推理能力
一、推理能力的培養是數學課程的重要目標
培養學生的推理能力是數學教育的重要目標之一。推理既包括以三段論為主要形式的演繹推理，又包括以歸納、模擬為主要途徑的合情推理。這兩種推理形式無論是在數學的研究中還是在數學的學習中都是十分重要的。
合情推理是獲得猜測提出猜想的有效途徑，在數學的發現中扮演著不可或缺的角色。演繹推理是數學學科的特點，是確認數學命題為真的推理。但演繹推理所論證的物件往往是由合情推理得來的，同時，由合情推理所得到的猜測必須經過證明（即演繹推理）才能確定其正確性，因此，在數學的發展過程中二者是相輔相成、缺一不可的。
關於合情推理和演繹推理在人的發展和日常工作中的重要意義，著名的美國數學家和數學教育家波利亞（g．polya）的一段話給出了很好的回答：「乙個認真想把數學作為其終身職業的人，要學好論證推理
在以往的數學教育教學中，我們對論證推理給與了充分的關注，在我們強調的基礎知識、基本技能中，都表現出對邏輯的強調，即給出已知條件，求證乙個結論，這是演繹的方法。但我們對引導學生們嘗試著去推測、猜想等關注的不夠，也就是說對歸納、模擬等合情推理強調的不夠。其中的原因可能是多方面的，既有主觀認識上，也有客觀的原因。
（引用史校的話）然而，歸納、模擬等與創新思維的聯絡是非常密切的，因此不注重歸納等合情推理能力的培養，就不利於對學生創新精神的培養，不利於創新型的人才的培養。
在義務教育階段和普通高中的數學課程標準中，都明確提出要讓學生經歷觀察、實驗、猜測的過程，要重視培養學生的合情推理能力，並提出了具體的內容要求。例如，高中的數學課程標準中設立了專題「推理與證明」，就強調了培養學生兩種推理的重要性，以及如何培養的問題（參見課標）。
課程標準中對推理能力的全面要求，推動了課程實施中對合情推理的關注，新課程的數學實驗教材以及當前的數學課堂教學中，也都重視了學生探索、猜測的過程，為學生進行合情推理提供機會。同時，由於評價（尤其是選拔性的考試）的導向作用，我們發現在各種型別的學業評價中也增加了對學生觀察、探索、歸納、概括、猜測以及證明等能力的考察。
但是，歸納、模擬等推理與演繹推理不同，它們沒有固定的程式和具體的步驟，對它們的理解和把握以及運用更多的是需要學生在學習、探索的過程中自己去感悟和體會。因此為學生提供必要的問題情景和探索性機會，在解決問題的過程中，讓學生們親自去觀察、概括、抽象，進而發現規律並作出相應的猜測，是十分必要的。同樣，評價學生的推理能力也需要利用恰當的問題情境，以全面衡量學生的推理能力。
二、提供恰當的問題情境實現推理能力的培養
1、問題的選擇應與學生的知識相適應
在有關合情推理的教學和評價方面，廣大數學教育工作者和數學教師通過自己的努力，營造出學生觀察、思考和探索的氣氛，也編制出一些可供學生進行這方面探索的問題以及考察學生能力的測試題。例如，如下的一道中考試題就是其中的一例。
問題① 老師在黑板上寫出三個算式，52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王華接著又寫出了兩個具有同樣規律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22，
（1） 請你再寫出兩個（不同於上面算式）具有上述規律的算式；
（2） 用文字寫出反映上述算式的規律；
（3） 證明這個規律的正確性。
事實上，上面問題①的已知條件中，五個等式分兩次給出，按照美國數學教育家波利亞的觀點，將前三個等式稱之為啟發式聯想，因為對這三個等式的觀察與分析，能夠啟發觀察者獲得對某種規律的初步認識，但這樣的認識是模糊的；接下來的算式波利亞稱之為支援性聯想，也就是對前面得到的較為模糊的認識的進一步的清晰和認可，這個過程實際上就是獲得了猜測的過程。繼續下去，對第乙個問題的回答，我們可以看成是對前面的猜測進行驗證的過程，也可以看成是支援性聯想的一部分。而對於第二個問題的回答，就已經是將發現的規律進行一般化的表述，形成猜想了。
最後則是給出形式化的數學證明。
在完成這個問題的解答過程中，既包含了對所給的算式的觀察、分析和模擬，又要求在此基礎上歸納和探索出規律，並進一步對規律進行數學的表述，最後對此規律進行推理證明。因此，筆者認為這樣的乙個問題就為學生進行合情推理和演繹推理提供了可能，作為試題也能全面地考察學生兩種推理能力的情況。
上面這個例子中，無論是模擬、歸納還是推理證明，都是學生們能夠完成的，因此，它既適合對學生相應能力的培養，也適合考察學生相關的能力和水平。
對於小學生或者初中學生來說，通過對某些問題的觀察、分析，進而發現一定的規律並獲得猜測是可能做到的，但是要證明這個猜測的正確性有時就是學生們力所不能及得了。例如，
問題② 計算21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31，…。歸納各計算結果中的個位數字的規律，猜測22006-1的個位數字是（ ）。
問題③ 用計算器計算： 請你猜測的結果為多少？
對於初中生來說，對觀察到的結果進行分析，發現其中的規律並猜測結果是可以做到的，但是證明則不是本階段數學學習所要求的了。那麼，與前面的問題①相比，在這兩個問題中，主要是希望學生通過計算和觀察，發現計算結果中的一些規律，對規律的驗證只能是再多計算幾個式子而已，而對規律的證明在初中階段就不在要求之列了。因此，這樣的問題對學生來說容易形成固定的模式，缺少了一定的挑戰性，歸納的味道也不足。
2、問題的提出和呈現應保證**性和科學性
還有一些問題，本身是具有**價值的，但由於問題的提法不當，而使問題的可**性大打折扣。例如，
問題④ 某公園的側門口有九級台階，小明一步只能上1級台階或2級台階，小明發現當台階數分別為1級、2級、3級、4級、5級、6級、7級……逐漸增加時，上台階不同方法的種數依次為1、2、3、5、8、13、21、……，這就是著名的菲波那契數列，那麼小聰上這九級台階共有種不同的方法。
實際上，這是乙個富有一定探索和推理空間的問題，但由於出題者「不打自招」地將問題的規律道了出來，而且是強加給學生，所以學生思考此問題時就只能是對幾個冰冷的數字進行加減計算，發現其規律了。其中還很容易使學生將歸納和推理證明混為一談，即把歸納代替了推理。
再看下面的例子，其中的問題更加需要給與關注，否則就會出現學科上的問題。例如：
問題⑤ 小王利用計算機設計了乙個計算程式，輸入和輸出的資料如下，
當輸入資料為8時，輸出的資料為 。
問題⑥ 觀察分析下列資料，尋找規律：
0，，3，2，，3，……
那麼第10個資料是 。
類似這樣的例子在目前的各種練習冊以及考試的試題中會經常見到，而且通常從這類問題的表述上我們可以看出，它們所要求的答案似乎是唯一確定的，學生們需要通過觀察、試誤等的方法找出所給出的一組數的特徵，並依此特徵給出答案。
如，對於問題⑤，答案是這樣給出的：
因為，……所以輸入n時，輸出的資料為，所以當n=8時，輸出的資料為。
類似的，問題⑥給出的答案是：
因為0=，
，……所以第n個資料應是，當n=10時，所對應的資料是3。
對於中學生來說，這樣的解答似乎是合理的。然而，事實上這樣的問題的答案不僅不是唯一的，而且可以是無窮多個。我們可以構造出無窮多個類似於上述的及的所謂的通項公式，這些通項滿足題目中給出的前幾項的要求，而且依此通項我們可以使所求的項中的數值是任意的。
例如，對於問題⑤，當輸入資料8時，我們可以使輸出的資料為任意數m，具體做法如下：
定義多項式函式y=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,並令其滿足，當x=1，2，3，4，5,8時，y=m。
由此我們能夠得到乙個關於an(n=0,1,2,3,4,5) 的方程組，
a5+a4+a3+a2+a1+a0=
25a5+24a4+ 23a3+ 22a2+ 2a1+a0=
35a5+34a4+ 33a3+ 32a2+ 3a1+a0=
45a5+44a4+ 43a3+ 42a2+ 4a1+a0=
55a5+54a4+ 53a3+ 52a2+ 5a1+a0=
85a5+84a4+ 83a3+ 82a2+ 8a1+a0=m
解這個方程組，求出an(n=0,1,2,3,4,5)，就得到了滿足條件要求的多項式函式，即按此規律（多項式函式），它不僅滿足原來題目已知的幾項的要求，也能夠使第8項有隨意選擇的餘地，同樣地，問題⑥的解答也是可以任意地選擇乙個實數添入空格內，並能類似地寫出其滿足的規律。因此，從這個意義上講，很多類似的問題的提法上就顯得不那麼嚴謹了，儘管這些還不至於使中學生產生懷疑。
三那麼，與問題⑤類似的提法不嚴謹的**規律的問題是不是這樣就無法提供給學生了？如何改進這些問題情境呢？進一步的，如何為學生提供可供**和思考、既包含合情推理有包含演繹證明的問題情境呢？
其實，對於問題⑤和問題⑥這樣的一類問題，我們是希望學生能通過觀察、分析，發現一定的規律，而且整個的思考過程應該有一定的理性基礎，即要麼能證明之，要麼能說明規律和理由，比如，我們的問題可以表述為，「觀察下面的幾個數……，那麼第×個數可以添幾，理由是什麼？」，這樣的提問，既避免了問題的漏洞，更主要的是增加了使學生進行理性思考意識和能力的要求。
另外，應多為學生提供一些像問題①那樣的問題情境，給學生創造出既可以**規律又能夠加以證明的機會，一方面，提高學生的歸納、模擬的能力，同時也能體會到合情推理與演繹推理之間的相依關係，發展學生的推理能力。
事實上，前面提到的問題④，如果經過適當的改造，也可以成為乙個利於**和證明的較好的素材。如，可以讓學生在規定的前提下（每一步只能上1級台階或2級台階）自行**台階數分別為1級、2級、3級、4級、5級……時，上台階不同方法的種數，並在獲得的資料的基礎上，驗證並獲得猜測，進而去說明或證明。這樣就充分挖掘和利用了這個問題的可**的空間。
總之，推力能力的培養是數學教學中的重要人無之一，我們的教學要努力從培養學生的合情推理和演繹推理的能力出發，為學生創設出體現數學的本質、富有**和推理空間的問題情境，以此來培養學生的創新意識和能力，充分發揮數學在培養人的推理能力和創新思維方面的不可替代的作用。
猜測與證明的關係
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