二在有關合情推理的教學和評價方面，廣大數學教育工作者和數學教師通過自己的努力，營造出學生觀察、思考、探索氣氛，也編制出一些可供學生進行這方面探索的問題，同時也成為考察學生能力的試題。例如，如下的一道中考試題就是其中的一例。
老師在黑板上寫出三個算式，52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王凱接著又寫出了兩個具有同樣規律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22，
（1） 請你再寫出兩個（不同於上面算式）具有上述規律的算式；
（2） 用文字寫出反映上述算式的規律；
（3） 證明這個規律的正確性。
在完成這個問題的解答過程中，既包含了對所給的算式的觀察、分析，又要求在此基礎上的對規律的歸納和探索，進一步對規律的表示以及對此規律的數學證明。因此，筆者認為這樣的乙個問題就實現了對學生的歸納、演繹兩個方面能力的考察。
事實上，在已知條件中，五個算式分兩次給出，按照美國數學教育家波利亞的觀點，將前三個算式稱之為啟發式聯想，對這三個算式的觀察與分析，能夠啟發觀察者獲得一定的認識以及初步的規律，但這樣的認識是模糊的；接下來的算式波利亞稱之為支援性聯想，也就是對前面得到的較為模糊的認識的進一步的清晰和認可，這個過程實際上就是獲得了猜測的過程。接下來對第乙個問題的回答，我們可以看成是對前面的猜測進行驗證的過程，換一句話說，是否能夠再舉出符合猜測的例子，抑或是否定猜測的例子，當然本問題是要求舉出正面的例子。對第二個問題的回答，就已經是將猜測形式化了，第三步就是數學的證明。
對於初中學生或者是小學生，通過觀察、發現一定的規律進而獲得猜測是可能做到的，但是要證明這個猜測的正確性有時就是學生們力所不能及得了。
例如，計算21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31，…。歸納各計算結果中的個位數字的規律，猜測22006-1的個位數字是（ ）。
對於初中生來說，對觀察到的結果的猜測是可以做到的，但是證明則不是本階段數學學習所要求得了。那麼，需要我們思考的是，這樣的猜測意義何在？學會進行冪的計算，然後觀察出個位數字的迴圈規律，並利用被自然數n除模的概念推測出結論，僅此而已，對結論的驗證只能是再多計算幾個式子，而證明在初中階段就不在要求之列了。
因此，這樣的問題對學生來說容易形成固定的模式，缺少了一定的挑戰性，歸納的味道也不足。
與之相比，有些為學生提供的探索規律、歸納概括的問題情景還存在著一些其他學科方面的問題。例如，
某公園的側門口有九級台階，小明一步只能上1級台階或2級台階，小明發現當台階數分別為1級、2級、3級、4級、5級、6級、7級……逐漸增加時，上台階不同方法的種數依次為1、2、3、5、8、13、21、……，這就是著名的菲波那契數列，那麼小聰上這九級台階共有種不同的方法。
實際上，這是乙個非常富有探索和推理的問題，但由於出題者僅僅將問題侷限在了對幾個數字的規律的觀察，而將問題的思考價值大打折扣，甚至會誤導學生在獲得結論的簡單盲目，以及將歸納與推理論證的混淆。
三但是筆者發現，在一些教學和評價問題中，也存在著對歸納、模擬與證明之間的關係處理上不妥當的現象。例如，
例如，小王利用計算機設計了乙個計算程式，輸入和輸出的資料如下，
當輸入資料為8時，輸出的資料為 。
再如，觀察分析下列資料，尋找規律：
0，，3，2，，3，……
那麼第10個資料是 。
類似這樣的例子在目前的各種練習冊以及考試的試題中會經常見到。而且通常從問題的表述上我們可以看出，它們的答案似乎是唯一確定的，學生們需要通過觀察、嘗試的方法找出所給出的一組數的特徵，並依此特徵給出答案。
如，第乙個問題，答案是這樣給出的：
，……所以輸入n時，輸出的資料為，所以當n=8時，輸出的資料為。
類似的第二個問題給出的答案是：
因為0=，
，……所以第n個資料應是，當n=10時，所對應的資料是3。
對於中學生來說，這樣的解答似乎是合理的，但事實上，這樣的問題的答案並非是唯一的，而是無窮多個，即我們可以構造出無窮多個類似於上述的，的通項，它們滿足題目給出的前幾項的要求。
例如，我們可以這樣構造乙個多項式y=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,
並令當x=1，2，3，4，5,8時，y=1/2,2/5,3/10,4/17,5/26,m,
由此我們能夠得到乙個關於an(n=1,2,3,4,5) 的方程組，解這個方程組，我們就得到了乙個多項式函式，它不僅滿足原來題目的要求，按此規律（多項式函式）也能夠使第8項有隨意選擇的餘地，因此，我們的結論是，當給出一列數前幾項的值時，我們可以通過構造多項式函式的方式使其某一項的值為任意的實數，從這個意義上講，我們很多類似的問題的提出就存在數學上的問題了。
處理好猜測與證明的關係 1方程組加
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