圓的證明與計算系列
《弧中點的運用》教學案
武漢市常碼頭中學陳建潭
教學目標：
1、 知道過弧中點作圓的切線得到的基本圖形以及相關基本結論；
2、 會利用該基本圖形中的結論（性質）進行計算；
3、 通過變式尋求基本圖形的性質，從而探求一般解法，培養學生分析問題、解決問題的能力；
4、 在變式過程中養成**的習慣，增強學習數學的信心
教學重點：利用基本圖形、基本結論進行計算
教學難點：結合基本圖形歸納基本方法
教學過程：
一、 **性質
活動1 (1) 如圖1，ab是⊙o的直徑，ac是⊙o的弦，d為弧bc的中點，過點d作⊙o的切線交ac的延長線於點e.
1 de與ae有何位置關係？證明你的結論.
2 連線bc，de與bc有何關係？證明你的結論.
3 求證：2ae=ac+ab.
4 連線ad、bd，求證；ad2=aeab.
(2) 如圖2，設切線de交ab的延長線於f，連線bd並延長交ae的延長線於m，連od.
1 ab與am有何數量關係？為什麼？dm與db呢？ce與me呢？
2 由od∥ae，可得△odf～△aef嗎？
3 △mdc與△mab相似嗎？為什麼？
【設計思路】涉及弧的中點一般有三種用法：一是等弧對等弦；二是構造弧所對的圓周角的平分線；三是由垂徑定理構造矩形。
二、 尋求解法
活動2 在圖1中，（1）已知de=3，ce=1，求ab 的長.
分析：連 od交bc於g，則四邊形 decg為矩形，在rt△obg中由勾股定理可求出⊙o的半徑.
(2)已知：ad=,bc=6,求s△abd.
分析：，可求ae=9,再由△ade～△abd,求得ab=10,所以bd=,
得到s△abd=15.
歸納：1、在圖中選擇適當的直角三角形運用勾股定理是解決圓中計算的常用方法；
2、相似三角形的證明與運用解決圓中計算問題的又一常用方法。
活動3 在圖2中，（1）已知ae=9,ef=12, 求 bc的長.
分析：先求af=15,由△odf～△aef,得出，設od=3x,df=4x,則of=5x,於是. 再由.
(2)設ad交bc於n，已知ab=15,df=10, 求 cn的長.
分析：先求△odf～△aef，求ef=16,得出de=6.
由bc∥ef,得.
歸納：1、在rt△odf中運用勾股定理；
2、發現並充分利用△odf～△aef；
3、利用bc∥ef, 得到比例式.
三、拓展訓練
1、在圖1中，已知⊙o的半徑為5，ad=，求ce的長.
2、在圖2中，已知df=5，de=3，求s△dem.
3、在圖2中，已知. 求⊙o的半徑以及ef的長.
圓的計算與證明
經典例題 例1 如圖，為 的弦，於，且，求證 是 的切線 例2 已知是 的直徑，是 的切線，平行於弦，過點作於點是否相等？證明你的結論 例3 如圖，已知 外一點引兩條切線在上任取一點，作，例4 如圖，已知兩個半圓，大圓的弦與小圓相切，且 求圓中陰影部分面積 例5 如圖，已知弦在乙個以為直徑的半圓上滑...
圓的證明與計算
1 已知 abc內接於 o，bt與 o相切於點b，點p在直線ab上，過點p作bc的平行線交直線bt於點e，交直線ac於點f。1 如圖，當點p 段ab上時，求證 pa pb pe pf.2 若ab cos eba 1 3,求 o的半徑.2 如圖，abc中，ab 5，ac 6，bc 7.1 求sina和...
圓的計算與證明
經典例題 例1 如圖，兩等圓 交於，且其中每乙個圓都經過另乙個圓的圓心，正方形的四個頂點分別在弧上，若圓的半徑為，求正方形的面積 例2 中，的中點，求證 例3 如圖，已知四邊形內接於直徑為3的 對角線是直徑，對角線和弦的交點是，且，求四邊形的周長 例4 如圖，中，點在的延長線上，且 的外接圓與 的外...