【本講教育資訊】
一、教學內容：
你能證明它們嗎及直角三角形
二、知識點
1、公理
（1）兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行；
（2）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；
（3）兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等； （sas）
（4）兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等； （asa）
（5）三邊對應相等的兩個三角形全等； （sss）
（6）全等三角形的對應邊相等，對應角相等
2、推論
兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等.（aas）
3、定理
（1）等腰三角形性質定理
等腰三角形的兩個底角相等. （等邊對等角）
等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上的高三條線重合（三線合一）
（2）等腰三角形的判定定理
有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）
（3）等邊三角形的判定定理
有乙個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形
三個角都相等的三角形是等邊三角形
三條邊都相等的三角形是等邊三角形
（4）直角三角形相關定理
在三角形中，如果一條直角邊等於斜邊的一半，那麼這條直角邊所對的銳角等於30°
直角三角形中，30°角所對的直角邊等於斜邊的一半
勾股定理及其逆定理
直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方
如果三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形是直角三角形
斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（hl）
（5）互逆命題和互逆定理：
兩個定理的條件和結論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個定理的結論，結論是第二個定理的條件.
在兩個命題中，如果乙個命題條件和結論分別是另乙個命題的結論和條件，那麼這兩個命題稱為互逆命題，其中乙個命題稱為另乙個命題的逆命題，相對於逆命題來說，另乙個就為原命題.
三、重點難點
重點：1. 等腰三角形的性質定理和判定定理
2. 等邊三角形的判定
3. 直角三角形的性質定理和判定定理
難點：明確推理證明的基本要求如明確條件和結論，能否用數學語言正確表達等。探求證明思路，特別是反證法的思路含義.
四、考點分析
本節知識是中考命題的重要內容，主要考查等腰三角形，直角三角形的性質定理及判定定理的運用和證明，在各類題中都可以出現。
【典型例題】
例1、已知：如圖，∠a=∠d，∠b=∠e，bc=ef.
求證：△abc≌△def.
證明：∵∠a=∠d，∠b=∠e（已知），
又∠a+∠b+∠c=180°，∠d+∠e+∠f=180°（三角形內角和等於180°），
∴∠c=180°－（∠a+∠b），
∠f=180°－（∠d+∠e），
∴∠c=∠f（等量代換）。
又bc=ef（已知），
∴△abc≌△def（asa）。
例2、已知：如圖，在△abc中，ab=ac，bd、ce是△abc的角平分線.
求證：bd=ce.
證法1：∵ab=ac，
∴∠abc=∠acb（等邊對等角）.
∵∠1=∠abc，∠2=∠abc，
∴∠1=∠2.
在△bdc和△ceb中，
∠acb=∠abc，bc=cb，∠1=∠2.
∴△bdc≌△ceb（asa）.
∴bd=ce（全等三角形的對應邊相等）
證法2：∵ab=ac，
∴∠abc=∠acb.
又∵∠3=∠4.
在△abd和△ace中，
∠3=∠4，ab=ac，∠a=∠a.
∴△abd≌△ace（asa）.
∴bd=ce（全等三角形的對應邊相等）.
例3、已知：如圖，在rt△abc中，∠c=90°，∠bac=30°.
求證：bc=ab.
分析：從三角尺的拼擺過程中得到啟發，延長bc至d，使cd=bc，連線ad.
證明：在△abc中，∠acb=90°，∠bac=30°，∠b=60°.
延長bc至d，使cd=bc，連線ad（如圖所示）.
∵∠acb=90°∴∠acd=90°
∵ac=ac，∴△abc≌△adc（sas）.
∴ab=ad（全等三角形的對應邊相等）.
∴△abd是等邊三角形（有乙個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）.
∴bc=bd=ab.
例4、已知：如圖：在△abc中，ab2+ac2＝bc2
求證：△abc是直角三角形.
分析：要從邊的關係，推出∠a＝90°是不容易的，如果能借助於△abc與乙個直角三角形全等，而得到∠a與對應角（構造的三角形的直角）相等，即可證.
證明：作rt△a′b′c′，使∠a′＝90°，a′b′＝ab，a′c′＝ac（如圖），
則a′b′2＋a′c′2= b′c′2.（勾股定理）.
∵ab2＋ac2＝bc2，a′b′＝ab，a′c′=ac
∴bc2＝b′c′2
∴bc＝b′c′
∴△abc≌△a′b′c′（sss）
∴∠a＝∠a′＝90°（全等三角形的對應角相等）.
因此，△abc是直角三角形.
例5、如圖，在已知∠aob的兩邊上分別取點m，n，使om=on，再過點m作oa的垂線，過點n作ob的垂線，兩垂線交於點p，那麼射線op就是∠aob的平分線.
求證：∠aop=∠bop.
證明：∵ mp⊥oa，np⊥ob，
∴∠omp= ∠onp=90°.
在rt△omp和rt△onp中，
∵op=op，om=on.
∴rt△omp≌rt△onp（hl定理）.
∠aop=∠bop（全等三角形的對應角相等）.
例6、已知：rt△abc和rt△a'b ' c'，∠c=∠c'=90°，bc=b'c'，bd、b'd'分別是ac、a'c'邊上的中線且bd=b'd' （如圖）.
求證：rt△abc≌rt△a'b'c'.
證明：在rt△bdc和rt△b'd'c'中，
∵bd=b'd'，bc=b'c'，
∴rt△bdc≌rt△b 'd 'c ' （hl定理）.
cd=c'd'.
又∵ac=2cd，a 'c '=2c 'd '，∴ac=a'c'.
∴在rt△abc和rt△a 'b 'c '中，
∵bc=b'c '，∠c=∠c '=90°，ac=a'c '，
∴rt△abc≌rt△a'b'c（sas）.
【方法總結】
在證明過程中，感受證明過程，掌握推理證明的基本要求，明確條件和結論，借助數學符號語言從中獲取嚴格的證明思路。
【預習導學方案】
線段的垂直平分線
（一）預習前知
1. 線段垂直平分線的性質，利用尺規畫線段的垂直平分線，畫出三角形三邊的垂直平分線，它們交於同一點嗎？
2. 直角三角形的斜邊中線有什麼性質？
（二）預習導學如圖，
1、a、b表示兩個倉庫，要在a、b一側的河岸邊建造乙個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應建在什麼位置？
反思：線段的垂直平分線有什麼性質？
2、觀察下列各圖，在不同型別的三角形中的三邊的線段垂直平分線的交點位置有什麼不同？
反思：三角形三邊的線段、垂直平分線的交點到三邊的距離有什麼關係？
【模擬試題】（答題時間：60分鐘）
一、填空題
1. 在△abc中，ab＝ac，∠a＝44°，則∠b度.
2. 已知等腰三角形兩條邊的長分別是3和6，則它的周長等於
*3. 如圖，已知ab＝ac，fd⊥bc於d，de⊥ab於e，若∠afd＝145°，則∠edf
4. 等腰直角三角形中，若斜邊為16，則直角邊的長為 .
5. 如圖，在△abc和△abd中，∠c=∠d=90°，若利用「aas」證明△abc≌△abd，則需要加條件或若利用「hl」證明△abc≌△abd，則需要加條件或
二、選擇題
6. 乙個正三角形的邊長為a，它的高是（ ）
a. ab. ac. ad. a
7. 在△abc內部取一點p使得點p到△abc的三邊距離相等，則點p應是△abc的哪三條線的交點
a. 高b. 角平分線 c. 中線d. 邊的垂直平分線
8. 如圖，△abc中，ac＝bc，直線l經過點c，則 （ ）
a. l垂直abb. l平分ab
c. l垂直平分abd. l與ab的關係不能確定
9. 等腰三角形的對稱軸有（ ）
a. 1條b. 2條c. 3條d. 1條或3條
*10. 三角形一腰上的高與底邊的夾角為45°，則這個三角形是（ ）
a. 銳角三角形 b. 鈍角三角形 c. 等邊三角形 d. 等腰直角三角形
三、解答題
11. 已知：如圖，點d是△abc內一點，ab＝ac，∠1＝∠2. 求證：ad平分∠bac.
*12. 如圖，若∠a＝15°，ab=bc=cd=de=ef，則∠def等於多少度？
13. 如圖，在△abc中，已知d是bc中點，de⊥ab，df⊥ac，垂足分別是e、f，de＝df. 求證：ab=ac
**14. 如圖，在δabc中，db平分∠abc，dc平分∠acb，過d作直線ef//bc，交ab、ac於e、f，若ab=8，ac=7，則δaef的周長等於多少？
【試題答案】
一、1. 68； 2. 15； 3. 554.；
5. 二、6. b；7. b；8. d；9. d；10. d.
三、11. 提示：證明δadb≌δadc；
12. ∠def=60°. 提示：用等腰三角形的性質和外角定理等.
13. 提示：先證，再利用等角對等邊。
14. δaef的周長等於15.
第一章證明1 你能證明他們嗎
第一章證明 二 1.你能證明他們嗎 一 選擇題 共3小題 1 下列說法不正確的是 2 下列命題不正確的是 3 在rt abc中，如圖所示，c 90 cab 60 ad平分 cab，點d到ab的距離de 3.8cm，則bc等於 二 填空題 共6小題 4 已知，如圖，等腰 abc，ab ac 1 若ab...
物理第一章第4節
1.4 實驗 用打點計時器測速度 新課標要求 一 知識與技能 1 了解兩種打點計時器的結構和工作原理。2 會安裝並使用打點計時器。3 理解根據紙帶測量速度的原理並測量瞬時速度。4 明確速度 時間圖象的意義，描點法畫圖象的方法，並畫出該實驗中的速度 時間圖象。二 過程與方法 1 通過學生自己看打點計時...
第一章證明 二 複習 1
7.等邊 abc的周長為12cm，則它的面積為cm2 8.等腰直角三角形中，若斜邊為16，則直角邊的長為 9 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30，腰長為a，則其底邊上的高是 10.如圖，有乙個直角 abc，c 90 ac 10，bc 5，一條線段pq ab，p.q兩點分別在ac和過點a且垂直於...