「什麼叫做三角形的中位線」並且「教師板書學生記」，然後「請同學們先看書，再齊讀」，「全班齊讀三角形的中位線定義」時教師「在黑板上畫」；第二個階段是「識」，讓學生根據「讀」來識別三角形中哪條線段是中位線，在教學中教師「請s2指出△abc的中位線」；第三個階段是「辨」，讓學生根據「讀」和「識」的結果和感受辨別中位線和中線的區別，教師的教學行為是提出「三角形的中位線是直線，是射線，還是線段呢」和「請同學們看課本第155頁上的第一行，這裡說三角形的中位線和三角形的中線不同，請問不同在**」。教學停留在中位線定義的文字上，沒有從中位線的形成著手，也沒有把中位線在幾何中的地位和作用說明清楚。
三角形中位線在幾何題證明中中點的作用最大，教學中若強調中點比強調定義的文字和形式更節約時間也更能把重點突出出來，教學還更清晰。
四、教學結果：對數學理解中的自動化行為缺乏教育學反思
案例4：「有理數運算」應用題教學
例：一批麵粉10包，每包標準重量為25 kg，通過稱量，發現這10包與標準線位置的差如下表：
求這批麵粉的總重量。
教師的講解如下。
解：求代數和
（＋1）＋（－0．5）＋（－1．5）＋（0．75）＋（－0．25）＋（＋1．5）＋（－1）＋（＋0．5）＋0＋（＋0．5）＝1，我們可以求得總重量就是：
25×10＋1＝251（kg）。
這是一節初中一年級數學課中的一部分。從數學的角度來看，整道題的求解無懈可擊。但是在實際課堂上這裡有兩個地方教師沒有向學生交代清楚：
第一是例題中**裡的正負號的意義。正號表示超過標準重量的意思，（＋1）就是表示超出標準重量1 kg，也就是這包麵粉的重量為26 kg；負號表示低於標準重量的意思，（－1）就表示低於標準重量1 kg，也就是這包麵粉重量為24 kg。這也能加深學生對正負數的概念的理解，並且是結合實際意義進行理解。
所以，這個解釋很重要。第二是例題講解中對「25×10＋1＝251（kg）」中「25×10」的理解。「25×10」是乙個抽象的算式，25 kg是乙個觀念中的重量，因此教師應該把這一點向初一的學生講解清楚，而實際教學中教師沒有做到。
本人在課堂上就抽了三個學生詢問了一下，沒有學生知道這是為什麼。
任何學科的教學都要求在該學科上有一定專業化程度的人進行教學工作。教師的學科專業化在教育學上的意義是十分明確的，沒有一定的相對於所教學的內容而言層次較高的知識做準備的教師是無法在這個層次上進行該學科的教學的，數學教學尤為如此。但是，在課堂教學中教師的專業化程度越高，對數學的理解就越具有高度的自動化，從而使得對學生的數學學習狀況不理解，甚至不理解學生。
例如，我們常常聽到一線的教師這樣說，我講得最清楚不過了，他就是聽不懂，他就是做不來題目。同乙個數學問題，對教師理解起來容易，但對學生理解起來太難；在教師看來是那樣的顯而易見，但對學生來說卻很艱難。所以很多時候還需要我們廣大教師好好反思一下。
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